河北省邯郸市荀子中学2015-2016学年高一下学期期中数

2015-2016学年河北省邯郸市荀子中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分，题中只有一个答案正确，请将答案填在答案卷的对应答题栏上）
1．与610°角终边相同的角表示为（）
A．k360°+270°B．k360°+230°C．k360°+70°D．k360°+250°2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为（）
A．4 B．2 C．4πD．2π
3．的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
4．函数的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
5．在[0，2π]上满足sinx≥的x的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．若cos（π+α）=﹣π＜α＜2π，则sin（2π﹣α）等于（）
A．﹣B．C．D．±
7．斜率为1，与圆x2+y2=1相切的直线的方程为（）
A．B．
C．或D．x﹣y﹣2=0或x﹣y+2=0
8．若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于（）
A．﹣3 B．C．3 D．
9．要得到y=3sin（2x+）的图象只需将y=3sin2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
10．设a=sin17°cos45°+cos17°sin45°，b=2cos213°﹣1，c=，则有（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
11．函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）
A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣）
12．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（）
A． B．C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸的对应答题栏上）
13．sin15°+sin75°的值是．
14．函数y=sinx﹣cosx的最大值为．
15．函数y=sin2xcos2x的最小值是．
16．把函数y=cosx的图象向左平移个单位，所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，所得图形表示的函数的解析式为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知，求下列各式的值．
（1）
（2）sinαcosα
（3）．
18．求直线x﹣y+2=0被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4截得的弦长．
19．设α，β均为锐角，，求cosβ的值．
20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜），在同一周期内的最高点是（2，2），最低点是（8，﹣4），求f（x）的解析式．
21．已知函数y=sin（+4x）+cos（4x﹣）
（1）求它的最小正周期
（2）求它的最大最小值及对应的x的取值集合．
22．已知函数f（x）=3sin（+）+3
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（3）函数f（x）图象可由y=sinx的图象经怎样的变换得到？
2015-2016学年河北省邯郸市荀子中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分，题中只有一个答案正确，请将答案填在答案卷的对应答题栏上）
1．与610°角终边相同的角表示为（）
A．k360°+270°B．k360°+230°C．k360°+70°D．k360°+250°
【考点】终边相同的角．
【分析】根据610°=1×360°+250°，故在[0°，360°）内，与610°角终边相同的角是250°，由此可得结论．
【解答】解：由于610°=1×360°+250°，故与610°角终边相同的角是k360°+250°，
故选D．
【点评】本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．
2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为（）
A．4 B．2 C．4πD．2π
【考点】扇形面积公式．
【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：2，
所以扇形的面积为：=4；
故选A
【点评】本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．3．的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】诱导公式的作用．
【分析】直接根据诱导公式转化求解计算即可．
【解答】解：∵tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查诱导公式的应用：求值．此类题一般依照“负角化正角，大角化小角”的顺序进行角的转化．
4．函数的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】先求出y=sin的周期，再由函数是函数y=sin x轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到，故其周期是原来的一半，得到答案．
【解答】解：对于y=sin，T=，
函数是函数y=sin x轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到的，如图示，故T'=T=2π，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的最小正周期的求法和加绝对值后周期的变化．对于三角函数不仅要会画简单三角函数的图象还要会画加上绝对值后的图象．
5．在[0，2π]上满足sinx≥的x的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】正弦函数的单调性．
【分析】利用三角函数线，直接得到sinx≥的x的取值范围，得到正确选项．
【解答】解：在[0，2π]上满足sinx ≥，由三角函数线可知，满足sinx ≥，的解，在图中阴影部分， 故选B
【点评】本题是基础题，考查三角函数的求值，利用单位圆三角函数线，或三角函数曲线，
都可以解好本题，由于是特殊角的三角函数值，可以直接求解．
6．若cos （π+α）=﹣π＜α＜2π，则sin （2π﹣α）等于（ ）
A ．﹣
B ．
C ．
D ．± 【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】通过诱导公式，求出cos α的值，进而求出sin （2π﹣α）=sin α的值．
【解答】解：∵
∴
sin （2π﹣α）=﹣sin α==
故选B ．
【点评】本题考查了诱导函数的应用，注意角的范围的应用，属于基础题型．
7．斜率为1，与圆x 2+y 2=1相切的直线的方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
或
D ．x ﹣y ﹣2=0或x ﹣y +2=0
【考点】圆的切线方程．
【分析】设出直线方程，根据直线相切的等价条件建立方程关系即可．
【解答】解：设直线方程为x﹣y+c=0，
当直线和圆相切时，满足圆心到直线的距离d==1，
即|c|=，解得c=±，
故所求的直线方程为x﹣y+=0或x﹣y﹣=0
故选：C．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据相切的等价条件是解决本题的关键．
8．若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于（）
A．﹣3 B．C．3 D．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】根据两角和与差的正切公式，代入即可得到答案．
【解答】解：∵tanα=3，
∴
故选D
【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．
9．要得到y=3sin（2x+）的图象只需将y=3sin2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据左加右减的原则进行左右平移即可．
【解答】解：∵，
∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．
10．设a=sin17°cos45°+cos17°sin45°，b=2cos213°﹣1，c=，则有（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．
【分析】利用两角和与差的正弦函数公式化简已知的a，利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简b，再利用特殊角的三角函数值化简c，根据正弦函数在[0，90°]为增函数，由角度的大小，得到正弦值的大小，进而得到a，b及c的大小关系．
【解答】解：化简得：a=sin17°cos45°+cos17°sin45°=sin（17°+45°）=sin62°，
b=2cos213°﹣1=cos26°=cos（90°﹣64°）=sin64°，
c==sin60°，
∵正弦函数在[0，90°]为增函数，
∴sin60°＜sin62°＜sin64°，即c＜a＜b．
故选C
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
11．函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）
A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】根据已知中函数y=Asin （ωx +ϕ）在一个周期内的图象经过（﹣，2）和（﹣，
2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A ，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin （ωx +ϕ）的解析式．
【解答】解：由已知可得函数y=Asin （ωx +ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）
则A=2，T=π即ω=2
则函数的解析式可化为y=2sin （2x +ϕ），将（﹣，2）代入得
﹣+ϕ=
+2k π，k ∈Z ，
即φ=
+2k π，k ∈Z ，
当k=0时，φ=
此时 故选A
【点评】本题考查的知识点是由函数y=Asin （ωx +ϕ）的部分图象确定其解析式，其中A=
|最大值﹣最小值|，|ω|=，φ=L ω（L 是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．
12．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在
上是
增函数”的一个函数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性． 【分析】利用正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性判断即可．
【解答】解：对于y=f （x ）=sin （2x ﹣），其周期T=
=π，
f （
）=sin
=1为最大值，故其图象关于x=
对称，
由﹣≤2x﹣≤得，﹣≤x≤，
∴y=f（x）=sin（2x﹣）在上是增函数，
即y=f（x）=sin（2x﹣）具有性质①②③，
故选：A．
【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性的综合应用，考查转化思想，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸的对应答题栏上）
13．sin15°+sin75°的值是．
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．
【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．
14．函数y=sinx﹣cosx的最大值为2．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】变形可得y=2（cos sinx﹣sin cosx）=2sin（x﹣），易得最值．
【解答】解：化简可得y=sinx﹣cosx
=2（sinx﹣cosx）
=2（cos sinx﹣sin cosx）
=2sin（x﹣）
∴当sin（x﹣）=1时，原函数取最大值2
故答案为：2
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．
15．函数y=sin2xcos2x的最小值是﹣．
【考点】二倍角的正弦．
【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域，求得函数的最小值．
【解答】解：函数y=sin2xcos2x=sin4x，
故它的最小值为﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的值域，属于基础题．
16．把函数y=cosx的图象向左平移个单位，所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标
扩大到原来的两倍，所得图形表示的函数的解析式为y=2cos（2x+）．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数y=cosx的图象向左平移个单位，可得y=cos（x+）的图象；
再把所有点的横坐标缩小到原来的一半，可得y=cos（2x+）的图象；
再把纵坐标扩大到原来的两倍，所得函数的解析式为y=2cos（2x+），
故答案为：y=2cos（2x+）．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知，求下列各式的值．
（1）
（2）sinαcosα
（3）．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数关系，切化弦，计算可得结论．
【解答】解：∵，
∴（1）===；
（2）sinαcosα====；
（3）=====．【点评】本题考查同角三角函数关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
18．求直线x﹣y+2=0被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4截得的弦长．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出已知圆的圆心为C（2，2），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线l被圆截得的弦长．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的圆心为C（2，2），半径r=2，
∵点C到直线直线l：x﹣y+2=0的距离d==，
∴根据垂径定理，得直线x﹣y+2=0被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为：2
=2．
【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
19．设α，β均为锐角，，求cosβ的值．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由α，β为锐角，根据，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和sin（α+β）的值，然后把β变为（α+β）﹣α，利用两角差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：因为α，β均为锐角，cosα=，所以sinα==，
由cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，
则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简求值．本题的突破点是角度的变换即β=（α+β）﹣α．
20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜），在同一周期内的最高点是（2，2），最低点是（8，﹣4），求f（x）的解析式．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A、k的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：根据在同一周内的最高点是（2，2），最低点是（8，﹣4），可得A=
=3，k==﹣1，=8﹣2，求得ω=．
再根据五点法作图可得×2+φ=，求得φ=，
故函数的解析式为f（x）=3sin（x+）﹣1．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
21．已知函数y=sin （
+4x ）+cos （4x ﹣
）
（1）求它的最小正周期
（2）求它的最大最小值及对应的x 的取值集合． 【考点】正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式及辅助角公式将函数化简求得y=2sin （4x +），
根据周期公式即可求得最小正周期；
（2）根据正弦函数的性质及三角函数的取值范围，求出最值，以及自变量的取值集合．
【解答】解：（1）y=sin （+4x ）+cos （4x ﹣
）
=sin cos4x +cos sin4x +cos4xcos
+sin4xsin
，
=
cos4x +sin4x +
cos4x +sin4x ，
=sin4x +
cos4x ，
=2sin （4x +），
由T=
=
=，
∴最小正周期；
（2）当4x +=2k π+
，k ∈Z 时，函数取最大值，最大值为2，
即x=+
时，取最大值为2，
当4x +=2k π+，k ∈Z 时，函数取最小值，最小值为﹣2，
即x=
+
时，取最小值为﹣2．
∴{x 丨x=+，k ∈Z }时，函数取最大值为2，{x 丨x=
+
，k ∈Z }，函数取最
小值为﹣2．
【点评】本题考查三角恒等变换，考查两角和差的正余弦公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数图象及性质，属于中档题．
22．已知函数f （x ）=3sin （+）+3 （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间； （2）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （3）函数f （x ）图象可由y=sinx 的图象经怎样的变换得到？
【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【分析】（1）根据周期公式可求最小正周期，由 2k π+≤+
≤2k π+，k ∈z ，求
得x 的范围，即得单调减区间．
（2）列表，令+
分别等于0，
，π，
，2π，求得对应的x ，y 值，以这五对x ，
y 值作为点的坐标，在坐标系中描出，用平滑曲线连接，即得它在一个周期内的闭区间上的图象．
（3）把y=sinx 的图象向左平移个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不
变），再把各点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），再把各点向上平移3个单位，即
得函数y=3sin （+
）+3的图象．
【解答】解：（1）T==4π，由 2k π+≤+≤2k π+，k ∈z ，可得 4k π+≤
x ≤4k π+，
故单调增区间为[4k π+，4k π+]，k ∈z ．
（2）列表：
+
0 π
2 π
x
﹣
y=3sin（+）+3 3 6 3 0 3
描点，连线，作图如下：
（3）把y=sinx的图象向左平移个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
再把各点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），再把各点向上平移3个单位，即得函数
y=3sin（+）+3的图象．
【点评】本题考查用五点法作y=Asin（ωx+∅）+b的图象，以及此函数的性质、图象变换，用五点法作y=Asin（ωx+∅）+b的图象，是解题的关键，属于中档题．。