安徽省安庆市桐城中学2023-2024学年高二下学期开学检测数学试题

安徽省安庆市桐城中学2023-2024学年高二下学期开学检测
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知1l 的倾斜角为45°，2l 经过点()()2,1,3,P Q m --．若12l l ⊥，则实数m 为（ ） A ．6
B ．－6
C ．5
D ．－5
2．已知空间向量()()2,,1,1,2,1a x b ==-r r
，若()
-⊥a b b r r r ，则x =（ ）
A ．72
B ．3
C ．52
D ．2
3．某塔一共有13层，总高为55.9米，从下到上每层高度依次排列构成等差数列，第5层与第7层的高度之和为8.8米，则第5层的高度为（ ） A ．4.4米
B ．4.5米
C ．4.6米
D ．4.7米
4．已知数列{}n a 是无穷项等比数列，公比为q ，则“1q >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
5．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点()23，射出，经y 轴反射后与圆226490x x y y -+++=相交所得弦
长为 ） A ．43-或34
-
B ．3
4
-
C ．53-
D ．5
3-或35
-
6．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点为A ，点,P Q 均在双曲线上且关于y 轴对
称，若直线,AP AQ 的斜率之积为1
4
-，则双曲线的离心率为（ ）
A B C ．54
D ．5
7．已知O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 与C 交于点,A B （点A 在
第一象限），若0OA OB ⋅=u u u r u u u r
，则AOF V 与AOB V 面积之和的最小值为（ ）
A
．B ．C ．D ．8．已知O 为坐标原点，椭圆C ：()22
220x y a b a b
+>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，
()2,0F c ，
过点2F 作圆O ：222x y c +=的切线，与C 交于M ，N 两点.设圆O 的面积和1△MNF 的内切圆面积分别为1S ，2S ，且12:4:1S S =，则C 的离心率为（ ）
A ．12
B C 2
D
二、多选题
9．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是边长为1的菱形，且120ADC ∠=︒，PD AD =，则（ ）
A ．
()
1DA DC DP +⋅=u u u r u u u r u u u r
B ．()
12
DP DB BC +⋅=u u u r u u u r u u u r
C ．12
CP PA ⋅=-u u u r u u u r
D ．12
AB BP ⋅=u u u r u u u r
10．已知动点P 与两定点()0,0A ，()3,0B 的距离之比为1
2
，则（ ）
A ．点P 的轨迹所围成的图形的面积是4π
B ．点P 到点A 的距离的最大值是2
C ．点P 到点B 的距离的最大值是6
D ．当P ，A ，B 不共线时，PAB V 的面积最大值是3
11．已知双曲线22:4C x y -=的左、右焦点分别为12,F F ,过双曲线C 上的一点M 作两条渐近线的垂线，垂足分别为,P Q ,则（ ）
A ．双曲线C 的离心率为2
B ．焦点到渐近线的距离为2
C ．四边形OPMQ 可能为正方形
D ．四边形OPMQ 的面积为定值2
12．斐波那契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：121a a ==，12n n n a a a --=+（3n ≥，N n *∈）.则（ ）
A ．223,3,N n n n a a a n n *-+≥=+∈
B ．1352121n n a a a a a -+++⋅⋅⋅+=-
C ．12321n n a a a a a ++++⋅⋅⋅+=-
D ．22212
202320232024a a a a a ++⋅⋅⋅+=
三、填空题
13．数列{}n a 满足1n n a a +>，221n n a a =+，写出一个符合上述条件的数列{}n a 的通项公式.
14．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅u u u r u u u r
的值为．
15．已知直线1l ：10x y --=，2l ：230x y -+=，3l ：60x my +-=，若直线1l ，2l ，3l 不能围成三角形，则m =.
16．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过动点P 的两条直线1l ，2l 均与C 相切，设1l ，
2l 的斜率分别为1k ，2k ，若()()12112k k --=-，则FP 的最小值为.
四、解答题
17．数列{}n a 满足条件：11a =，点()1,n n M a a +在直线20x y -+=上． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)求数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
18．已知函数()3
3f x x x =-+
(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程． (2)求函数的单调区间
19．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，//CD AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．
(1)证明：当2MA EM =时，直线//CE 平面BDM ； (2)当AE BM ⊥时，求二面角E BD M --的余弦值．
20．已知数列{}n a 为递增的等比数列，2,1,2
n n n a n b a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记n S 、
n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前项和，325S a -=，310T =.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)证明：当5n >时，n n S T >.
21．已知点()00,P x y 是双曲线2
2:15
x C y -=上任意一点.
(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点()4,0A ，求PA 的最小值.
22．已知椭圆C 的两个顶点分别为()()2,0,2,0A B -，焦点在x
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设O 为原点，过点()4,0T 的直线l 交椭圆C 于点,M N ，直线BM 与直线1x =相交于点P ，直线AN 与y 轴相交于点Q .求证：OAQ V
与OTP V 的面积之比为定值.。