幻方
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4．在 B 中取右起共 m – 1 列，共(m – 1)(2m + 1)个元素与 C 中同列对应行元素互换（下 面粗体字的表示已经互换后的元素），2(2m + 1)阶幻方构造完成
92 99 1 8 15 67 74 51 58 40 98 80 7 14 16 73 55 57 64 41 4 81 88 20 22 54 56 63 70 47 85 87 19 21 3 60 62 69 71 28 86 93 25 2 9 61 68 75 52 34 17 24 76 83 90 42 49 26 33 65 23 5 82 89 91 48 30 32 39 66 79 6 13 95 97 29 31 38 45 72 10 12 94 96 78 35 37 44 46 53 11 18 100 77 84 36 43 50 27 59
其余的三阶幻方都是由其中一种经过旋转、反射后得到的，这样的幻方视为同种幻方，同种 幻方称为一个基本幻方。四阶以及四阶以上的幻方不止一种，其中四阶基本幻方有 880 个， 五阶基本幻方有 275305224 个，五阶以上的基本幻方个数至今还是未知数，下面介绍的构造 法是多种同类幻方中的一种。
普通幻方构造法
按照幻方定义
上面两式子相减，得到
a1 + a2 = a3 + a4， a1 + a3 = a2 + a4，
a2 – a3 = a3 – a2， 也就是 a2 = a3，与幻方的定义矛盾。
n > 2 时，n 阶幻方都存在，而三阶段幻方实际上只有一种（如下图所示）， 816 357 492
1
幻方构造方法
幻方构造方法
目录
幻方基本知识...................................................................................................................................1 普通幻方构造法...............................................................................................................................2
性质：n 阶幻方的幻和等于 1 n(n 2 + 1) 2
证明：假设 n 阶幻方的幻和等于 S，因为
1 + 2 + L + n2 = 1 n2 (n2 + 1) ， 2
而 n 阶幻方共 n 行，每行的和都等于幻和 S，而且 nS = 1 + 2 +…+ n2
因此
S = 1 n(n2 + 1) 。 2
二阶幻方不存在，因为假设二阶幻方存在，并且如下图所示， a1 a2 a3 a4
5 7 14 16
4 6 13
10 12
3
11
29Βιβλιοθήκη 4．继续按照步骤 2 填写，直到把格子填写完 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
该方法构造出来的幻方是全对称幻方。
单偶数（即 2(2m + 1)阶）阶幻方的 Ralph Strachey 构造法
2
B．如果要填写的数字在最右方列的右面，则把数字移到对应的行的最左方列处 1
4
4
3
2
C．如果要填写的数字 n + 1 的右上方格子已经被别的数字占了，则 n + 1 填写在 n 的正下方
1 5 46
3 2 3．如果 n 已经处在是最右上方格子，则 n + 1 填写在 n 的正下方
2
幻方构造方法
1 8 15
奇数阶幻方的 Lombere 构造法（斜排法）
下面以五阶幻方为例子，其它奇数阶幻方的构造方法步骤相同 1．中央列最上格起填 1（或者最小的数字）
1
2．在 n 的右上方格子填写 n + 1，特殊情况分以下几种情况处理（以粗体字表示）： A．如果要填写的数字在最上方行的上面，则把数字移到对应的列的最下方行处 2 1
3．在 A 中的中央行取左起第 2，…，m + 1 个元素，其它行取左起第 1，…，m 个元素， 把这些元素共 m(2m + 1)个与 D 中对应行元素互换（下面粗体字的表示已经互换后的元素）
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幻方构造方法
92 99 1 8 15 67 74 51 58 65 98 80 7 14 16 73 55 57 64 66 4 81 88 20 22 54 56 63 70 72 85 87 19 21 3 60 62 69 71 53 86 93 25 2 9 61 68 75 52 59 17 24 76 83 90 42 49 26 33 40 23 5 82 89 91 48 30 32 39 41 79 6 13 95 97 29 31 38 45 47 10 12 94 96 78 35 37 44 46 28 11 18 100 77 84 36 43 50 27 34
17 24 1 8 15 67 74 51 58 65 23 5 7 14 16 73 55 57 64 66 4 6 13 20 22 54 56 63 70 72 10 12 19 21 3 60 62 69 71 53 11 18 25 2 9 61 68 75 52 59 92 99 76 83 90 42 49 26 33 40 98 80 82 89 91 48 30 32 39 41 79 81 88 95 97 29 31 38 45 47 85 87 94 96 78 35 37 44 46 28 86 93 100 77 84 36 43 50 27 34
i
幻方构造方法
幻方基本知识
幻方定义：把 1 ~ n2 个自然数分别填入 n × n 个方格中，形成方阵，如果每行、每列以 及主对角线上所填自然数之和分别都等于某一定值（称为幻和），则此方阵称为幻方。
全对称幻方：在 n 阶幻方中，凡中心对称的两数之和都相等，等于 n2 +1，那么该幻方 称为全对称幻方。
奇数阶幻方的 Lombere 构造法（斜排法） ..........................................................................2 单偶数（即 2(2m + 1)阶）阶幻方的 Ralph Strachey 构造法................................................3 双偶数（即 4m 阶）阶幻方的杨辉构造法 ............................................................................4 奇数阶完美幻方构造.......................................................................................................................5 双偶数阶完美幻方构造...................................................................................................................6 双偶数完美幻方（兼田格化，奇偶数列型）方程 ...............................................................6 双偶数完美幻方特点证明.......................................................................................................7 双偶数完美幻方（兼田格化，奇偶数列型）编制 ...............................................................9 3 的奇数倍阶优化幻方的构造......................................................................................................11 构造完美幻方的统一方法.............................................................................................................12 长方基砖构成.........................................................................................................................13 广义全等和拉丁方构成.........................................................................................................14 完美幻方构成.........................................................................................................................19 完美幻方的变换及构造完美幻方（兼对称） ..................................................................... 24 构成高次幂幻方的简捷方法.........................................................................................................26 拉丁方与高次幂幻方.............................................................................................................26 平方幻方的构成.....................................................................................................................28 立方幻方的编制.....................................................................................................................30 多维幻方通解公式.........................................................................................................................35
完美幻方（纯幻方）：一个由 1 ~ n2 连续自然数构成的方阵，如果它的每一行、每一列 以及每一泛对角线的 n 个元素之和都相等，则称这个方阵为 n 阶完美幻方或 n 阶纯幻方。
有理纯幻方和无理纯幻方：如果一个纯幻方，可分拆成有限多个同阶方阵的代数和，且 每一个分拆方阵均为全对称方阵，则称该纯幻方为有理纯幻方；否则，称该纯幻方为无理纯 幻方。
下面以十阶幻方为例子，其它 2(2m + 1)阶幻方的构造方法步骤相同 1．把方阵划分为 A（左上），B（右下），C（右上），D（左下）四个小方阵，每边有 u = 2m + 1 格
AC DB
2．使 A，B，C，D 四方阵内分别含元素 1 ~ u2，u2 + 1 ~ 2u2，2u2 + 1 ~ 3u2，3u2 + 1 ~ 4u2， 按照奇数阶 Lombere 法把四方阵填写成 u 阶幻方
92 99 1 8 15 67 74 51 58 40 98 80 7 14 16 73 55 57 64 41 4 81 88 20 22 54 56 63 70 47 85 87 19 21 3 60 62 69 71 28 86 93 25 2 9 61 68 75 52 34 17 24 76 83 90 42 49 26 33 65 23 5 82 89 91 48 30 32 39 66 79 6 13 95 97 29 31 38 45 72 10 12 94 96 78 35 37 44 46 53 11 18 100 77 84 36 43 50 27 59
其余的三阶幻方都是由其中一种经过旋转、反射后得到的，这样的幻方视为同种幻方，同种 幻方称为一个基本幻方。四阶以及四阶以上的幻方不止一种，其中四阶基本幻方有 880 个， 五阶基本幻方有 275305224 个，五阶以上的基本幻方个数至今还是未知数，下面介绍的构造 法是多种同类幻方中的一种。
普通幻方构造法
按照幻方定义
上面两式子相减，得到
a1 + a2 = a3 + a4， a1 + a3 = a2 + a4，
a2 – a3 = a3 – a2， 也就是 a2 = a3，与幻方的定义矛盾。
n > 2 时，n 阶幻方都存在，而三阶段幻方实际上只有一种（如下图所示）， 816 357 492
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幻方构造方法
幻方构造方法
目录
幻方基本知识...................................................................................................................................1 普通幻方构造法...............................................................................................................................2
性质：n 阶幻方的幻和等于 1 n(n 2 + 1) 2
证明：假设 n 阶幻方的幻和等于 S，因为
1 + 2 + L + n2 = 1 n2 (n2 + 1) ， 2
而 n 阶幻方共 n 行，每行的和都等于幻和 S，而且 nS = 1 + 2 +…+ n2
因此
S = 1 n(n2 + 1) 。 2
二阶幻方不存在，因为假设二阶幻方存在，并且如下图所示， a1 a2 a3 a4
5 7 14 16
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29Βιβλιοθήκη 4．继续按照步骤 2 填写，直到把格子填写完 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
该方法构造出来的幻方是全对称幻方。
单偶数（即 2(2m + 1)阶）阶幻方的 Ralph Strachey 构造法
2
B．如果要填写的数字在最右方列的右面，则把数字移到对应的行的最左方列处 1
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C．如果要填写的数字 n + 1 的右上方格子已经被别的数字占了，则 n + 1 填写在 n 的正下方
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3 2 3．如果 n 已经处在是最右上方格子，则 n + 1 填写在 n 的正下方
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幻方构造方法
1 8 15
奇数阶幻方的 Lombere 构造法（斜排法）
下面以五阶幻方为例子，其它奇数阶幻方的构造方法步骤相同 1．中央列最上格起填 1（或者最小的数字）
1
2．在 n 的右上方格子填写 n + 1，特殊情况分以下几种情况处理（以粗体字表示）： A．如果要填写的数字在最上方行的上面，则把数字移到对应的列的最下方行处 2 1
3．在 A 中的中央行取左起第 2，…，m + 1 个元素，其它行取左起第 1，…，m 个元素， 把这些元素共 m(2m + 1)个与 D 中对应行元素互换（下面粗体字的表示已经互换后的元素）
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幻方构造方法
92 99 1 8 15 67 74 51 58 65 98 80 7 14 16 73 55 57 64 66 4 81 88 20 22 54 56 63 70 72 85 87 19 21 3 60 62 69 71 53 86 93 25 2 9 61 68 75 52 59 17 24 76 83 90 42 49 26 33 40 23 5 82 89 91 48 30 32 39 41 79 6 13 95 97 29 31 38 45 47 10 12 94 96 78 35 37 44 46 28 11 18 100 77 84 36 43 50 27 34
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幻方构造方法
幻方基本知识
幻方定义：把 1 ~ n2 个自然数分别填入 n × n 个方格中，形成方阵，如果每行、每列以 及主对角线上所填自然数之和分别都等于某一定值（称为幻和），则此方阵称为幻方。
全对称幻方：在 n 阶幻方中，凡中心对称的两数之和都相等，等于 n2 +1，那么该幻方 称为全对称幻方。
奇数阶幻方的 Lombere 构造法（斜排法） ..........................................................................2 单偶数（即 2(2m + 1)阶）阶幻方的 Ralph Strachey 构造法................................................3 双偶数（即 4m 阶）阶幻方的杨辉构造法 ............................................................................4 奇数阶完美幻方构造.......................................................................................................................5 双偶数阶完美幻方构造...................................................................................................................6 双偶数完美幻方（兼田格化，奇偶数列型）方程 ...............................................................6 双偶数完美幻方特点证明.......................................................................................................7 双偶数完美幻方（兼田格化，奇偶数列型）编制 ...............................................................9 3 的奇数倍阶优化幻方的构造......................................................................................................11 构造完美幻方的统一方法.............................................................................................................12 长方基砖构成.........................................................................................................................13 广义全等和拉丁方构成.........................................................................................................14 完美幻方构成.........................................................................................................................19 完美幻方的变换及构造完美幻方（兼对称） ..................................................................... 24 构成高次幂幻方的简捷方法.........................................................................................................26 拉丁方与高次幂幻方.............................................................................................................26 平方幻方的构成.....................................................................................................................28 立方幻方的编制.....................................................................................................................30 多维幻方通解公式.........................................................................................................................35
完美幻方（纯幻方）：一个由 1 ~ n2 连续自然数构成的方阵，如果它的每一行、每一列 以及每一泛对角线的 n 个元素之和都相等，则称这个方阵为 n 阶完美幻方或 n 阶纯幻方。
有理纯幻方和无理纯幻方：如果一个纯幻方，可分拆成有限多个同阶方阵的代数和，且 每一个分拆方阵均为全对称方阵，则称该纯幻方为有理纯幻方；否则，称该纯幻方为无理纯 幻方。
下面以十阶幻方为例子，其它 2(2m + 1)阶幻方的构造方法步骤相同 1．把方阵划分为 A（左上），B（右下），C（右上），D（左下）四个小方阵，每边有 u = 2m + 1 格
AC DB
2．使 A，B，C，D 四方阵内分别含元素 1 ~ u2，u2 + 1 ~ 2u2，2u2 + 1 ~ 3u2，3u2 + 1 ~ 4u2， 按照奇数阶 Lombere 法把四方阵填写成 u 阶幻方