高考备考指南文科数学第7章第1讲不等式的性质与一元二次不等式

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【解析】(1)因为 b＜a＜0，所以|a|＜|b|，故①错误；a＋b＜0，ab＞0，则 a＋b
＜ab，故②错误；因为 b＜a＜0，所以ab＞0，ba＞0，则ab＋ba≥2 ab·ba＝2，当且仅当ab ＝ba，即 a＝b 时取等号，因为 b＜a，所以等号不成立，故ab＋ba＞2，故③正确；若ab2＜ 2a－b 成立，则等价为 a2＞2ab－b2，即 a2－2ab＋b2＞0，即(a－b)2＞0，因为 b＜a＜ 0，所以(a－b)2＞0 成立，故④正确，故正确的命题是③④.故选 B． 栏目索引
第七章
不等式、推理与证明
第1讲 不等式的性质与一元二次不等式
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【考纲导学】 1．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际 背景． 2．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型． 3．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联 系． 4．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解栏的目索程引 序框图．
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第七章 不等式、推理与证明
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5．(教材习题改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的 实数根，则实数m的取值范围是________________．
【答案】(－∞，－3－2 2)∪(－3＋2 2，＋∞)
【解析】由题意知 Δ＝(m＋1)2＋4m＞0，即 m2＋6m＋1＞0，解得 m＞－3＋2 2或
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形；当Δ<0时，
ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)： (1)a＞b⇔ac2＞bc2.( ) (2)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ad＞bc.( ) (3)若关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集为(x1，x2)，则必有 a＞0.( ) (4)若关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则关于 x 的不等式 ax2＋bx ＋c＞0 的解集为 R.( )
(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验 证；二是用特殊值法排除．
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【跟踪训练】
1．(1)(2018 年哈尔滨模拟)若 b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a＋b＞ab；
③ab＋ba＞2；④ab2＜2a－b.其中正确的不等式的个数为(
A．(0,4]
B．[0,4)
C．[－1,0)
D．(－1,0]
【答案】B 【解析】因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，所以M∩N＝[0,4)．
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3．当 x＞0 时，若不等式 x2＋ax＋1≥0 恒成立，则 a 的最小值为( )
(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，
b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a
B．a>c≥b
C．c>b>a
D．a>c>b
(2)若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①a＋1 b＜a1b；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④
ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( A．①④
A．ad＞bc
B．ad<bc
C．ac＞bd
D．ac<bd
【答案】B
【解析】因为 c＜d＜0，所以 0＞1c＞1d，同乘－1，得－1d＞－1c＞栏0.目又索引a＞b＞0，
故由不等式的性质可知－ad＞－bc＞0.同乘－1，得ad＜bc.故选 B．
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2．设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )
Δ＝0
有两相等实根 x1＝x2＝－2ba
文科数学 Δ＜0
没有实数根
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判别式Δ＝b2－4ຫໍສະໝຸດ cΔ＞0Δ＝0Δ＜0
ax2＋bx＋c＞0 (a ＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0 (a ＞0)的解集
__{_x_|x_>_x_2_或__x_<_x_1_}__
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当 a＞0 时，不等式的解集为xx≥2a或x≤－1
；

当－2＜a＜0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1
；

当 a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；
当 a＜－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a
) B．②③
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C．①③ 【答案】(1)A (2)C
D．②④
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【解析】(1)因为 c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以 c≥b.又 b＋c＝6－4a＋3a2，
所以 2b＝2＋2a2.所以 b＝a2＋1.所以 b－a＝a2－a＋1＝a－122＋34>0.所以 b>a.所以 c≥b>a.
(2)因为1a＜1b＜0，故可取 a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错
误；因为 ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．综上所述，可排
除 A，B，D．故选 C．
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【规律方法】(1)比较大小常用的方法：①作差法；②作商法；③函数的单调性 法．
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(5)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a＜0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
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第七章 不等式、推理与证明
课堂 考点突破
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比较大小及不等式的性质的应用
式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进
行讨论，比较大小，以便写出解集．
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【跟踪训练】 2．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． 【解析】原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0，解得 x≤－1. ②当 a＞0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0， 解得 x≥2a或 x≤－1.
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2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c___>_____b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c____>____b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac___>_____bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac___>_____bd. (5)可乘方：a＞b＞0⇒an___>_____bn(n∈N，n≥1)．
_____x_x_≠__－__2_ba____
________________ R
________________ ________________ ________________
{x|x1<x<x2}
∅
∅
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1．若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )

.
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③当 a＜0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0. 当2a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤2a； 当2a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意； 当2a＜－1，即－2<a<0，解得2a≤x≤－1. 综上所述，当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
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01 课前 基础诊断
02 课堂 考点突破
03 课后 感悟提升
04
配套训练
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第七章 不等式、推理与证明
课前 基础诊断
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1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法aa－ －bb>＝00⇔⇔aa＝> b，b，
a－b<0⇔a < b. ab>1⇔a > ba∈R，b>0， (2)作商法ab＝1⇔a＝ba∈R，b>0， ab<1⇔a < ba∈R，b>0.
)
A．1
B．2
C．3
D．4
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(2)设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ac>bc；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－
c)．其中所有结论正确的序号是( )
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
【答案】(1)B (2)D
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(2)由不等式性质及 a＞b＞1 知1a＜1b，又 c＜0，所以ac＞bc，①正确；构造函数 y ＝xc，因为 c＜0，所以 y＝xc 在(0，＋∞)上是减函数，又 a＞b＞1，所以 ac＜bc，知 ②正确；因为 a＞b＞1，c＜0，所以 a－c＞b－c＞1，所以 logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b －c)，知③正确．
m＜－3－2 2.
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1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c.在乘法法则
中，要特别注意“乘数c的符号”．例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条
件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
A．－2
B．－3
C．－1
D．－32
【答案】A
【解析】当 Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2 时，不等式 x2＋ax＋1≥0 对任意 x＞0 a2－4>0，
恒成立；当 Δ＝a2－4＞0 时，则需－a2<0， 解得 a＞2.所以使不等式栏目x索2＋引 ax＋1≥0 对任意 x＞0 恒成立的实数 a 的最小值是－2.
(6)可开方：a＞b＞0⇒n a___>_____n b(n∈N，n≥2)．
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3．三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次
方程 ax2＋bx＋c＝ 有两相异实根 x1，
0(a＞0)的根
x2(x1＜x2)
－1)∪32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪32，＋∞.
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(2)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0， 所以x1＝a，x2＝1. ①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1<x<a}； ②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅； ③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a<x<1}．
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【规律方法】含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，
对参数进行分类讨论．若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若
二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等
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一元二次不等式的求解
(1)求不等式－2x2＋x＋3<0的解集； (2)解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0.
【解析】(1)化－2x2＋x＋3<0 为 2x2－x－3>0，
解方程 2x2－x－3＝0 得 x1＝－1，x2＝32，所以不等式 2x2－x－3>0 的解集为(－∞，
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4 ． 已 知 不 等 式 x2 － 2x ＋ k2 － 1>0 对 一 切 实 数 x 恒 成 立 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ________________．
【答案】(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞) 【解析】由题意，知 Δ＝4－4×1×(k2－1)<0，即 k2>2，解得 k> 2或 k<－ 2.