配套K122017_2018学年高一数学5月月考试题

湖北省随州市第二高级中学2017-2018学年高一5月月考
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若0a b <<，则下列不等式不成立的是（ ） A ．
11a b a >- B ．11
a b
> C ．a b > D ．22a b > 2.若不等式2
10ax
bx ++>的解集为113x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭，则a b +的值为（ ）
A ．5
B ．-5
C ．6
D ．-6 3.若3
cos 45
πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．
725 B ．15 C ．15- D ．725
- 4.计算sin 20cos110cos160sin70︒︒+︒︒的值为（ ） A ．0 B ．1 C. -1 D ．1
2
5.在ABC 中，15a =，10b =，60A =︒，则cos B =（ ）
A ．3±
B ．3 C. 3
- D ．3
6.已知
ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三
角形一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形 C. 等边三角形 D ．等腰直角三角形 7.等差数列
{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ）
A ．1
B ．2 C. 3 D ．4 8.已知等比数列
{}n a 中，12a =，518a =，则234a a a =（ ）
A ．36
B ．216 C. 36± D ．216±
9.如图所示，'''Rt
A B C 为水平放置的ABC 的直观图，其中''''A C B C ⊥，
''''1B O O C ==，则ABC 的面积为（ ）
A ．．
10.《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图是等腰直角三角形，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A ．2
B ．4+4+．6+11.已知公差不为零的等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且84S π=，函数
()()cos 2sin 1f x x x =+，则()()()128f a f a f a ++
+的值为（ ）
A ．0
B ．4π C. 8π D ．与1a 有关
12.某同学在研究下学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ）得出如下一些结论： （1）若ABC 是钝角三角形，则tan tan tan 0A B C ++>； （2）若
ABC 是锐角三角形，则cos cos sin sin A B A B +>+；
（3）在三角形
ABC 中，若A B <，则()()cos sin cos tan A B <；
（4）在
ABC 中，
若2sin 5B =，3
tan 4
C =，则A C B >>.其中错误命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C. 2
D ．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若0x >，0y
>，且13
1x y
+=，则3x y +的最小值为 ．
14.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于 ．
15.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 面体ABCD 外接球表面积为 ．
16.斐波那契数列（Fibonacci sequence ），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多 斐波那契（Leonardoda Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：1
1F =，21F =，()123n n n F F F n --=+≥，则
12320162018F F F F F +++
+-= ；
()20192462018F F F F F -++++= ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知1cos 7α
=
，()13cos 14αβ-=，且02
π
βα<<< . （1）求tan 2α的值； （2）求β. 18. 已知数列
{}n a 是等差数列，13a =，412a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且
1233n n S +=-（*n N ∈）.
（1）求数列
{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设1
9
n n n n c b a a +=+
，求数列{}n c 的前n 项和为n T .
19.如图所示，正方体1AC 中，M 、N 分别是棱1BB 和AB 的中点，过点M 、N 、D 、1C 的截面将正方体分成两部分
.
（1）作出左上部分几何体的三视图； （2）求分正方体成两部分的几何体体积之比. 20. 在
ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，且
23cos 2sin sin 2sin 33B A A A ππ⎛⎫⎛⎫
=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
（1）求角B 的值； （2
）若b
=ABC 周长的最大值.
21.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：
1
,162,3
x c x
P x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨
⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数） （注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器元件可以盈利2万元，但每生产1万件仪器元件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量 .
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 22.已知数列
{}n a 的前n 项和为n A ，且13a =，()21n n A n a =+.
（1）求
{}n a 的通项公式；
（2）记12
n n n
n
a a T +=
，若对于任意*
n N ∈，总有n T m ≤成立，求实数m 的取值范围； （3）设n S 为数列
{}n b 的前n 项和，其中2n
a
n b =，问是否存在正整数n ，t ，使
111
16
n n n n S tb S tb ++-<-成立，若存在，求出正整数n ，t ；若不存在，请说明理由.
试卷答案
一、选择题
1-5: ABDCD 6-10: ABBBD 11、12：A D 二、填空题
13. 16 14. m )13(120- 15. π7 16. -1，1 三、解答题
17.解：（1）34tan 2
0,71cos =∴<<=
απ
αα，且 4738tan 1tan 22tan 2-=-=
α
αα.
（2）2
0,1413)cos(,71cos παββαα<<<=-=
且 14
33)sin(,734sin =-=
∴βαα ()[]143
3711413734)sin(cos )cos(sin sin sin ⋅-⋅=
---=--=βααβααβααβ
2
3=
3
,2
0π
βπ
β=
∴<
< .
18.解：（1）设是等差数列{}n a 的公差为d ，则31
41
4=--=a a d 所以n n a n 33)1(3=⨯-+=，
数列{}n b 中，因为3321
-=+n n s ，
当33221-=≥-n n s n 时，
，得n n b 3=， 当适合上式得时，
3,23321112
1==-==b b s n 所以n
n b 3=.
（2）()1911
133311n n n n
n n c a a n n n n +⎛⎫=+
=+=+- ⎪++⎝⎭
数列{}n c 的前n 项和为
1
2331113133)111()3121()2
1
11()333(T 1121++
-=+-+--=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-++++=++n n n n n n n n n ）（
19.解：（1）三视图：
（2）设正方体棱长为a ，截面右下方的体积是
3
2222124
7)21218181(311a a a a a a V V CDC MNB =⨯+⨯+==-棱台，
截面左上方的体积是3
1224
17a V V V =
-=， 分正方体成两部分的几何体体积之比是17:7:21=V V . （也可写成17:7）. 20.解：（1）因为23cos 2sin(
)sin(
)2sin 3
3
B A A A π
π
=+⋅-+
22211333
sin sin )2sin cos sin 22222
A A A A A A A =+-+=+=， 所以1cos 2
B =，因为B 是三角形的内角，所以3B π
=.
（2
）正弦定理得
4sin sin sin 3a c A C ===，所以2
4sin ,4sin()3
a A c A π==-， 因此三角形ABC
周长24sin 4sin())36
l A A A π
π=+-+=++
因为203A π<<，所以当3
A π
=
时，max l =21.解：（1）当x c >时，23P =
，12
21033
T x x ∴=⋅-⋅= ， 当1x c ≤≤时，1
6P x
=-，21192(1)2()1666x x T x x x x x -∴=-
⋅⋅-⋅⋅=--- 综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：2
92,160,x x x c T x x c ⎧-≤≤⎪
=-⎨⎪>⎩
.
（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0，
当1x c ≤≤时，2926x x T x -=-9
152[(6)]6x x
=--+-15123≤-=，当且仅当3x =时取等
号，
所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =；
()ii 当13c ≤<时，令[][)+∞⊆-∈-=,35,66c x t ，由t
t 9
+
在[)∞+，3单调递增， 2max
926c c T c
-∴=-，此时x c =，
综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润.
n a a a a a a a a n n n 31
23
121=⋅⋅⋅⋅
=- .
所以{}n T 中的最大值为2
32=
=T T ，
要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立,只需⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡+∞∈,227m . (3) 2
n
a n
b =n
n
82
3==，7
)
18(881)81(8-=--=
n n n S ，。