仪征二中江都大桥中学高三数学联考卷

仪征二中江都大桥中学2008届高三数学联考卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分共70分,请将答案写在答题纸上．．．．．．．．．．
） 1．已知a b ∈R ，，且i 3,
i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两
个根，那么+a b = ．
2. 设命题p: 134≤-x ,命题q:,0)1()12(2≤+++-a a x a x 若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,
则实数a 的取值范围是____________
3. 不等式823≤++k y x 表示的平面区域包含(0, 0)及(1, 1)两点, 则k 的取值范围是_________
4. 集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ⊆A ，则a=__________
5．过点)3,2(--，且与x 轴、y 轴的截距相等的直线方程是 __________________
6. 双曲线C 与椭圆22
14924
x y +=的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线的方程是________ 7. 已知
12cos 1cos sin =-⋅ααα，3
2
)(tg -=-βα，则)2(tg αβ-等于_________
8．一个几何的三视图如图所示：其中，主视图中△ABC 的边长是2的正三角形，俯视图为正
六边形，那么该几何体几的体积为
.
9. 设12,F F 为椭圆22
143
x y +=左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PFQF 面积最大时，12PF PF ⋅的值等于 .
10.定义在R 上的函数()x f 满足()023=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
x f x f 且函数⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=43x f y 为奇函数,给出下列命题①函数()x f 的最小正周期是23②函数()x f 的图象关于点)0,4
3
(-对称
③函数()x f 的图象关于y 轴对称其中真命题的是_____________(把你认为正确的填上)
11. 设函数f （x ）=x 3
－2
2
x －2x +5.若对任意x ∈［－1，2］，都有f （x ）>m ，则实数m 的取值
范围是________.
12. 函数f (x )定义域为R ，x 、y ∈R 时恒有f (xy )=f (x )+f (y )，若f (27+)+f (27-)=2，则
f (
1261
(
)1261
-++f )= A B
13.设两个向量1e 、2e 满足|1e |=2，|2e |=1，1e 与2e 的夹角为600，若向量2172e e +=λ与向量21e e n λ+=的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____________ 14若函数())4(log -+
=x
a
x x f a （a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________.
二、解答题（本大题共90分，第15，16，17题14分，第18,19,20题16分.
15已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π(1)求α2tan 的值.（2）求β.
16 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB=5, AA 1＝4，点D 是AB 的中点，
（I ）求证：AC ⊥BC 1；
（II ）求证：AC 1//平面CDB 1；
（III ）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．
17.从边长2a 的正方形铁片的四个角各截一个边长为x 的正方形然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x 与底面正方形边长的比不超过正常数t .（Ⅰ）把铁盒的容积V 表示为x 的函数，并指出其定义域； （Ⅱ）x 为何值时，容积V 有最大值.
18.如图,已知
圆
25
:22=+y x O 过)0,5(-A ,
)0,5(B 分别作x 轴的垂线21,l l ,点
),(b a P 在O 上,过点)0)(,(≠b b a P 作圆的切线l 分别与直线
21,l l 交于D C ,,直线BC AD ,交于),(n m M (1)当4,3==b a 时,求四边形ABDC 的面积
(2)求OD OC .
(3)是否存在+∈R λ,使得2
2n m λ+是定值,若存在,
求出该定值.
19.设平面上的动向量a =（s ，t ），b =（－1，t 2－k ）其中s ，t 为
不同时为0的两个实数，实数0≥k ，满足a ⊥b ， （1）求函数关系式()s f t =； （2）若函数),1()(+∞=在t f s 上是单调增函数，求k 的范围
（3）对上述0),(=k t f 当，存在正项数列2
21)()()(}{n n n S a f a f a f a =+++ 满足
，
第(16)题
第(17)题
第(18)题
其中}{,21n n n a a a a S 试求+++= 通项公式并证明4
71112
22
21
<+++n
a a a
20已知点列B 1(1,y 1)、B 2(2,y 2)、…、B n (n,y n )（n ∈N ）
顺次为一次函数12
1
41+=x y 图象上的点， 点列A 1(x 1,0)、A 2(x 2,0)、…、A n (x n ,0)（n ∈N ） 顺次为x 轴正半轴上的点，其中x 1=a （0＜a ＜1）， 对于任意n ∈N ，点A n 、B n 、A n+1构成以 B n 为顶点的等腰三角形。

⑴求{y n }的通项公式，且证明{y n }是等差数列；
⑵试判断x n+2-x n 是否为同一常数（不必证明），并求出数列{x n }的通项公式；
⑶在上述等腰三角形A n B n A n+1中是否存在直角三角形？若有求出此时a 值若不存在说明理由
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1． -1 2. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21,0
3. [－８,３]
4. 3
1
210或或-
5 02y -3x 05==++或y x 6. x y 5
6
2±
= 7. 81 8．32
9. 2
10. ②__③__ 11.（－∞，
2
7） 12.-4
13. ),2
14()214,21()7,(+∞-
--∞ 14 04a <≤或1a ≠
二、解答题（本大题共90分，第15，16，17题14分，第18,19,20题１６分）
15 解：（1）由1cos ,072παα=<<，得sin α=………2分
∴sin 7
tan cos 1
ααα=
==4分
于是22tan tan 21tan
1ααα===--6分 （2）由02
π
αβ<<<
，得02
π
αβ<-<
………………………………7分
又∵()13
cos 14αβ-=，∴()sin αβ-==10分 由()βααβ=--得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦
()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-1131
7142
=⨯=……12分
所以3
π
β=
…………………………………………14分，
16（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；…………………4分
（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1，
∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1；…………………9分
（III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，
在△CED 中，ED=
21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=2
1
CB 1=22， ∴
8cos 5
5
22
CED ∠=
=
⋅， ∴ 异面直线 AC 1与 B 1C
所成角的余弦值
5
.…………………14分 17．（Ⅰ）由已知正方形的长为2a -2x ,高为x ，
22(22)4(),0,0,
2,0.2212220,0.1212122{|0}.
12V a x x x a x x a x a x at
t x a x t at a at a x t t t
at
x x t
=-⋅=-<<<<⎧⎧⎪⎪∴⇒⎨⎨≤<≤⎪⎪-+⎩⎩-=>∴<≤+++∴<≤+则函数的定义域为 …………………6分(写出解析式得3分)
（Ⅱ）x a ax x x a x V 2232484)(4+-=-=
222112164,0,(),,33124
a a at V x ax a V x x a t t ''∴=-+==
=
≤
≥+令则或舍去若即时…………………8分
22,,.,.33212,0,121640,(0,],3124122()12112:,,;0,.
43412a a
x V V x V a at at t V x ax a V t t
at
x V x t
a at
t x V t x V t ∴=
∴='><<=-+>∴++∴=+≥=<<=+当取极大值而存在最大值当时取最大值若即时在上是增函数当时取最大值
综上知当时容积取最大值当时时容积取最大值
……………14分(未讨论扣4分)
18解: (1)当4,3==b a 时,易得l 方程为02543=-+y x ……………2分
)
25
,5()10,5(D C -∴……………3分
212510)2510(21)(21=⨯+=+=
AB BD AC s ……………5分 (2) l 方程为025=-+by ax ……………6分 )525,5()525,5(5025b a
D b a C x by ax -+-⎩
⎨
⎧-==-+同理解得……………7分
2525)
25(2525)
525,0).(525,0(25..)).((.2
2
=+-=-+
-=-++-=+=++=b a b a
b a BD
AC OB OA BD OB AC OA OD OC
……………10分
(3)设存在)525,5()525,5(5025b a
D b a C x by ax -+-⎩
⎨
⎧-==-+同理……………11分
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=
+-+=--105
525010
55250x b
a y x b
a y 为定值
要使2222n m b
n a m b y a x λ+⎪⎩
⎪⎨⎧==∴⎪⎩
⎪⎨⎧==……………13分
105
52501055250--=
+-+=
--x b a y BC x b a y AD 方程直线方程直线
4
25)2
(2222=∴=++λλb a b
a 为定值
则……………16分
19.解（1）解：;)(),(32kt t t f s k t t s -==-+-=⋅得 ……………4分 （2）：),1[03)(2+∞∈≥-='t k t t f 对成立，
(6)
分
故30,332≤≤≤≤k k t k 所以得；
……………8分 （3）,0,)(,,313212332312>=+⋅=-+++=--n n n n n n n n n n a a S S a a S S a a a S 因为即得由 故,,,2121212121-------=+=+=+n n n n n n n n n n a a a a a S S a S S 两式相减得于是 因为,,1,,1,01312111n a a a S a a a a n n n n n ====->+--所以得又得
(12)
分
4
7
)2111(2111112111(211)1111513141213111(2111111111211112222122=++
〈+-
-++=+--++-+-+-+〈+++∴⎪⎭⎫
⎝⎛+--=-〈n n n n a a a n n n n n
……………16分
20解：（1）12
1
41n n y +=(n ∈N),y n+1-y n =4
1,∴{y n }为等差数列 (4')
（2）x n+1-x n =2为常数 (6') ∴x 1,x 3,x 5,…,x 2n-1及x 2,x 4,x 6,,…，x 2n 都是公差
为2的等差数列，
∴x 2n-1=x 1+2(n-1)=2n-2+a ，x 2n =x 2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a ， ∴x n =⎩⎨
⎧-+当n为偶数
a，-n ，当n为奇数1,a n (10')
（3）要使A n B n A n+1为直角三形，则 |A n A n+1|=2n B y =2(1214+n )⇒x n+1-x n =2(12
1
4
+n )(12') 当n 为奇数时，x n+1=n+1-a ，x n =n+a-1,∴x n+1-x n =2(1-a).
⇒2(1-a)=2(1214+n ) ⇒a=4
1211
n
-(n 为奇数，0＜a ＜1) (*) 取n=1，得a=
3
2，取n=3，得a=61
，若n ≥5，则(*)无解； (14')
当偶数时，x n+1=n+a ，x n =n-a ，∴x n+1-x n =2a.
∴2a=2(1214+n )⇒a=12
1
4
+n (n 为偶数，0＜a ＜1) (*')，取n=2，得a=127
, 若n ≥4，则(*')无解.
综上可知，存在直角三形，此时a 的值为32
、
6
1
、127
. (16')
附加题部分
一.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
1. 122t p
2. 2:3(-4)
3.
12-
4. (0,6)
二.解答题（本大题共20分，第5， 6题10分） 5.解:9
5
)0(4,2,1,0)1(=
=ξP x 且的可能取值为 9
1
)4(,92)2(,91)1(======ξξξP P P
(2)由(1)可知
9
16
91)14(92)12(91)11(95)10()(1
9
1
4922911950)(2222=
⨯-+⨯-+⨯-+⨯-==⨯+⨯+⨯+⨯=ξξV E
6.
126044
33
22
9
9 A
A A A。