高考数学 总复习阶段性测试题五 平面向量 北师大版

阶段性测试题五(平面向量)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2012·临川模拟)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8
[答案] B
[解析] |2a －b |2
＝4a 2
－4a ·b ＋b 2
＝8， ∴|2a －b |＝2 2.
2．(2012·芜湖一模)已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则k 的取值范围是( )
A ．[－4,6]
B ．[－6,4]
C ．[－6,2]
D ．[－2,6]
[答案] C
[解析] ∵|a ＋b |＝|(3，k ＋2)|＝k ＋
2
＋32≤5，∴(k ＋2)2≤42
，∴－6≤k ≤2.
∴选C.
3．(2012·丽水一模)已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 [答案] A
[解析] 已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，
a ·
b ＝－30＋30＝0，则a 与b 垂直．
4．(2012·威海一模)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →
等于( )
A ．a ＋34b
B.14a ＋34b
C.14a ＋1
4b D.34a ＋14
b [答案] B
[解析] AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →
＝AB →＋34(AC →－AB →
)＝14AB →＋34AC →
＝14a ＋3
4
b . 5．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865
C.1665
D ．－1665
[答案] C
[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算和数量积的坐标运算，在解决问题时需要先设出向量坐标，然后求得参数，该题较为简单．
由题可知，设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，
所以cos 〈a ，b 〉＝
a·b |a||b|＝16
65
，故选C.
6．(文)(2012·宝鸡模拟)已知a 、b 均为非零向量，命题p ：a ·b >0，命题q ：a 与b 的夹角为锐角，则p 是q 成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 当a 与b 夹角为0°时，a ·b >0；∴p ⇒/ q ， 当a 与b 夹角α为锐角时，a ·b ＝|a |·|b |cos α>0， ∴q ⇒p .因此p 是q 成立的必要不充分条件．
(理)(2012·宝鸡模拟)已知a ＝(1,3)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋λb ，若a 和c 的夹角是锐角，则λ的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52，＋∞ B.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－52
C ．{0} D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)
[答案] D
[解析] 由条件得，c ＝(1＋λ，3＋λ)，从而
⎩⎪⎨⎪
⎧
a ·c ＝1＋λ＋＋λ
1＋λ1
≠3＋λ
3
⇒λ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)．
7．(文)(2012·九江一模)已知向量m ＝(1,1)，n ＝(1，t )，若m ·n ＝3，则向量m 与向量n 夹角的余弦值为( )
A.510
B.3210
C.
35
10
D.31010
[答案] D
[解析] ∵m ·n ＝3，∴1＋t ＝3，∴t ＝2， ∴n ＝(1,2)，|m |＝2，|n |＝5，
∴cos<m ，n >＝m ·n |m ||n |＝32×5
＝310
10，故选D.
(理)(2012·九江一模)已知向量a 与b 的夹角为π
3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为
( )
A. 3
B. 2
C.22
D.32
[答案] C
[解析] ∵a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b > ＝2cos π3＝2
2
.故应选C.
8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( )
A.π2 B ．－π2
C.π4
D ．－π4
[答案] A
[解析] 由|2a ＋b |＝|a －2b |知 3|a |2
－3|b |2
＋8a ·b ＝0. 而|a |＝1，|b |＝1，故a ·b ＝0， 即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π， 故－π<α－β<0，故β－α＝π
2
，选A.
9．(文)(2012·泉州一模)已知向量m ，n 满足m ＝(2,0)，n ＝(32，32)．在△ABC 中，AB →
＝
2m ＋2n ，AC →＝2m －6n ，D 为BC 边的中点，则|AD →
|等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
[答案] A
[解析] 由D 为BC 边的中点得， |AD →|＝12|AB →＋AC →|.
又∵12(AB →＋AC →)＝1
2(4m －4n )
＝2m －2n ＝(1，－3) ∴|AD →
|＝2，故选A.
(理)(2012·泉州一模)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →
＝0，则△ABC 一定是( )
A ．等腰直角三角形
B ．非等腰直角三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形 [答案] C
[解析] ∵(AB →＋AC →)·BC →
＝0， ∴(AB →＋AC →)(AC →－AB →
)＝0， ∴AC →2－AB →2＝0，即|AC →|＝|AB →| 又A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°. 从而C ＝A ＝60°.故△ABC 为等边三角形．
10．(文)(2011·辽宁理)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )
A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2
[答案] B
[解析] 本小题考查内容为向量数量积及向量模的计算． |a ＋b －c |2
＝|a |2
＋|b |2
＋|c |2
＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )
(a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －b ·c ＋|c |2
＝1－(a ·c ＋b ·c )≤0，
∴|a ＋b －c |2
≤1，∴|a ＋b －c |max ＝1.
(理)(2011·四川文)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝(a ，b )．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则m n
＝( )
A.215
B.15
C.415
D.13
[答案] B
[解析] 向量a 的坐标有(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)．共6种情况，以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形共有C 2
6＝15个．
以a ，b 为邻边所作平行四边形的面积为
S ＝|a ||b |sin<a ，b >＝|a ||b |1－cos 2<a ，b >
＝|a ||b |
1－a ·b 2|a |2|b |
2＝|a |2|b |2
－
a ·
b 2
.
分别以a ＝(2,1)，b ＝(4,1)；a ＝(2,1)，b ＝(4,3)；a ＝(4,5)，b ＝(2,3)为邻边的平行
四边形面积为2，故m ＝3，所以m n ＝315＝1
5
.
[点评] 本题综合考查了平面向量的数量积、排列组合知识及分析问题、解决问题的能力，综合性较强，难度较大．
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2012·沈阳调研)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b 等于________． [答案] 1
[解析] ∵a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1.
12．已知e 1，e 2是夹角为2π
3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实
数k 的值为________．
[答案] 5
4
[解析] a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 2
2＝k －2＋(1－2k )cos
2π3＝2k －52
.
∵a ·b ＝0，∴2k －52＝0，即k ＝5
4
.
13．(文)(2011·湖南文)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
[答案] (－4，－2)
[解析] 考查向量坐标数乘运算等． 由a 与b 方向相反可设a ＝λ(2,1)，λ<0， 所以由|a |＝25＝5|λ|，知λ＝－2， 所以a ＝(－4，－2)．
(理)(2011·湖南理)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →
＝________.
[答案] － 1
4
[解析] 本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算．
如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝12(a ＋b )，BE →＝BC →＋CE →＝(b －a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3＝2
3b －a ，
∴AD →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23b －a
＝13a ·b －|a |2
2＋|b |2
3－1
2a ·b ＝|b |2
3－|a |22－16a ·b
＝13－12－16×12＝－14
. 14．(2012·黄山模拟)设向量 a ，b 的夹角为θ，a ＝(2,1)，a ＋3b ＝(5,4)，则sin θ＝________.
[答案]
10
10
[解析] 设b ＝(x ，y )， ∵a ＝(2,1)，a ＋3b ＝(5,4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2＋3x ＝5，1＋3y ＝4，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1，y ＝1，
∴b ＝(1,1)，
∴cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝2＋15×2
＝310
10. 又∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝1－cos 2
θ＝
10
10
. 15．(2012·济南调研)在直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →
＝2i ＋m j ，则实数m ＝________.
[答案] 0或－2
[解析] 本题考查了向量的运算． 由已知可得BC →＝AC →－AB →
＝i ＋(m －1)j . 当A ＝90°时，AB →·AC →
＝(i ＋j )·(2i ＋m j ) ＝2＋m ＝0，m ＝－2.
当B ＝90°时，BA →·BC →
＝－(i ＋j )·[i ＋(m －1)·j ] ＝－(1＋m －1)＝－m ＝0，m ＝0.
当C ＝90°时，CA →·CB →＝－(2i ＋m j )·[－i －(m －1)j ]＝2＋m (m －1)＝m 2
－m ＋2＝0， 此时m 不存在．故m ＝0或－2.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2012·郑州模拟)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(－2,1)，c ＝(7，－4)，是否能以a ，b 为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量c 用这一组基底表示出来；若不能，请说明理由．
[解析] ∵a ＝(3，－2)，b ＝(－2,1)． ∴a ·b ＝3×1－(－2)×(－2)＝－1≠0.
∴a 与b 不共线，故一定能以a ，b 作为平面内的所有向量的一组基底． 设c ＝λa ＋u b 即
(7，－4)＝(3λ，－2λ)＋(－2u ，u ) ＝(3λ－2u ，－2λ＋u )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3λ－2u ＝7－2λ＋u ＝－4
，解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
λ＝1u ＝－2
.
∴c ＝a －2b .
17．(本小题满分12分)(2012·徐州模拟)已知平面内A 、B 、C 三点在一条直线上，OA →
＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →
，求实数m ，n 的值．
[解析] 由于C 、A 、B 三点在一条直线上，则AC →∥AB →
， 又AC →＝OC →－OA →
＝(7，－1－m )， AB →＝OB →－OA →
＝(n ＋2,1－m )， ∴7(1－m )－(－1－m )(n ＋2)＝0. 整理得mn ＋n －5m ＋9＝0， 又OA →⊥OB →， ∴－2n ＋m ＝0.
联立方程组解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝6
n ＝3或⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝3n ＝3
2
.
18．(本小题满分12分)(2012·盐城一模)已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，θ∈(－π2，π
2
)．
(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．
[解析] (1)因为a ⊥b ，所以sin θ＋3cos θ＝0. 得tan θ＝－ 3.
又θ∈(－π2，π2)，所以θ＝－π3
.
(2)因为|a ＋b |2
＝(sin θ＋1)2
＋(cos θ＋3)2
＝5＋4sin(θ＋π
3
)．
所以当θ＝π6时，|a ＋b |2
的最大值为5＋4＝9.
故|a ＋b |的最大值为3.
19．(本小题满分12分)(2012·洛阳模拟)已知向量a ＝(1sin x ，－1
sin x )，b ＝(2，cos2x )．
(1)若x ∈(0，π
2]，试判断a 与b 能否平行？
(2)若x ∈(0，π
3
]，求函数f (x )＝a ·b 的最小值．
[解析] (1)若a 与b 平行，则有1sin x ·cos2x ＝－1sin x ·2，因为x ∈(0，π
2]，sin x ≠0，
所以得cos2x ＝－2，这与|cos2x |≤1相矛盾，故a 与b 不能平行．
(2)由于f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2x sin x ＝2－cos2x
sin x
＝1＋2sin 2
x sin x ＝2sin x ＋1
sin x
，
又因为x ∈(0，π3]，所以sin x ∈(0，3
2]，
于是2sin x ＋1
sin x
≥2
2sin x ·
1
sin x
＝22， 当2sin x ＝1sin x ，即sin x ＝2
2
时取等号．
故函数f (x )的最小值等于2 2.
20．(本小题满分13分)已知向量OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，－1，OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，cos2x ，
定义函数f (x )＝OP →·OQ →
.
(1)求函数f (x )的表达式，并指出其最大值和最小值；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝1，bc ＝8，求△ABC 的面积S .
[解析] (1)f (x )＝OP →·OQ →
＝(－2sin x ，－1)·(－cos x ，cos2x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4， ∴f (x )的最大值和最小值分别是2和－ 2. (2)∵f (A )＝1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝22. ∴2A －π4＝π4或2A －π4＝3π
4.
∴A ＝π4或A ＝π
2.
又∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＝π4，
∵bc ＝8，
∴△ABC 的面积S ＝1
2bc sin A
＝12×8×2
2
＝2 2. 21．(本小题满分14分)(2012·西安模拟)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →＝(－sin α，2)，点P 满足AB →＝BP →
.
(1)记函数f (α)＝PB →·CA →
，α∈(－π8，π2)，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域；
(2)若O ，P ，C 三点共线，求|OA →＋OB →
|的值．
[解析] (1)AB →＝(cos α－sin α，－1)，设OP →
＝(x ，y )， 则BP →
＝(x －cos α，y )．
由AB →＝BP →
得x ＝2cos α－sin α，y ＝－1，
故OP →＝(2cos α－sin α，－1)．
PB →＝(sin α－cos α，1)，CA →＝(2sin α，－1)．
f (α)＝PB →·CA →
＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1)
＝2sin 2α－2sin αcos α－1＝－(sin2α＋cos2α) ＝－2sin(2α＋π4
)， 又α∈(－π8，π2)，故0<2α＋π4<5π4
， 当0<2α＋π4≤π2，即－π8<α≤π8
时，f (α)单调递减； 当π2<2α＋π4<5π4，即π8<α<π2时，f (α)单调递增， 故函数f (α)的单调递增区间为(π8，π2
)， 单调递减区间为(－π8，π8
]， 因为sin(2α＋π4)∈(－22
，1]， 故函数f (α)的值域为[－2，1)．
(2)OP →＝(2cos α－sin α，－1)，OC →＝(－sin α，2)，
由O ，P ，C 三点共线可得
(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝43
. sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425
. ∴|OA →＋OB →|＝
α＋cos α2＋1
＝2＋sin2α＝745. [点评] 本题是三角函数与平面向量的综合问题，这类试题的难度一般不大，但解题时要细心，要正确利用平面向量的相关知识，特别是平面向量中的共线、垂直关系．。