贵州省黔东南州凯里一中高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

2015-2016学年贵州省黔东南州凯里一中高二（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={1，2}，B={0，1，2}．则命题：“若x∈A，则x∈B”的逆命题是（）A．若x∉A则x∈B B．若x∉A则x∉B C．若x∈B则x∈A D．若x∉B则x∉A
2．某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是（）
A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．非上述答案
3．已知向量=（x，2，4），=（3，y，12），且∥，则x+y的值为（）
A．1 B．6 C．7 D．15
4．执行右图的程序框图后，若输入和输出的结果依次为4和51，则m=（）
A．18 B．5 C．15 D．8
5．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）
A．B．C．D．
6．已知五个数3，5，7，4，6，则该样本标准差为（）
A．1 B．C．D．2
7．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
8．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有=x++，则x的值为（）A．1 B．0 C．3 D．
9．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1的左，右焦点，M是C上的一点，且|MF2|=10，
则|MF1|=（）
A．10 B．8 C．4 D．2
10．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）
A．B．C．D．
11．已知x，y的取值如表：
x 1 2 2 3
y 2 4 4 6
从所得的散点图分析，y与x线性相关，且，则=（）
A．2 B．3 C．2.1 D．3.1
12．“m∈（2，6）”是“方程+=1为椭圆方程”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．101110（2）转化为十进制数是．
14．已知向量=（1，2，3），=（﹣1，，m），且⊥，则m= ．
15．在选择题中，有这样的要求“每小题4分，每小题给出的四个选项中，有一项或一项以上符合题意，错选、漏选均不得分”，某生对某个小题的信息一无所知，随便选了一个选项，该生得分的概率是．
16．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交C于A、B两点，P为C的准线上的动点，且A、B、P三点不共线，∠APB=θ，则的取值范围是．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．
18．已知x，y是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0．
19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频数直方图中a的值；
（Ⅱ）分别球出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数．
20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G分别是DD1，BD，BB1的中点．（1）求证：EF⊥CF；
（2）求EF与CG所成角的余弦值；
（3）求CE的长．
21．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率；（1）A：取出的2个球全是白球；
（2）B：取出的2个球一个是白球，另一个是红球．
22．已知双曲线C：的离心率，F1、F2为其左右焦点，
点P在C上，且，，O是坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F2的直线l与双曲线C交于A，B两点，求的取值范围．
2015-2016学年贵州省黔东南州凯里一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={1，2}，B={0，1，2}．则命题：“若x∈A，则x∈B”的逆命题是（）A．若x∉A则x∈B B．若x∉A则x∉B C．若x∈B则x∈A D．若x∉B则x∉A
【考点】四种命题间的逆否关系．
【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．
【分析】把原命题的题设和结论互换，就得到原命题的逆命题．
【解答】解：命题：“若x∈A，则x∈B”的逆命题是：
若x∈B则x∈A，
故选：C．
【点评】本题考查四种命题，解题的关键是熟练掌握四种命题的相互转换和它们之间的相互关系．属基础题．
2．某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是（）
A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．非上述答案
【考点】收集数据的方法．
【专题】计算题．
【分析】分别利用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的特征进行对比，能够得到正确选取项．
【解答】解：本题符合系统抽样的特征：
总体中各单位按一定顺序排列，根据样本容量要求确定抽选间隔，
然后随机确定起点，每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式．
故选B．
【点评】本题考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的特征，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3．已知向量=（x，2，4），=（3，y，12），且∥，则x+y的值为（）
A．1 B．6 C．7 D．15
【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】计算题；转化思想；分析法；空间向量及应用．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵∥，
∴存在实数λ使得．=λ，
∴，解得x=1，y=6．
∴x+y=7．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．
4．执行右图的程序框图后，若输入和输出的结果依次为4和51，则m=（）
A．18 B．5 C．15 D．8
【考点】程序框图．
【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出s的表达式，从而求出m的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
输入n=4，i=1，s=1，1≤4，s=1+m×1=m+1；
i=2，2≤4，s=（m+1）+m×2=3m+1；
i=3，3≤4，s=（3m+1）+m×3=6m+1；
i=4，4≤4，s=（6m+1）+m×4=10m+1；
i=5，5＞4，终止循环，输出s=10m+1=51，
所以m=5．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果．
5．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【专题】概率与统计．
【分析】小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且棱长为1的正方体内．这个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为．
【解答】解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：
以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．
这个小正方体的体积为1，
大正方体的体积为27，
故安全飞行的概率为p=．
故选C．
【点评】本题考查几何概型概率的求法，解题时要认真审题，注意小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．
6．已知五个数3，5，7，4，6，则该样本标准差为（）
A．1 B．C．D．2
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差．
【解答】解：数据3，5，7，4，6的平均数为=（3+5+7+4+6）=5
方差为S2=[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2]=2
∴标准差为
故答案为
【点评】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：
（1）计算数据的平均数；
（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；
（3）计算偏差的平方和；
（4）偏差的平方和除以数据个数．
标准差即方差的算术平方根；
注意标准差和方差一样都是非负数．
7．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【考点】命题的否定．
【专题】应用题．
【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．
【解答】解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题
而特称命题的否定是全称命题，
则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数
故选B
【点评】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“∃x∈A，p （A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，是解答本题的关键．
8．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有=x++，则x的值为（）
A．1 B．0 C．3 D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】计算题．
【分析】由空间内四点共面的结论可得式子右边3个系数的和比为1，解之可得．
【解答】解∵=x++，且M，A，B，C四点共面，
∴必有x++=1，解之可得x=，
故选D
【点评】本题考查空间向量的共面问题，熟记简单结论是解决问题的关键，属基础题．9．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1的左，右焦点，M是C上的一点，且|MF2|=10，
则|MF1|=（）
A．10 B．8 C．4 D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的定义，转化求解即可．
【解答】解：F1，F2分别是双曲线C：﹣=1的左，右焦点，可得a=4，b=3，c=5，
M是C上的一点，且|MF2|=10，则|MF2|﹣|MF1|=2a=8，
解得|MF1|=2．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义，考查计算能力．
10．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能
求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．
【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，
基本事件总数n==6，
取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，
∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用．
x 1 2 2 3
y 2 4 4 6
从所得的散点图分析，y与x线性相关，且，则=（）
A．2 B．3 C．2.1 D．3.1
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；规律型；函数思想；概率与统计．
【分析】求出样本中心坐标代入回归直线方程求解即可．
【解答】解：由题意可知：=，==4．
因为回归直线经过样本中心，所以4=0.95×2+，解得=2.1．
故选：C．
【点评】本题考查回归直线方程的应用，基本知识的考查．
12．“m∈（2，6）”是“方程+=1为椭圆方程”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】原方程要表示椭圆方程，需满足，即2＜m＜6，且m≠4，所以看m∈
（2，6）能否让方程满足这个条件，这样即可判断m∈（2，6）是否是方程表示椭圆方程的充分条件；然后看若方程表示椭圆方程，则它要满足条件：2＜m＜6，且m≠4，这时候看能否得到2＜m＜6，这样即可判断m∈（2，6）是否是方程表示椭圆方程的必要条件；这样即可找到正确选项．
【解答】解：（1）若m∈（2，6），则：0＜m﹣2＜4，0＜6﹣m＜4，m﹣2=6﹣m时，m=4；∴方程不一定为椭圆方程；
∴m∈（2，6）不是方程为椭圆方程的充分条件；
（2）若方程为椭圆方程，则：
，解得2＜m＜6，且m≠4，所以能得到m∈（2，6）；
∴m∈（2，6）是方程表示椭圆方程的必要条件；
∴m∈（2，6）是方程表示椭圆方程的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．101110（2）转化为十进制数是46 ．
【考点】进位制．
【专题】计算题；转化思想；分析法；算法和程序框图．
【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到十进制数．
【解答】解：101110（2）=0×20+1×21+1×22+1×23+1×25=46．
故答案为：46．
【点评】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位的权重，熟练掌握数制转换是解答本题的关键，属于基础题．
14．已知向量=（1，2，3），=（﹣1，，m），且⊥，则m= 0 ．
【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用．
【分析】根据⊥，得•=0，列出方程求出m的值．
【解答】解：∵向量=（1，2，3），=（﹣1，，m），且⊥，
∴•=﹣1+2×+3m=0，
解得m=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与垂直的应用问题，是基础题目．
15．在选择题中，有这样的要求“每小题4分，每小题给出的四个选项中，有一项或一项以上符合题意，错选、漏选均不得分”，某生对某个小题的信息一无所知，随便选了一个选项，
该生得分的概率是．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】用列举法求出该题答案可能种数有多少种，由此能求出该生得分的概率．
【解答】解：该题答案可能为：
A，AB，AC，AD，ABC，ABD，ACD，ABCD，B，BC，BD，BCD，C，CD，D，
共15种可能，
∴某生对某个小题的信息一无所知，随便选了一个选项，
该生得分的概率是p=．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．16．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交C于A、B两点，P为C的准线上的动点，且A、B、P三点不共线，∠APB=θ，则的取值范围是[，1）．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】证明以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，可得0°＜θ≤90°，即可求出
的取值范围．
【解答】解：设AB为过抛物线焦点F的弦，C为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，
∵AC+BC=AM+BN
∴CQ=AB，
∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，
∵P为C的准线上的动点，且A、B、P三点不共线，∠APB=θ，
∴0°＜θ≤90°，
∴≤＜1．
故答案为：[，1）．
【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】画出图形，结合图形以及椭圆的定义与性质，求出a、b的值，即可写出椭圆的方程．
【解答】解：如图所示，
设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c；
则离心率e==，
∴4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16；
∴a=4，
∴c=×4=2，
∴b2=a2﹣c2=42﹣=8；
∴椭圆的方程是．
【点评】本题考查了椭圆的定义与简单的几何性质的应用问题，解题时应结合图形进行解答问题，是基础题．
18．已知x，y是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据充要条件的定义进行证明即可．
【解答】解：充分性：若xy＞0，则﹣=＜0，即＜成立．
必要性：若＜，则﹣=＜0，∵x＞y，∴y﹣x＜0，∴xy＞0，
综上＜的充要条件是xy＞0．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频数直方图中a的值；
（Ⅱ）分别球出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数．
【考点】频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1求a的值；
（II）根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50，60）与[60，70）的频率，再利用频数=样本容量×频率求得人数．
【解答】解：（I）由频率分布直方图得：（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1⇒a=0.005；
（II）成绩落在[50，60）与[60，70）的频率分布为0.01×10+0.015×10=0.25，
∴成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数为20×0.25=5（人）．
【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中，频率=小矩形的高×组距=．
20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G分别是DD1，BD，BB1的中点．（1）求证：EF⊥CF；
（2）求EF与CG所成角的余弦值；
（3）求CE的长．
【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】综合题．
【分析】（1）利用线面垂直的判定证明CF⊥平面BDD1B1，再利用线面垂直的性质证明EF⊥CF；（2）取B1D1的中点M，连接GM，CM，B1D．在平面BB1DD1上，FE∥B1D，GM∥B1D，所以∠CGM （或其补角）为EF与CG所成角，故可求；
（3）直接利用勾股定理计算可得．
【解答】（1）证明：在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵F是BD的中点
∴CF⊥BD，D1D⊥CF
∵BD∩D1D=D
∴CF⊥平面BDD1B1，
∵点E、F分别是DD1，BD的中点．
∴EF⊂平面BDD1B1，
∴EF⊥CF；
（2）取B1D1的中点M，连接GM，CM，B1D．
在平面BB1DD1上，FE∥B1D，GM∥B1D，所以∠CGM（或其补角）为EF与CG所成角．
在△CMG中，MG=，CG=，CM=
∴cos∠CGM==
∴EF与CG所成角的余弦值为；
（3）在直角△DEC中，CD=1，DE=，∴CE=
【点评】本题重点考查线面垂直的判定与性质，考查线线角，熟练掌握线面垂直的判定与性质是关键．
21．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率；（1）A：取出的2个球全是白球；
（2）B：取出的2个球一个是白球，另一个是红球．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）用用列举法可得从袋中6个球中一次任意取出2个球的基本事件的个数为C62，其中取出的2个球均为白球的个数为C42，再利用古典概型的概率计算公式即可得出；（2）取出的2个球颜色不相同包括C41个基本事件，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．
【解答】解：设4个白球的编号为1，2，3，4；2个红球的编号为5，6．
从袋中的6个球中任取2个球的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15
种情况．
（1）从袋中的6个球中任取2个，所取的2个球全是白球的总数，共有6种情况，即（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）．
所以取出的2个球全是白球的概率P（A）==．
（2）从袋中的6个球中任取2个，其中一个为红球，而另一个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），共8种情况，所以取出的
2个球一个是白球，另一个是红球的概率P（B）=．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算方法，属于基础题．
22．已知双曲线C：的离心率，F1、F2为其左右焦点，点P在C上，且，，O是坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F2的直线l与双曲线C交于A，B两点，求的取值范围．
【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）先求出a=b，设出双曲线方程，根据，求出a2=2，从而求出双曲线方程即可；（2）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理求出即可．
【解答】解：（1）由e=⇒=⇒c=a，b==a，
故双曲线C的方程为x2﹣y2=a2（a＞0）．
由⇒x p=c=a，y p=±a，又F1（﹣a，0），F2（a，0），
⇒a2=2，故得出双曲线C的方程为﹣=1．…
（2）由（1）知点F1、F2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），
当直线的斜率不存在时，得•=14；…
当直线的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣2），并设A（x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2）），由⇒（k2﹣1）x2﹣4k2x+4k2+2=0，依题意知k2﹣1≠0．
•=（x1+2，k（x1﹣2））（x2+2，k（x2﹣2））=（k2+1）x1x2﹣（2k2﹣2）（x1+x2）+4k2+4，将x1+x2=，x1x2=代入上式化简得：
•=14+，由k2≥0及k2≠1，•≤2或•＞14，
综上可知•的取值范围是（﹣∞，2]∪[14，+∞）．…
【点评】本题考察了求双曲线的方程问题，考察直线和曲线的关系，是一道中档题．。