贵州省遵义求是高级中学2018-2019高二下学期月考数学(理)试题(解析版)

湄潭求是高中2018-2019学年度第二学期第一次月考高二理科数学试题一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12小题,每小题5分,共60分）
1.“”是“”的（）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由不等式性质及充分必要条件判断即可．
【详解】由不等式性质可知：“”，则“”成立
反之，若x=1,y=0,满足但不成立，所以“”是“”的充分不必要条件故选：B
【点睛】本题考查充分必要条件判断，不等式性质的应用，熟记判定定理是关键，是基础题
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
【详解】∵直线x+y﹣20的斜率k，设倾斜角为，则tan=
∴直线x+y﹣2 =0倾斜角为．
故选：C．
【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题
3.如图，在等腰中，，M为的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为，则二面角的大小为（）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知得折叠之后AM＝CM，AM⊥BM，CM⊥BM，∠AMC是二面角C﹣BM﹣A的平面角，由此能求出二面角C﹣BM﹣A的大小．
【详解】∵等腰直角△BC中，B＝BC＝2，M为C中点，
∴折之前C2，BM⊥C，
∴折之后AM＝CM，AM⊥BM，CM⊥BM，
∴∠AMC是二面角C﹣BM﹣A的平面角，
∵折后A，C间的距离为，
由余弦定理得cos∠AMC＝，∵∠AMC
∴二面角C﹣BM﹣A的大小为，即为120°
故选：D．
【点睛】本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养,证明∠AMC是二面角C ﹣BM﹣A的平面角是关键，是基础题
4.已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是3,则点P到另一个焦点的距离为( )
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据条件求出a＝6；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．
【详解】设所求距离为d，由题得：a＝6．
根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a＝3+d⇒d＝2a﹣3＝9．
故选：D．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．
5.如图所示，梯形是一平面图形的直观图(斜二测画法)，若，，
，，则四边形ABCD的面积是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长，上底边边长，以及高，然后求出面积．
【详解】如图，根据直观图画法的规则，
直观图中A1D1∥O′y′，，⇒原图中AD∥Oy，
从而得出AD⊥DC，且AD＝，
直观图中，，⇒原图中AB∥CD，AB＝CD＝4，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为4，6，高为4，如图．
故其面积S（4+6）×4＝20
故选：D．
【点睛】本题考查平面图形的直观图，考查计算能力，作图能力，熟记斜二测画法是关键，是基础题
6.已知直线，直线，若，则实数的值为( )
A. ±4
B. －4
C. 4
D. ±2
【答案】B
【解析】
∵直线l1：ax＋2y－1＝0，直线l2：8x＋ay＋2－a＝0，且l1∥l2
∴，且
∴
故选B
点睛：（1）当直线的方程存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意的系数不能同时为零的这一隐含条件；
（2）在判断两条直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
7.已知抛物线的图象与抛物线的图象关于直线对称,则抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出曲线的准线，然后根据对称性的求解关于直线y＝﹣x对称的直线，即为所求曲线的准线方程．【详解】因y＝2x2的准线方程为y，关于y＝﹣x对称方程为x．
所以所求的抛物线的准线方程为：x
故选：B．
【点睛】本题主要考查了抛物线的准线的求解，曲线关于直线对称的求解，属于对基础知识的考查，试题比较容易．
8.两圆与的公共弦长等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．【详解】∵两圆为x2+y2+4x﹣4y＝0①，x2+y2+2x﹣12＝0，②
①﹣②可得：x﹣2y+6＝0．
∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+6＝0，
∵x2+y2+4x﹣4y＝0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2，
∴圆心到公共弦的距离为d＝0，
∴公共弦长＝4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
9.函数在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由函数f(x)的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，
当x>0时，函数单调递增，
所以导数f′(x)的符号是正，负，正，正。

对应的图象为C.
本题选择C选项.
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
三视图还原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．
【详解】三视图还原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．
∴长方体的体积＝4×2×2＝16，
半个圆柱的体积22×π×4＝8π
所以这个几何体的体积是16+8π；
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力
11.已知圆，则过点的最短弦所在直线的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l的方程.
【详解】由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，
P(1,2)，
圆C：x2＋y2－4x－5＝0，标准方程为，
，；
；
由点斜式得直线l方程为：，即.
故选D.
【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.
12.如图，在直三棱柱中，为的中点，，则异面直线BD与AC 所成的角为（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】
取中点E,连接DE，BE,得∠DEB或其补角为所求，在三角形DEB中求解角即可
【详解】取中点E,连接DE，BE,则DE∥∥AC,故∠DEB或其补角为所求
又BD=BE=在三角形DEB中,cos∠DEB=,又0°<∠DEB< 90°,故∠DEB=45°
故选：B．
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，熟记异面直线所成角的定义，准确计算是关键，考查计算能力，是基础题
二、填空题：(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.命题“对任何”的否定是_______
【答案】存在
【解析】
【分析】
由全称命题的否定即可求解
【详解】由全称命题的否定知，“任意”改为“存在”，否定结论，故“对任何”的否定是：存在
故答案为：存在
【点睛】本题考查全称命题的否定，熟记否定原则是关键，是基础题
14.函数的导函数______________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数的求导法则求解即可
【详解】由题
故答案为
【点睛】本题考查导数的基本运算，熟记运算法则是关键，是基础题
15.由曲线所围成的封闭图形的面积是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出的图像，由对称性，可得两个图象围成的面积等于函数y＝2x﹣x2在[0，2]上的积分值的2倍，根据定积分计算公式加以计算，即可得到所求面积．
【详解】由题，画出两函数图像，关于x轴对称，因此，曲线y＝及所围成的封闭图形的面积是y＝与x轴围成面积的2倍，
故S（2x﹣x2）dx＝2（x2x3）．
故答案为：．
【点睛】本题考查曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题．16.过点A(4，1)的圆C与直线相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_________．
【答案】(x－3)2＋y2＝2
【解析】
直线的斜率为1，
∴过点直径所在直线方程斜率为-1，∵，
∴此直线方程为，即，
设圆心C坐标为，即
解得，
∴圆心坐标为，半径为，
则圆方程为．
故答案为．
【点睛】本题考查圆的标准方程，两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解题的关键．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（1）用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(2n－1)(2n＋1)(n∈N*)．
（2）命题P：对于任意实数都有恒成立；命题Q：关于的方程有实数根；若命
题为假命题，且命题为真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）(－∞，0)∪
【解析】
【分析】
（1）先验证时成立，再假设时，等式成立，再证明成立即可；（2）根据二次函数恒成立的充要条件，可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，再求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据为假命题，命题为真命题判断命题p，q一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．
【详解】（1）证明：当时，左边，右边，等式成立；
假设当时，等式成立，即
12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(2k－1)(2k＋1)(k∈N*)，则
当n=k+1时
12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝k(2k－1)(2k＋1)＋(2k＋1)2
＝ (2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]＝(k＋1)[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1],
即当时等式也成立；
由、可知对任意的n∈N*等式都成立.
（2）对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或⇔0≤a<4.
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤.
由题，P,Q一真一假
如果P正确，Q不正确，有0≤a<4，且a>，所以<a<4.
如果Q正确，P不正确，有a<0或a≥4，且a≤，所以a<0.
所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p 与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．
18.已知圆，直线．
（1）判断直线与圆C的位置关系；
（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．
【答案】(1)直线l与圆C必相交(2)．
【解析】
【分析】
（1）判断直线过定点，利用点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；（2）根据直线的倾斜角
为，求出直线斜率以及直线的方程，利用弦长公式即可求弦的长.
【详解】(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1，1)，
又＝1<，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－．
此时，圆心C(0，1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝，
又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及直线过定点问题，属于中档题. 已知直线方程，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.
19.已知函数在与时都取得极值．
（1）求实数，的值及函数的单调区间；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），b＝－3，增区间为和(1，＋∞)，减区间为；（2）c＜－1或c＞2
【解析】
【分析】
1）根据极值的意义，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可；（2）由（1）得，由于x∈[﹣1，2]恒成立，求出函数的最大值，将不等式恒成立转化为＜c2列出不等式，求出c的范围即可．
【详解】(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，得
，b＝－3，.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：
所以函数f(x)的增区间为和(1，＋∞)，减区间为.
(2)，x[－1,2]，由（1）知，当f（x）单调递减，，f（x）单调递增，故f（x）的最大值为或f(2)
又， f(2)＝2＋c，则函数最大值为2＋c，要使f(x)＜c2在区间[－1,2]上恒成立．只需c2
＞2＋c，解得c＜－1或c＞2.
所以c的取值范围是c＜－1或c＞2.
【点睛】本题考察了利用导数研究函数的极值，最值问题，是导数的应用问题，准确计算是关键，是一道中档题
20.如图，四棱锥中，，，与都是边长为的等边三角形.
（1）证明：平面底面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）取BD的中点E，连结PE，EA，证明，进而证明底面，再利用平面与平面垂直的判定定理证明即可．（2）证明平面PCD,则BP为所求
【详解】（1）证明：连接，设的中点为，连接，
∵与都是边长为的等边三角形，∴，，
∴.∵,∴.
又，∴，，.
∵，∴底面.又平面，
∴平面底面.
（2）∵，，
∴，.
∵，
∴，，.∴.∵，
∴，.
∵,，∴平面PCD,则BP为所求
∴点到平面的距离为.
【点睛】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
21.已知双曲线的离心率为，过点和的直线与原点的距离为. （1）求双曲线C的方程；
（2）直线与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求的取值范围．
【答案】解答：（1）；（2）或
【解析】
分析：（1）利用椭圆的离心率e＝，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为，建立方程，求得几何量，即可求得双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立，利用C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，可设CD的中点为P，则AP⊥CD，结合直线垂直，即可求得m的取值范围．
详解：(1)－y2＝1.
(2)消去y得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0⇒m2＋1＞3k2.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
因为AP⊥CD，
所以k AP＝＝＝－，
整理得3k2＝4m＋1.②
联立①②得m2－4m＞0，
所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1＞0，
所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.
故m的取值范围为∪(4，＋∞)．
点睛：本题考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力和几何分析能力，能正确找出对应几何等式是解题关键，属于中档题．
22.如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M．
（1）求证：EN∥平面PDC；
（2）求证：BC⊥平面PEB；
（3）求直线与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）先证明AD∥MN，再证明四边形DENM为平行四边形，即DE MN，即可证明EN∥平面PDC（2）先证明PE⊥AD，再由AD⊥EB，得线面垂直即可证明；（3）由（1），（2）以E为原点建立空间直角坐标系，求平面PBC的法向量，利用线面角的向量公式即可求解
【详解】（1）证明：因为AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
所以AD∥平面PBC．又平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN．
又因为AD∥BC，所以MN∥BC．又因为N为PB的中点，所以M为PC的中点，所以MN＝BC．
因为E为AD的中点，DE＝AD＝BC＝MN，所以DE MN，所以四边形DENM为平行四边形，所以EN∥DM．
又因为EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，所以EN∥平面PDC．
（2）因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，所以BE⊥AD．
又因为PAD是正三角形，E为AD的中点，故PE⊥AD,又面PAD与底面ABCD垂直,且两面的交线为AD，所以PE⊥面ABCD，故PE⊥AD,PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PEB．因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB．
（3）由（1），（2）知，EP,EA,EB两两互相垂直，以E为原点，EP,EA,EB所在直线为z轴，x轴，y轴，建立空间直角坐标系，如图
则，，，，∴，
，.
设平面的法向量，则，令，则
，设直线与平面PBC所成角为，
sin.
直线与平面PBC所成角的正弦值为．
【点睛】本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，空间向量与立体几何，考查空间想
象能力，是中档题。