湖南省(长郡中学、衡阳八中)、江西省(南昌二中)等十四校2018届高三第二次联考数学(文)试题(解析版)

2018届高三·十四校联考第二次考试
数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据一元二次不等式的解法化简集合，根据指数函数的性质化简集合
，可得，，故选B.
2.复数的共轭复数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
利用复数的乘法法则化简，从而可得复数的共轭复数为
，故选B.
3.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
因为与不相等，所以函数不是偶函数，图象不关于纵轴对称，所以可排除
，代，可排斥，故选D.
4.若实数，满足，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
画出表示的可行域，如图，由可得，平移直线，由图可知当直线过
时，直线在纵轴上的截距最大，此时有最大值等于，故选B.
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由三视图可知，该几何体是一个长方体内部挖掉一个半圆锥，其中长方体的长宽高分别为，圆锥的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选C.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视
图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
6.已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，，故为假命题，为真命题.因为，，所以命题：，为假命题，所以为真命题，则为真命题，故选A．
7.函数的部分图象如图所示，已知，，则的对称中心为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
，由五点作图法可得是第二点，可得
，，由，得，的对称中心为，故选C. 【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.
8.如图是为了求出满足的最小整数，和两个空白框中，可以分别填入（）
A. ，输出
B. ，输出
C. ，输出
D. ，输出
【答案】A
【解析】
为了求出满足的最小整数，就是使的第一个整数，所以判断框内应该填写；根据程序框图可知，当时，已经被替换，所以应输出，才能得到满足的最小整数，故选A.
9.已知某地春天下雨的概率为.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率；先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示下雨，，，，，，表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下组随机数：，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，.据此估计，该地未来三天恰有一天下雨的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据题意，表示未来三天是否下雨的结果，当未来三天恰有一天下雨，就是三个数字中只有一
个数字在集合，考查这组数据，以下个数据符合题意，按次序分别为
，其概率，故选C.
10.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由正弦定理可得，可得
，，由，可得
，，由为三角形内角，可得，由正弦定理可得
由，可得，故选D.
11.已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（）
A. 或
B. 或
C.
D.
【答案】B
【解析】
∵直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得.
故选B．
12.已知函数，若实数满足，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意得函数的定义域为，函数为奇函数，又当时，
，函数在上单调递增，则上奇函数为增函数，
，即，，解得，故选A.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直
是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后后的横线上.
13.已知，，，则__________．
【答案】
【解析】
因为，所以可得，又，
，解得，故答案为.
14.已知函数，，则的单调递增区间为__________．
【答案】或
【解析】
，根据正弦函数的单调性可得，解得得，又的单调递增区间为，故答案为或
.
15.菱形边长为，，将沿对角线翻折使得二面角的大小为，已知、
、、四点在同一球面上，则球的表面积等于__________．
【答案】
【解析】
如图，点分别为外接圆的圆心，点为球心，因为菱形边长为，，所以
，，，
故答案为.
16.设椭圆：的左、右焦点、，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
点在椭圆的内部，，，即，，解得
，又，且，要恒成立，即
，，则椭圆离心率的取值范围是，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先
将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用
点在椭圆的内部以及三角形的性质构造出关于的不等式，最后解出的范围.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知是等差数列，是等比数列，，，，.
（1）求，的通项公式；
（2）的前项和为，求证：.
【答案】（1），；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据是等差数列，是等比数列，，，，列出关于公比、
公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列，的通项公式；（2）由（1）可知，根据错位相减法结合等比数列的求和公式可得的前项和为，利用放缩法可得结论.
试题解析：（1）设公差为，公比为，
由题意得：，
解得，或（舍），
∴，.
（2），
，
相减得：，
∴，∴.
【方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
18.已知如图，平面，四边形为等腰梯形，，.
（1）求证：平面平面；
（2）已知为中点，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）连接，过作于，过作于，由三角形内角和定理可得，由
平面，可得，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由（1）知，，
∴为直角三角形，为中点，设到平面距离为，根据“等积变换”可求得
，进而可得与平面所成角的正弦值.
试题解析：（1）连接，过作于，过作于.
在等腰梯形中，∵，∴.
∴，则，，
∴即，
∵平面，平面，
∴，∴平面，
又平面，∴平面平面.
（2）∵由（1）知，，∴为直角三角形，为中点，设到平面距离为，
∴，
∵，
∴，
即，∴.
∴与平面所成角的正弦值等于.
19.随着智能手机和电子阅读器越来越普及，人们的阅读习惯也发生了改变，手机和电子阅读产品方便易携带，越来越多的人习惯通过手机或电子阅读器阅读.某电子书阅读器厂商随机调查了人，统计了这人每日平均通过手机或电子阅读器阅读的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率分布直方图，已知阅
读时间在，，三组对应的人数依次成等差数列.
（1）求频率分布直方图中，的值；
（2）若将日平均阅读时间不少于分钟的用户定义为“电子阅读发烧友”，将日平均阅读时间少于分钟的用户定义为“电子阅读潜在爱好者”，现从上述“电子阅读发烧友”与“电子阅读潜在爱好者”的人中按分层抽样选出人，再从这人中任取人，求恰有人为“电子阅读发烧友”的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）由，解得，
又，∴；（2）根据分层抽样方法可得抽取“发烧友”抽取人，“潜在爱好者”抽取人，利用列举法可得这人中任选人的事件有个，其中从人中任取人恰有人为“电子阅读发烧友”的事件共有种，根据古典概型概率公式可得结果.
试题解析：（1）由，
解得，
又，∴.
（2）“电子阅读发烧友”“电子阅读潜在爱好者”的人数之比为：，所以“发烧友”抽取人，
“潜在爱好者”抽取人，
记事件：从人中任取人恰有人为“电子阅读发烧友”，
设两名“电子阅读发烧友”的人记为：，，三名“电子阅读潜在爱好者”的人记为：，，，
则这人中任选人有：
，，，，，，，，，，
共种情形，
符合题设条件的有：
，，，，，共有种，
因此恰有人为“电子阅读发烧友”的概率为.
【方法点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次
….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
20.已知抛物线：上一点，直线过与相切，直线过坐标原点与直线平行交于.
（1）求的方程；
（2）与垂直交于，两点，已知四边形面积为，求的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）把代入：得，∴抛物线：，设斜率为，：，由抛
物线方程联立，利用判别式为零可得，从而可得的方程；（2）由四边形面积为，可求得，设：，联立得，根据韦达定理及弦长公式列方程可求
得.所以方程为.
试题解析：（1）把代入得，∴抛物线：，
设斜率为，：，
联立：得，
由，化简得，
∴，：.
（2）联立易得，则，
∵，∴，∴.
设：，
联立得，
设，，
则，，
，
解得.所以方程为.
21.已知.
（1）求的单调递减区间；
（2）证明：当时，恒成立.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数
增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）令，利用导数研究函数的单调性可得时，，时，，∴时，，从而可得结论.
试题解析：（1）易得定义域为，
，解得或.
当时，∵，∴，
解得，∴的单调递减区间为；
当时，
i.若，即时，时，，
时，，时，，
∴的单调递减区间为；
ii.若，即时，时，恒成立，
没有单调递减区间；
iii.若，即时，时，；时，，
时，，∴的单调递减区间为.
综上：时，单调递减区间为；时，单调递减区间为；
时，无单调递减区间；时，单调递减区间为.
（2）令，
则
.
令，，
时，，时，，
∴时，，即时，恒成立.
解得或，时，，时，
，∴时，，得证.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线与交于，两点，记点，相应的参数分别为，，当时，求的值. 【答案】（1），；（2）4
【解析】
试题分析：（1）曲线的参数方程为利用平方法消去参数可得出曲线的普通方程，由曲线
的极坐标方程利用即可得曲线的直角坐标方程；（2）由题知直线恒过定点
，又，由参数方程的几何意义知是线段的中点，由垂径定理可得的值.
试题解析：（1）曲线的参数方程为（为参数），
所以：的普通方程：，其中；
曲线的极坐标方程为，
所以：的直角坐标方程：.
（2）由题知直线恒过定点，又，
由参数方程的几何意义知是线段的中点，
曲线是以为圆心，半径的圆，
且.
由垂径定理知：.
23.已知，.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意的，，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得到不等式
的解集；；（2）分别求出的最小值和的最大值，利用，得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围.
试题解析：（1）不等式，即.
可得，或或，
解得或，所以不等式的解集为.
（2）依题意可知，
由（1）知，，
所以，故得的取值范围是.。