2019、2020年山东中考数学试题分类(5)——三角形与四边形(含答案)

2019、2020年山东中考数学试题分类（5）——三角形与四边形
一．三角形的重心（共2小题）
1．（2020•淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）
A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2
2．（2020•烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（）
A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4
二．三角形内角和定理（共1小题）
3．（2019•青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
三．全等三角形的性质（共1小题）
4．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
四．全等三角形的判定与性质（共7小题）
5．（2019•临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD 的长是（）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
6．（2019•滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO 平分∠BMC．其中正确的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2019•临沂）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是．
8．（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
9．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．
10．（2020•泰安）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．
求证：①EB＝DC，
②∠EBG＝∠BFC．
11．（2019•莱芜区）如图，已知等边△ABC ，CD ⊥AB 于D ，AF ⊥AC ，E 为线段CD 上一点，且CE ＝AF ，连接BE ，BF ，EG ⊥BF 于G ，连接DG ． （1）求证：BE ＝BF ；
（2）试说明DG 与AF 的位置关系和数量关系．
五．等腰三角形的性质（共1小题） 12．（2020•临沂）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，CD ∥AB ，则∠BCD ＝（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70° 六．勾股定理（共2小题） 13．（2020•烟台）如图，△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（ ）
A ．（√2）n
B ．（√2）n ﹣
1
C ．（
√22
）n D ．（
√22
）n ﹣1
14．（2019•枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB ＝2，则CD ＝ ．
七．勾股定理的逆定理（共1小题） 15．（2019•滨州）满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为（ ） A ．AB =√41，BC ＝4，AC ＝5 B ．AB ：BC ：AC ＝3：4：5 C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5
D ．|cos A −12
|+（tan B −
√3
3
）2＝0
八．等腰直角三角形（共1小题） 16．（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB ＝40cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．25cm 2
B ．
1003
cm 2
C ．50cm 2
D ．75cm 2
九．三角形综合题（共1小题） 17．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB 与∠ECD 恰好为对顶角，∠ABC ＝∠CDE ＝90°，连接BD ，AB ＝BD ，点F 是线段CE 上一点． 探究发现：
（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF ．你认为此结论是否成立？ ．（填“是”或“否”） 拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD ⊥DF ，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决：
（3）若AB ＝6，CE ＝9，求AD 的长．
一十．多边形内角与外角（共5小题） 18．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB 中，射线OC 交边AB 于点D ，则∠ADC 的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．85°
19．（2020•德州）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）
A．80米B．96米C．64米D．48米
20．（2020•济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6
21．（2019•莱芜区）如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．13
22．（2019•枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．
一十一．平行四边形的性质（共5小题）
23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（）
A．S1+S2＞S 2
B．S1+S2＜S 2
C．S1+S2=S 2
D．S1+S2的大小与P点位置有关
24．（2019•烟台）如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（）
A ．24
25
B ．4
5
C ．3
4
D ．12
25
25．（2020•济南）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：AE ＝CF ．
26．（2020•淄博）已知：如图，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE ＝BC ． 求证：△ABC ≌△DCE ．
27．（2020•青岛）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；
（2）连接AF ，CE ．当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
一十二．平行四边形的判定与性质（共1小题） 28．（2019•威海）如图，E 是▱ABCD 边AD 延长线上一点，连接BE 、CE 、BD ，BE 交CD 于点F ．添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是（ ）
A ．∠ABD ＝∠DCE
B ．DF ＝CF
C ．∠AEB ＝∠BC
D D ．∠AEC ＝∠CBD 一十三．菱形的性质（共3小题） 29．（2020•日照）已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（ ） A ．8√3 B ．8 C ．4√3 D ．2√3 30．（2019•东营）如图，在平面直角坐标系中，△AC
E 是以菱形ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，AC ＝2，点C 与点E 关于x 轴对称，则点D 的坐标是 ．
31．（2019•聊城）在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点E ，F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得∠AED ＝∠ABC ，∠ABF ＝∠BPF ． 求证：（1）△ABF ≌△DAE ； （2）DE ＝BF +EF ．
一十四．菱形的判定（共1小题） 32．（2020•滨州）如图，过▱ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、M 、Q 、N ． （1）求证：△PBE ≌△QDE ；
（2）顺次连接点P 、M 、Q 、N ，求证：四边形PMQN 是菱形．
一十五．矩形的性质（共3小题） 33．（2020•威海）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线l 3，l 4，l 2，l 1上．若直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4且间距相等，AB ＝4，BC ＝3，则tan α的值为（ ）
A ．3
8
B ．3
4
C ．
√52
D ．
√15
15
34．（2020•泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论： ①DN ＝BM ； ②EM ∥FN ； ③AE ＝FC ；
④当AO ＝AD 时，四边形DEBF 是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 35．（2020•菏泽）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，点P 在对角线BD 上，且BP ＝BA ，连接AP 并延长，交DC 的延长线于点Q ，连接BQ ，则BQ 的长为 ．
一十六．矩形的判定（共1小题） 36．（2019•临沂）如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是（ ）
A ．OM =1
2AC
B ．MB ＝MO
C ．B
D ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND
一十七．正方形的性质（共5小题） 37．（2019•莱芜区）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连接EN 、EF ，有以下结论： ①AN ＝EN
②当AE ＝AF 时，
SS SS
=2−√2
③BE +DF ＝EF
④存在点E 、F ，使得NF ＞DF 其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 38．（2020•青岛）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点
E 在CD 的延长线上，连接AE ，点
F 是AE 的中点，连接OF 交AD 于点
G ．若DE ＝2，OF ＝3，则点A 到DF 的距离为 ．
39．（2020•枣庄）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF 的周长是．
40．（2019•泰安）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点G．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
41．（2019•潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．
一十八．正方形的判定（共1小题）
42．（2020•威海）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB 上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（）
A ．四边形DEBF 为平行四边形
B ．若AE ＝3.6，则四边形DEBF 为矩形
C ．若AE ＝5，则四边形DEBF 为菱形
D ．若A
E ＝4.8，则四边形DEB
F 为正方形 一十九．梯形（共1小题） 43．（2020•泰安）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高A
G ＝2cm ，底边BC ＝6cm ，∠B ＝45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF ＝30°，则AF 的长为（ ）
A ．1cm
B ．
√63
cm C ．（2√3−3）cm
D ．（2−√3）cm
二十．*平面向量（共1小题）
44．（2019•日照）规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为（a ，b ），那么向量SS →
可以表示为：SS →=（a ，b ），如果SS →
与SS →
互相垂直，SS →
=（x 1，y 1），SS →
=（x 2，y 2），那么x 1x 2+y 1y 2＝0．若SS →
与SS →
互相垂直，SS →
=（sin α，1），SS →
=（2，−√3），则锐角∠α＝ ．
二十一．四边形综合题（共6小题） 45．（2020•德州）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3+2，AD =√3．把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB 边上的D ′处，再将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，得到△A 'ED ″，使得EA ′恰好经过BD ′的中点F ．A ′D ″交AB 于点G ，连接AA ′．有如下结论：①A ′F 的长度是√6−2；②弧D 'D ″的长度是5√312
π；③△A ′
AF ≌△A ′EG ；④△AA ′F ∽△EGF ．上述结论中，所有正确的序号是 ．
46．（2020•青岛）已知：如图，在四边形ABCD 和Rt △EBF 中，AB ∥CD ，CD ＞AB ，点C 在EB 上，∠ABC ＝∠EBF ＝90°，AB ＝BE ＝8cm ，BC ＝BF ＝6cm ，延长DC 交EF 于点M ．点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm /s ；同时，点Q 从点M 出发，沿MF 方向匀速运动，速度为1cm /s ．过点P 作GH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）． 解答下列问题：
（1）当t 为何值时，点M 在线段CQ 的垂直平分线上？
（2）连接PQ ，作QN ⊥AF 于点N ，当四边形PQNH 为矩形时，求t 的值； （3）连接QC ，QH ，设四边形QCGH 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；
（4）点P 在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点P 在∠AFE 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
47．（2020•临沂）如图，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC ＝60°，点E 是边AB 上任意一点（端点除外），
线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．
（1）求证：AF ＝EF ；
（2）求MN +NG 的最小值；
（3）当点E 在AB 上运动时，∠CEF 的大小是否变化？为什么？
48．（2020•济宁）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ，点E ，F ，G 分别在边BC ，CD 上，BE ＝CG ，AF 平
分∠EAG ，点H 是线段AF 上一动点（与点A 不重合）．
（1）求证：△AEH ≌△AGH ；
（2）当AB ＝12，BE ＝4时．
①求△DGH 周长的最小值；
②若点O 是AC 的中点，是否存在直线OH 将△ACE 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3．若存在，请求出SS SS 的值；若不存在，请说明理由．
49．（2020•德州）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，证明△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明△BED ≌△CAD 的判定定理是： ；
（2）AD 的取值范围是 ；
方法运用：
（3）如图2，AD 是△ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连结BF 并延长交AC 于点E ，使AE ＝EF ，求证：BF ＝AC ．
（4）如图3，在矩形ABCD 中，SS SS =12，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt △BEF ，且SS SS =12，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：EG ＝CG ．
50．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD 垂直平分AC．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2019、2020年山东中考数学试题分类（5）——三角形与四边形
参考答案与试题解析
一．三角形的重心（共2小题）
1．【解答】解：设EF ＝x ，DF ＝y ，
∵AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，
∴点F 为△ABC 的重心，AE =12AC =12b ，BD =12a ， ∴AF ＝2DF ＝2y ，BF ＝2EF ＝2x ，
∵AD ⊥BE ，
∴∠AFB ＝∠AFE ＝∠BFD ＝90°，
在Rt △AFB 中，4x 2+4y 2＝c 2，①
在Rt △AEF 中，x 2+4y 2=14b 2，②
在Rt △BFD 中，4x 2+y 2=14a 2，③
②+③得5x 2+5y 2=14（a 2+b 2），
∴4x 2+4y 2=15（a 2+b 2），④
①﹣④得c 2−15（a 2+b 2）＝0，
即a 2+b 2＝5c 2．
故选：A ．
2．【解答】解：∵点G 为△ABC 的重心，
∴AE ＝BE ，BF ＝CF ，
∴EF =12SS =1.7， 故选：A ．
二．三角形内角和定理（共1小题）
3．【解答】解：∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，
∴∠ABD ＝∠EBD =12∠ABC =35°2，∠AFB ＝∠EFB ＝90°，
∴∠BAF ＝∠BEF ＝90°﹣17.5°，
∴AB ＝BE ，
∴AF ＝EF ，
∴AD ＝ED ，
∴∠DAF ＝∠DEF ，
∵∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠C ＝95°，
∴∠BED ＝∠BAD ＝95°，
∴∠CDE ＝95°﹣50°＝45°，
故选：C ．
三．全等三角形的性质（共1小题）
4．【解答】解：∵△ABC ≌△ADE ，
∴AC ＝AE ，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，
即∠BAD ＝∠CAE ．故A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，
故选：B ．
四．全等三角形的判定与性质（共7小题）
5．【解答】解：∵CF ∥AB ，
∴∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠F ，
在△ADE 和△CFE 中{∠S =∠SSS
SSSS =SS SS =SS
，
∴△ADE ≌△CFE （AAS ），
∴AD ＝CF ＝3，
∵AB ＝4，
∴DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1．
故选：B ．
6．【解答】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝40°，
∴∠AOB +∠AOD ＝∠COD +∠AOD ，
即∠AOC ＝∠BOD ，
在△AOC 和△BOD 中，{SS =SS SSSS =SSSS SS =SS ，
∴△AOC ≌△BOD （SAS ），
∴∠OCA ＝∠ODB ，AC ＝BD ，①正确；
∴∠OAC ＝∠OBD ，
由三角形的外角性质得：∠AMB +∠OAC ＝∠AOB +∠OBD ，
∴∠AMB ＝∠AOB ＝40°，②正确；
作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图2所示：
则∠OGC ＝∠OHD ＝90°，
在△OCG 和△ODH 中，{∠SSS =∠SSS
SSSS =SSSS SS =SS ，
∴△OCG ≌△ODH （AAS ），
∴OG ＝OH ，
∴MO 平分∠BMC ，④正确；
∵∠AOB ＝∠COD ，
∴当∠DOM ＝∠AOM 时，OM 才平分∠BOC ，
假设∠DOM ＝∠AOM
∵△AOC ≌△BOD ，
∴∠COM ＝∠BOM ，
∵MO 平分∠BMC ，
∴∠CMO ＝∠BMO ， 在△COM 和△BOM 中，{∠SSS =∠SSS SS =SS SSSS =SSSS
，
∴△COM ≌△BOM （ASA ），
∴OB ＝OC ，
∵OA ＝OB
∴OA ＝OC
与OA ＞OC 矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选：B ．
7．【解答】解：∵DC ⊥BC ，
∴∠BCD ＝90°，
∵∠ACB ＝120°，
∴∠ACD ＝30°，
延长CD 到H 使DH ＝CD ，
∵D 为AB 的中点，
∴AD ＝BD ，
在△ADH 与△BCD 中，{SS =SS
SSSS =SSSS SS =SS ，
∴△ADH ≌△BCD （SAS ），
∴AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，
∵∠ACH ＝30°，
∴CH =√3AH ＝4√3，
∴△ABC 的面积＝S △ACH =12×4×4√3=8√3，
故答案为：8√3．
8．【解答】【问题解决】证明：在CD 上截取CH ＝CE ，如图1所示：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ECH ＝60°，
∴△CEH 是等边三角形，
∴EH ＝EC ＝CH ，∠CEH ＝60°，
∵△DEF 是等边三角形，
∴DE ＝FE ，∠DEF ＝60°，
∴∠DEH +∠HEF ＝∠FEC +∠HEF ＝60°，
∴∠DEH ＝∠FEC ，
在△DEH 和△FEC 中，
{SS =SS SSSS =SSSS SS =SS ，
∴△DEH ≌△FEC （SAS ），
∴DH ＝CF ，
∴CD ＝CH +DH ＝CE +CF ，
∴CE +CF ＝CD ；
【类比探究】解：线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC ＝CD +CE ；理由如下： ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A ＝∠B ＝60°，
过D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：
∵GD ∥AB ，
∴∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°，
∴∠GDC ＝∠DGC ＝60°，
∴△GCD 为等边三角形，
∴DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°，
∵△EDF 为等边三角形，
∴ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°，
∴∠EDG ＝∠FDC ，
在△EGD 和△FCD 中，
{SS =SS SSSS =SSSS SS =SS ，
∴△EGD ≌△FCD （SAS ），
∴EG ＝FC ，
∴FC ＝EG ＝CG +CE ＝CD +CE ．
9．【解答】证明：∵ED ⊥AB ，
∴∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，BC ＝DE ，
∴△ABC ≌△AED （AAS ），
∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，
∴CE ＝BD ．
10．【解答】解：（1）四边形BEAC 是平行四边形，
理由如下：
∵△AED 为等腰三角形，∠EAD ＝90°，B 是DE 的中点，
∴∠E ＝∠BAE ＝45°，∠ABE ＝90°，
∵△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝90°，
∴∠ABC ＝∠BAE ＝45°，∠ABE ＝∠BAC ＝90°，
∴BC ∥AE ，AC ∥BE ，
∴四边形BEAC 是平行四边形；
（2）①∵△ABC 和△AED 均为等腰三角形，∠BAC ＝∠EAD ＝90°，
∴AE ＝AD ，AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，
∴△AEB ≌△ADC （SAS ），
∴BE ＝CD ；
②延长FG 至点H ，使GH ＝FG ，
∵G是EC的中点，
∴EG＝DC，
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EGH≌△CGF（SAS），
∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，
∵CF＝CD，CD＝BE，
∴EH＝BE，
∴∠H＝∠EBG，
∴∠EBG＝∠BFC．
11．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°∵CD⊥AB，AC＝BC
∴BD＝AD，∠BCD＝30°，
∵AF⊥AC
∴∠F AC＝90°
∴∠F AB＝∠F AC﹣∠BAC＝30°
∴∠F AB＝∠ECB，且AB＝BC，AF＝CE
∴△ABF≌△CBE（SAS）
∴BF＝BE
（2）AF＝2GD，AF∥DG
理由如下：
连接EF，
∵△ABF≌△CBE
∴∠ABF＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC＝60°
∴∠ABE+∠ABF＝60°，且BE＝BF
∴△BEF是等边三角形，且GE⊥BF
∴BG＝FG，且BD＝AD
∴AF＝2GD，AF∥DG
五．等腰三角形的性质（共1小题）
12．【解答】解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，
∴∠ACB ＝70°，
∵CD ∥AB ，
∴∠ACD ＝180°﹣∠A ＝140°，
∴∠BCD ＝∠ACD ﹣∠ACB ＝70°．
故选：D ．
六．勾股定理（共2小题）
13．【解答】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，
∴OA 2=√2；
∵△OA 2A 3为等腰直角三角形，
∴OA 3＝2=(√2)2；
∵△OA 3A 4为等腰直角三角形，
∴OA 4＝2√2=(√2)3．
∵△OA 4A 5为等腰直角三角形，
∴OA 5＝4=(√2)4，
……
∴OA n 的长度为（√2）n ﹣1．
故选：B ．
14．【解答】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ，
在Rt △ABC 中，∠B ＝45°，
∴BC =√2AB ＝2√2，BF ＝AF =√22AB =√2，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD ＝BC ＝2√2，
在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，DF =√SS 2−SS 2=√6，
∴CD ＝BF +DF ﹣BC =√2+√6−2√2=√6−√2，
故答案为：√6−√2．
七．勾股定理的逆定理（共1小题）
15．【解答】解：A 、∵52+42=25+16=41=(√41)2，∴△ABC 是直角三角形，错误；
B 、∵（3x ）2+（4x ）2＝9x 2+16x 2＝25x 2＝（5x ）2，∴△AB
C 是直角三角形，错误；
C 、∵∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，∴∠C =
53+4+5×180°=75°≠90°，∴△ABC 不是直角三角形，正确； D 、∵|cos A −12|+（tan B −√33）2＝0，∴SSSS =12，SSSS =√33
，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°，∴∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，错误；
故选：C ．
八．等腰直角三角形（共1小题）
16．【解答】解：如图：设OF ＝EF ＝FG ＝x （cm ），
∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝2√2x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝2√2x，
∴x＝5√2，
∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm2）
故选：C．
九．三角形综合题（共1小题）
17．【解答】解：（1）如图（2）中，
∵∠EDC＝90°，EF＝CF，
∴DF＝CF，
∴∠FCD＝∠FDC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵BA＝BD，
∴∠A＝∠ADB，
∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，
∴∠ADB+∠FDC＝90°，
∴∠FDB＝90°，
∴BD⊥DF．
故答案为是．
（2）结论成立：
理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，
∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠A＝∠EDF，
∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，
∴∠E ＝∠EDF ，
∴EF ＝FD ，
∵∠E +∠ECD ＝90°，∠EDF +∠FDC ＝90°，
∴∠FCD ＝∠FDC ，
∴FD ＝FC ，
∴EF ＝FC ，
∴点F 是EC 的中点．
（3）如图3中，取EC 的中点G ，连接GD ．则GD ⊥BD ．
∴DG =12EC =92， ∵BD ＝AB ＝6，
在Rt △BDG 中，BG =√SS 2+SS 2=√(92)2+62=
152
， ∴CB =152−92=3，
在Rt △ABC 中，AC =√SS 2+SS 2=√62+32=3√5，
∵∠ACB ＝∠ECD ，∠ABC ＝∠EDC ，
∴△ABC ∽△EDC ，
∴SS SS =SS SS
，
∴3√59=3SS ， ∴CD =9√55， ∴AD ＝AC +CD ＝3√5+
9√55=24√55． 一十．多边形内角与外角（共5小题）
18．【解答】解：∵OA ＝OB ，∠AOB ＝140°，
∴∠A ＝∠B =12（180°﹣140°）＝20°， ∵∠AOC ＝60°，
∴∠ADC ＝∠A +∠AOC ＝20°+60°＝80°，
故选：C ．
19．【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点， 所以一共走了8×8＝64（米）．
故选：C ．
20．【解答】解：设所求正n 边形边数为n ，
则1080°＝（n ﹣2）•180°，
解得n ＝8．
故选：B ．
21．【解答】解：设这个多边形是n 边形，
根据题意得，（n ﹣2）•180°＝5×360°，
解得n ＝12．
故选：C ．
22．【解答】解：∵∠ABC =
(5−2)×180°5
=108°，△ABC 是等腰三角形， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝36度．
一十一．平行四边形的性质（共5小题）
23．【解答】解：过点P 作EF ⊥AD 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝BC ，
∴S ＝BC •EF ，S 1=SS ⋅SS 2，S 2=SS ⋅SS 2， ∵EF ＝PE +PF ，AD ＝BC ，
∴S 1+S 2=S 2，
故选：C ．
24．【解答】解：连接AC ，过点D 作DF ⊥BE 于点F ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠DBC ，
∵▱ABCD 中，AD ∥BC ，
∴∠ADB ＝∠DBC ，
∴∠ADB ＝∠ABD ，
∴AB ＝AD ，
∴四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ，
∵DE ⊥BD ，
∴OC ∥ED ，
∵DE ＝6，
∴OC =12DE ＝3，
∵▱ABCD 的面积为24，
∴12BD •AC ＝24，
∴BD ＝8， ∴BC ＝CD =√SS 2+SS 2=√42+32=5，
∵S 平行四边形ABCD ＝BC •DF ＝24，
∴DF =245，
∴DF =245，
∴sin ∠DCE =SS SS =2455=2425． 故选：A ．
25．【解答】证明：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，
∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，
∴∠EAC ＝∠FCO ，
在△AOE 和△COF 中
{∠SSS =∠SSS
SS =SS SSSS =SSSS
，
∴△AOE ≌△COF （ASA ），
∴AE ＝CF ．
26．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，
∴∠B ＝∠DCE ，
在△ABC 和△DCE 中，{SS =SS
SS =SSSS SS =SS
∴△ABC ≌△DCE （SAS ）．
27．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝CB ，AD ∥BC ，
∴∠ADB ＝∠CBD ，
∴∠ADE ＝∠CBF ，
在△ADE 和△CBF 中，
{SS =SS SSSS =SSSS SS =SS ，
∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；
（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，
理由：∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠CBD ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ，
∴∠ADB ＝∠CBD ，
∴∠ABD ＝∠ADB ，
∴AB ＝AD ，
∴平行四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，
∴AC ⊥EF ，
∵DE ＝BF ，
∴OE ＝OF ，
又∵OA ＝OC ，
∴四边形AFCE 是平行四边形，
∵AC ⊥EF ，
∴四边形AFCE 是菱形．
一十二．平行四边形的判定与性质（共1小题）
28．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∴DE ∥BC ，∠ABD ＝∠CDB ，
∵∠ABD ＝∠DCE ，
∴∠DCE ＝∠CDB ，
∴BD ∥CE ，
∴BCED 为平行四边形，故A 正确；
∵DE ∥BC ，
∴∠DEF ＝∠CBF ，
在△DEF 与△CBF 中，{∠SSS =∠SSS
SSSS =SSSS SS =SS
，
∴△DEF ≌△CBF （AAS ），
∴EF ＝BF ，
∵DF ＝CF ，
∴四边形BCED 为平行四边形，故B 正确；
∵AE ∥BC ，
∴∠AEB ＝∠CBF ，
∵∠AEB ＝∠BCD ，
∴∠CBF ＝∠BCD ，
∴CF ＝BF ，
同理，EF ＝DF ，
∴不能判定四边形BCED 为平行四边形；故C 错误；
∵AE ∥BC ，
∴∠DEC +∠BCE ＝∠EDB +∠DBC ＝180°，
∵∠AEC ＝∠CBD ，
∴∠BDE ＝∠BCE ，
∴四边形BCED 为平行四边形，故D 正确，
故选：C ．
一十三．菱形的性质（共3小题）
29．【解答】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，
∴∠ABC ＝60°，∠BAD ＝120°，
∵菱形的周长为8，
∴边长AB ＝2，
∴菱形的对角线AC ＝2，BD ＝2×2sin60°＝2√3，
∴菱形的面积=12AC •BD =12×2×2√3=2√3．
故选：D ．
30．【解答】解：如图，
∵△ACE 是以菱形ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，AC ＝2，
∴CH ＝1，
∴AH =√3，
∵∠ABO ＝∠DCH ＝30°，
∴DH ＝AO =√33， ∴OD =√3−√33−√33=√33
， ∴点D 的坐标是（
√33，0）．
故答案为：（√33，0）． 31．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝AD ，AD ∥BC ，
∴∠BP A ＝∠DAE ，
∵∠ABC ＝∠AED ，
∴∠BAF ＝∠ADE ，
∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BP A ＝∠DAE ，
∴∠ABF ＝∠DAE ，
∵AB ＝DA ，
∴△ABF ≌△DAE （ASA ）；
（2）∵△ABF ≌△DAE ，
∴AE ＝BF ，DE ＝AF ，
∵AF ＝AE +EF ＝BF +EF ，
∴DE ＝BF +EF ．
一十四．菱形的判定（共1小题）
32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴EB ＝ED ，AB ∥CD ，
∴∠EBP ＝∠EDQ ，
在△PBE 和△QDE 中，{∠SSS =∠SSS
SS =SS SSSS =SSSS
，
∴△PBE ≌△QDE （ASA ）；
（2）证明：如图所示：
∵△PBE ≌△QDE ，
∴EP ＝EQ ，
同理：△BME ≌△DNE （ASA ），
∴EM ＝EN ，
∴四边形PMQN 是平行四边形，
∵PQ ⊥MN ，
∴四边形PMQN 是菱形．
一十五．矩形的性质（共3小题）
33．【解答】解：作CF ⊥l 4于点F ，交l 3于点E ，设CB 交l 3于点G ，
由已知可得，
GE ∥BF ，CE ＝EF ，
∴△CEG ∽△CFB ，
∴
SS SS =SS SS ， ∵
SS SS =12， ∴SS SS =12，
∵BC ＝3， ∴GB =32，
∵l 3∥l 4，
∴∠α＝∠GAB ，
∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝4，
∴∠ABG ＝90°，
∴tan ∠BAG =SS SS =324=38，
∴tan α的值为38
，
故选：A ．
34．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∠DAE ＝∠BCF ＝90°，OD ＝OB ＝OA ＝OC ，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠DAN ＝∠BCM ，
∵BF ⊥AC ，DE ∥BF ，
∴DE ⊥AC ，
∴∠DNA ＝∠BMC ＝90°，
在△DNA 和△BMC 中，{∠SSS =∠SSS SSSS =SSSS SS =SS
，
∴△DNA ≌△BMC （AAS ），
∴DN ＝BM ，∠ADE ＝∠CBF ，故①正确；
在△ADE 和△CBF 中，{∠SSS =∠SSS SS =SS SSSS =SSSS
，
∴△ADE ≌△CBF （ASA ），
∴AE ＝FC ，DE ＝BF ，故③正确；
∴DE ﹣DN ＝BF ﹣BM ，即NE ＝MF ，
∵DE ∥BF ，
∴四边形NEMF 是平行四边形，
∴EM ∥FN ，故②正确；
∵AB ＝CD ，AE ＝CF ，
∴BE ＝DF ，
∵BE ∥DF ，
∴四边形DEBF 是平行四边形，
∵AO ＝AD ，
∴AO ＝AD ＝OD ，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠ADO ＝∠DAN ＝60°，
∴∠ABD ＝90°﹣∠ADO ＝30°，
∵DE ⊥AC ，
∴∠ADN ＝ODN ＝30°，
∴∠ODN ＝∠ABD ，
∴DE ＝BE ，
∴四边形DEBF 是菱形；故④正确；
正确结论的个数是4个，
故选：D ．
35．【解答】解：∵矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，∠BAD ＝∠BCD ＝90°， ∴BD =√SS 2+SS 2=13，
∵BP ＝BA ＝5，
∴PD ＝BD ﹣BP ＝8，
∵BA ＝BP ，
∴∠BAP ＝∠BP A ＝∠DPQ ，
∵AB ∥CD ，
∴∠BAP ＝∠DQP ，
∴∠DPQ ＝∠DQP ，
∴DQ ＝DP ＝8，
∴CQ ＝DQ ﹣CD ＝DQ ﹣AB ＝8﹣5＝3，
∴在Rt △BCQ 中，根据勾股定理，得
BQ =√SS 2+SS 2=√153=3√17．
故答案为：3√17．
一十六．矩形的判定（共1小题）
36．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD
∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM ＝DN ，
∴OB ﹣BM ＝OD ﹣DN ，即OM ＝ON ，
∴四边形AMCN 是平行四边形，
∵OM =12AC ，
∴MN ＝AC ，
∴四边形AMCN 是矩形．
故选：A ．
一十七．正方形的性质（共5小题）
37．【解答】解：①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠EBM ＝∠ADM ＝∠FDN ＝∠ABD ＝45°，
∵∠MAN ＝∠EBM ＝45°，∠AMN ＝∠BME ，
∴△AMN ∽△BME ，
∴SS SS =SS SS ，
∵∠AMB ＝∠EMN ，
∴△AMB ∽△NME ，
∴∠AEN ＝∠ABD ＝45°
∴∠NAE ＝∠AEN ＝45°，
∴△AEN 是等腰直角三角形，
∴AN ＝EN ，
故①正确；
②在△ABE 和△ADF 中，
∵{SS =SS
SSSS =SSSS =90°SS =SS ，
∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），
∴BE ＝DF ，
∵BC ＝CD ，
∴CE ＝CF ，
假设正方形边长为1，设CE ＝x ，则BE ＝1﹣x ，
如图2，连接AC ，交EF 于O ，
∵AE ＝AF ，CE ＝CF ，
∴AC 是EF 的垂直平分线，
∴AC ⊥EF ，OE ＝OF ，
Rt △CEF 中，OC =12EF =√22x ，
△EAF 中，∠EAO ＝∠F AO ＝22.5°＝∠BAE ＝22.5°，
∴OE ＝BE ，
∵AE ＝AE ，
∴Rt △ABE ≌Rt △AOE （HL ），
∴AO ＝AB ＝1，
∴AC =√2=AO +OC ，
∴1+√22x =√2，
x ＝2−√2，
∴SS SS =√2)
2−√2=(√2−1)(2+√2)
2=√22
； 故②不正确；
③如图3，
∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF ＝AH ，∠DAF ＝∠BAH ，
∵∠EAF ＝45°＝∠DAF +∠BAE ＝∠HAE ，
∵∠ABE ＝∠ABH ＝90°，
∴H 、B 、E 三点共线，
在△AEF 和△AEH 中，
{SS =SS SSSS =SSSS SS =SS ，
∴△AEF ≌△AEH （SAS ），
∴EF ＝EH ＝BE +BH ＝BE +DF ，
故③正确；
④△ADN 中，∠FND ＝∠ADN +∠NAD ＞45°，
∠FDN ＝45°，
∴DF ＞FN ，
故不存在点E 、F ，使得NF ＞DF ，
故④不正确；
故选：B ．
38．【解答】解：解法一：∵在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，
∴AO ＝DO ，∠ADC ＝90°，
∴∠ADE ＝90°，
∵点F 是AE 的中点，
∴DF ＝AF ＝EF =12AE ，
∴OF 垂直平分AD ，
∴AG ＝DG ，
∴FG =12DE ＝1，
∵OF ＝3，
∴OG ＝2，
∵AO ＝CO ，
∴CD ＝2OG ＝4，
∴AD ＝CD ＝4，
∴AE =√SS 2+SS 2=√42+22=2√5．
过A 作AH ⊥DF 于H ，
∴∠H ＝∠ADE ＝90°，
∵AF ＝DF ，
∴∠ADF ＝∠DAE ，
∴△ADH ∽△EAD ，
∴
SS SS =SS SS ， ∴SS 2=2√5
， ∴AH =4√55，
即点A 到DF 的距离为4√5
5，
解法二：在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ， ∴AO ＝DO ，∠ADC ＝90°，
∴∠ADE ＝90°，
∵点F 是AE 的中点，
∴DF ＝AF ＝EF =1
2AE ，
∴OF 垂直平分AD ，
∴AG ＝DG ， ∴FG =12DE ＝1， ∵OF ＝3，
∴OG ＝2，
∵AO ＝CO ，
∴CD ＝2OG ＝4，
∴AD ＝CD ＝4，
∴DG ＝2，
∴DF =√SS 2+SS 2=√4+1=√5，
过A 作AH ⊥DF 于H ，
∴∠H ＝∠ADE ＝90°，
∴S △ADF =1
2DF •AH =12
AD •FG ， ∴AH =4√55，
故答案为：4√55．
39．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF=8−4
2
=2，
由勾股定理得：DE=√SS+SS=√42+22=2√5，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2√5=8√5，
故答案为：8√5．
40．【解答】解：（1）AG＝FG，
理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD
∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD
∴四边形AGFM是矩形
∴AG＝MF，AM＝FG，
∵∠CEF＝90°，
∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°
∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC
∴△EFM≌△CEB（AAS）
∴BE ＝MF ，ME ＝BC
∴ME ＝AB ＝BC
∴BE ＝MA ＝MF
∴AG ＝FG ，
（2）DH ⊥HG
理由如下：如图，延长GH 交CD 于点N ，
∵FG ⊥AD ，CD ⊥AD
∴FG ∥CD
∴SS SS =SS SS =SS SS ，且CH ＝FH ，
∴GH ＝HN ，NC ＝FG
∴AG ＝FG ＝NC
又∵AD ＝CD ，
∴GD ＝DN ，且GH ＝HN
∴DH ⊥GH
41．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD ，四边形ECGF 都是正方形
∴DA ∥BC ，AD ＝CD ，FG ＝CG ，∠B ＝∠CGF ＝90°
∵AD ∥BC ，AH ∥DG
∴四边形AHGD 是平行四边形
∴AH ＝DG ，AD ＝HG ＝CD
∵CD ＝HG ，∠ECG ＝∠CGF ＝90°，FG ＝CG
∴△DCG ≌△HGF （SAS ）
∴DG ＝HF ，∠HFG ＝∠HGD
∴AH ＝HF ，
∵∠HGD +∠DGF ＝90°
∴∠HFG +∠DGF ＝90°
∴DG ⊥HF ，且AH ∥DG
∴AH ⊥HF ，且AH ＝HF
∴△AHF 为等腰直角三角形．
（2）∵AB ＝3，EC ＝5，
∴AD ＝CD ＝3，DE ＝2，EF ＝5
∵AD ∥EF
∴SS SS =SS SS =53，且DE ＝2 ∴EM =54
一十八．正方形的判定（共1小题）
42．【解答】解：∵O 为BD 的中点，
∴OB ＝OD ，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴DC ∥AB ，
∴∠CDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠OEB ，
∴△FDO ≌△EBO （AAS ），
∴OE ＝OF ，
∴四边形DEBF 为平行四边形，
故A 选项不符合题意，
若AE ＝3.6，AD ＝6，
∴SS SS =3.66=35， 又∵SS SS =610=35， ∴SS SS =
SS SS ，
∵∠DAE ＝∠BAD ，
∴△DAE ∽△BAD ，
∴∠AED ＝∠ADB ＝90°．
∴四边形DEBF 为矩形．
故B 选项不符合题意，
∵AB ＝10，AE ＝5，
∴BE ＝5，
又∵∠ADB ＝90°，
∴DE =12AB ＝5， ∴DE ＝BE ，
∴四边形DEBF 为菱形．
故C 选项不符合题意，
∵AE ＝3.6时，四边形DEBF 为矩形，AE ＝5时，四边形DEBF 为菱形，
∴AE ＝4.8时，四边形DEBF 不可能是正方形．
故选项D 符合题意．
故选：D ．
一十九．梯形（共1小题）
43．【解答】解：过F 作FH ⊥BC 于H ，
∵高AG ＝2cm ，∠B ＝45°，
∴BG ＝AG ＝2cm ，
∵FH ⊥BC ，∠BEF ＝30°，
∴EH =√3SS =2√3，
∵沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，
∴AF ＝CE ，
∵AG ⊥BC ，FH ⊥BC ，
∴AG ∥FH ，
∵AG ＝FH ，
∴四边形AGHF 是矩形，
∴AF ＝GH ，
∴BC ＝BG +GH +HE +CE ＝2+2AF +2√3=6，
∴AF ＝2−√3（cm ），
故选：D ．
二十．*平面向量（共1小题）
44．【解答】解：依题意，得2sin α+1×（−√3）＝0，
解得sin α=√32．
∵α是锐角，
∴α＝60°．
故答案是：60°．
二十一．四边形综合题（共6小题）
45．【解答】解：∵把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB 边上的D ′处，
∴∠D ＝∠AD 'E ＝90°＝∠DAD '，AD ＝AD '，
∴四边形ADED '是矩形，
又∵AD ＝AD '=√3，
∴四边形ADED '是正方形，
∴AD ＝AD '＝D 'E ＝DE =√3，AE =√2AD =√6，∠EAD '＝∠AED '＝45°，
∴D 'B ＝AB ﹣AD '＝2，
∵点F 是BD '中点，
∴D 'F ＝1，
∴EF =√2+S′S 2=√3+1=2，
∵将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，
∴AE ＝A 'E =√6，∠D 'ED ''＝α，∠EA 'D ''＝∠EAD '＝45°，
∴A 'F =√6−2，故①正确；
∵tan ∠FED '=S′S S′S =3=√33， ∴∠FED '＝30°
∴α＝30°+45°＝75°，
∴弧D 'D ″的长度=
75°×S ×√3180°=5√312π，故②正确； ∵AE ＝A 'E ，∠AEA '＝75°，
∴∠EAA '＝∠EA 'A ＝52.5°，
∴∠A 'AF ＝7.5°，
∵∠AA 'F ≠∠EA 'G ，∠A 'AF ≠∠EA 'G ，∠AF A '＝120°≠∠EA 'G ，
∴△A 'AF 与△A 'GE 不全等，故③错误；
∵D 'E ＝D ''E ，EG ＝EG ，
∴Rt △ED 'G ≌Rt △ED ''G （HL ），
∴∠D 'GE ＝∠D ''GE ，
∵∠AGD ''＝∠A 'AG +∠AA 'G ＝105°，
∴∠D 'GE ＝52.5°＝∠AA 'F ，
又∵∠AF A '＝∠EFG ，
∴△AF A '∽△EFG ，故④正确，
故答案为：①②④．
46．【解答】解：（1）∵AB ∥CD ，
∴
SS SS =SS SS ， ∴8−68=SS
6，
∴CM =32，
∵点M 在线段CQ 的垂直平分线上， ∴CM ＝MQ ， ∴1×t =32，
∴t =3
2；
（2）如图1，过点Q 作QN ⊥AF 于点N ，
∵∠ABC ＝∠EBF ＝90°，AB ＝BE ＝8cm ，BC ＝BF ＝6cm ，
∴AC =√SS 2+SS 2=√64+36=10cm ，EF =√SS 2+SS 2=√64+36=10cm ， ∵CE ＝2cm ，CM =32cm ，
∴EM =√SS
2+SS 2=√4+94=52， ∵sin ∠P AH ＝sin ∠CAB ， ∴SS SS =SS SS ，
∴610=SS 2S ，
∴PH =65t ， 同理可求QN ＝6−45t ，
∵四边形PQNH 是矩形，
∴PH ＝NQ ，
∴6−45t =65t ， ∴t ＝3；
∴当t ＝3时，四边形PQNH 为矩形；
（3）如图2，过点Q 作QN ⊥AF 于点N ，
由（2）可知QN ＝6−45t ， ∵cos ∠P AH ＝cos ∠CAB ，
∴
SS SS =SS SS ， ∴SS 2S =
810，
∴AH =85t ，
∵四边形QCGH 的面积为S ＝S 梯形GMFH ﹣S △CMQ ﹣S △HFQ ，
∴S =12×6×（8−85t +6+8−85t +32）−12×32×[6﹣（6−45t ）]−12×（6−45t ）（8−85t +6）=−1625t 2+15t +512；
（4）存在，
理由如下：如图3，连接PF ，延长AC 交EF 于K ，
∵AB ＝BE ＝8cm ，BC ＝BF ＝6cm ，AC ＝EF ＝10cm ，
∴△ABC ≌△EBF （SSS ），
∴∠E ＝∠CAB ，
又∵∠ACB ＝∠ECK ，
∴∠ABC ＝∠EKC ＝90°，
∵S △CEM =12×EC ×CM =12×EM ×CK ，
∴CK =2×3252=65
， ∵PF 平分∠AFE ，PH ⊥AF ，PK ⊥EF ，
∴PH ＝PK ，
∴65t ＝10﹣2t +65， ∴t =72，
∴当t =72
时，使点P 在∠AFE 的平分线上．
47．【解答】解：（1）连接CF ，
∵FG 垂直平分CE ，
∴CF ＝EF ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴A 和C 关于对角线BD 对称，
∴CF ＝AF ，
∴AF ＝EF ；
（2）连接AC ，交BD 于点O ，
∵M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，
∴MN =12AF ，NG =12CF ，即MN +NG =12（AF +CF ），
当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，
AF +CF 最小，即此时MN +NG 最小，
∵菱形ABCD 边长为1，∠ABC ＝60°，
∴△ABC 为等边三角形，AC ＝AB ＝1，
即MN +NG 的最小值为12；
（3）不变，理由是：
延长EF，交DC于H，
∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠F AE+∠FEA，
∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠F AE+∠FEA，
∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：
∠AFD＝∠CFD=1
2∠AFC，
∵AF＝CF＝EF，
∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，
∴∠AFD＝∠F AE+∠ABF＝∠FEA+∠CEF，
∴∠ABF＝∠CEF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．
48．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD=1
2∠BCD＝60°＝∠ABC，
∵BE＝CG，
∴△ABE≌△ACG（SAS），
∴AE＝AG，
∵AF平分∠EAG，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AH＝AH，
∴△AEH≌△AGH（SAS）；
（2）①如图1，
过点D作DM⊥BC交BC的延长线于M，连接DE，∵AB＝12，BE＝4，
∴CG＝4，
∴CE ＝DG ＝12﹣4＝8，
由（1）知，△AEH ≌△AGH ，
∴EH ＝HG ，
∴l △DGH ＝DH +GH +DG ＝DH +HE +8，
要使△DGH 的周长最小，则EH +DH 最小，最小为DE ，
在Rt △DCM 中，∠DCM ＝180°﹣120°＝60°，CD ＝AB ＝12，
∴CM ＝6，
∴DM =√3CM ＝6√3，
在Rt △DME 中，EM ＝CE +CM ＝14，
根据勾股定理得，DE =√SS 2+SS 2=√142+(6√3)2=4√19，
∴△DGH 周长的最小值为4√19+8；
②Ⅰ、当OH 与线段AE 相交时，交点记作点N ，如图2，连接CN ，
∴点O 是AC 的中点，
∴S △AON ＝S △CON =12S △ACN ， ∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，
∴S △SSS
S △SSS =14， ∴S △CEN ＝S △ACN ，
∴AN ＝EN ，
∵点O 是AC 的中点，
∴ON ∥CE ，
∴SS SS =12；
Ⅱ、当OH 与线段CE 相交时，交点记作Q ，如图3，
连接AQ ，FG ，∵点O 是AC 的中点，
∴S △AOQ ＝S △COQ =12S △ACQ ，
∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，
∴S △SSS
S △SSS =14
， ∴S △AEQ ＝S △ACQ ，
∴CQ ＝EQ =12CE =12（12﹣4）＝4，
∵点O 是AC 的中点，
∴OQ ∥AE ，设FQ ＝x ，
∴EF ＝EQ +FQ ＝4+x ，CF ＝CQ ﹣FQ ＝4﹣x ，
由（1）知，AE ＝AG ，
∵AF 是∠EAG 的角平分线，
∴∠EAF ＝∠GAF ，
∵AF ＝AF ，
∴△AEF ≌△AGF （SAS ），
∴FG ＝EF ＝4+x ，
过点G 作GP ⊥BC 交BC 的延长线于P ，
在Rt △CPG 中，∠PCG ＝60°，CG ＝4，
∴CP =12CG ＝2，PG =√3CP ＝2√3，
∴PF ＝CF +CP ＝4﹣x +2＝6﹣x ，
在Rt △FPG 中，根据勾股定理得，PF 2+PG 2＝FG 2，
∴（6﹣x ）2+（2√3）2＝（4+x ）2，
∴x =85，
∴FQ =85，EF ＝4+85=
285， ∵OQ ∥AE ，
∴
SS SS =SS SS =4285=57， 即SS SS 的值为12或57．
49．【解答】解：（1）∵AD 是中线，
∴BD ＝CD ，
又∵∠ADC ＝∠BDE ，AD ＝DE ，
∴△BED ≌△CAD （SAS ），
故答案为：SAS ；
（2）∵△BED ≌△CAD ，
∴AC ＝BE ＝4，
在△ABE 中，AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，
∴2＜2AD ＜10，。