广东省高考数学复习专题汇编 不等式(试题)
广东省珠海四中2014届高三数学理二轮专题复习：不等式
珠海四中2014高三数学（理）专题复习—不等式一、选择题1、（2012广东高考）已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1-2、（2011广东高考）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA=⋅的最大值为A． B． C ．4 D ．3 3、（2014的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]2,2-4、（广东省百所高中2014届高三11月联考）已知x ，y 满足约束条件5003x y x y y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z ＝2x ＋4y 的最小值是A 、－6B 、5C 、10D 、－105、（广东省宝安中学等七校2014届高三第二次联考）若变量,x y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则35z x y =+的取值范围是( )A ．(],9-∞B ．[)3,+∞C ．[]8,9-D ．[]8,3- 6、（广州市培正中学2014届高三11月月考）函数y =的定义域为 （ ）.(4,1)A -- .(4,1)B - .(1,1)C - .(1,1]D -7、（河源市东江中学2014届高三11月月考）已知a 、b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是( )A ．22a b <B ．11a b > C ．2211ab a b< D ．11a b a>-8、（江门市2014届高三调研）设a 、R b ∈，若0|| <+b a ，则下列不等式中正确的是A ．0>-b aB ．033>+b aC ．022<-b a D ．0 <+b a答案： 1、B2、解析：（C ）．z y =+，即y z =+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点时，z取得最大值，max 24z == 3、D 4、A 5、C 6、C 7、C 8、D 二、填空题1、（2013广东高考）不等式220x x +-<的解集为___________2、（2013广东高考）给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈，是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.3.（2012广东）不等式21x x +-≤的解集为__________________.4、（2011广东高考）不等式13x x +--≥0的解集是 ．5、（2014，则实数a 的值为 ． 答案： 1、()2,1-2、6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.3、1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 4、[1,)+∞． 5、2三、解答题1、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收．．入．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价． 解：（1）设每件定价为x 元，依题意，有25(80.2)2581x x --⨯≥⨯， 整理得26510000x x -+≤，解得2540x ≤≤．∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′（2）依题意，25>x 时，不等式21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+有解, 等价于25>x 时，1501165a x x ≥++有解,()150110306x x x +≥=当且仅当时，等号成立 , 10.2a ∴≥. ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． (14)2、某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件，现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ，该商品的成本价格为3元/件。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案
一、选择题
1．设 ， 满足 ，向量 ， ，则满足 的实数 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得 ，根据约束条件画出可行域，再利用 的几何意义求最值，只需求出直线 过可行域内的点C时，从而得到 的最小值即可．
【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为 ， ，
6．已知 、 满足约束条件 ，若 ，则实数 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出 的最小值，进而可得出实数 的最小值.
【详解】
作出不等式组 所表示的可行域如下图所示，
表示原点到可行域内的点 的距离的平方，
原点到直线 的距离的平方最小， .
10．已知实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为（）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令 ，用 表示出 ，根据题意知 ，利用 的代换后根据基本不等式即可得 的最小值.
【详解】
，
令 ，解得 ，则 ， ，
当且仅当 ，即 ，即
即 时取等号.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.
【详解】
当 时，即当 时，则有 ，该不等式恒成立，合乎题意；
当 时，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
高考数学压轴专题新备战高考《不等式》难题汇编及答案
【高中数学】数学高考《不等式》试题含答案一、选择题1．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．2．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．3．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322zy x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >>又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()221241111120b f a c ac f b b +∴=+≥+≥+=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为5．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．6．已知x 、y 满足约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y =+，则实数z 的最小值为（ ）A ．22B ．25C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y +的最小值，进而可得出实数z 的最小值. 【详解】作出不等式组122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min2122x y⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.8．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．已知,x y 满足33025010x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36y z x -=-的最小值为（ ）A ．157B ．913C ．17D ．313【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，目标函数36y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.直线330x y-+=与直线10x y+-=交于点13(,)22A -，由图可知，当可行域内的点为A时，PAk 最小，故min333211362z-==--.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.11．设x，y满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。
高考数学复习不等式问题的题型与方法试题
卜人入州八九几市潮王学校高考数学复习不等式问题的题型与方法一．复习目的：1．在纯熟掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法根底上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，进步学生分析问题、解决问题的才能以及计算才能；2．掌握解不等式的根本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵敏的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等根本数学思想方法证明不等式的才能；5．能较灵敏的应用不等式的根本知识、根本方法，解决有关不等式的问题．6．通过不等式的根本知识、根本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各局部知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯穿，从而进步分析问题解决问题的才能．在应用不等式的根本知识、方法、思想解决问题的过程中，进步学生数学素质及创新意识．．二．考试要求：1．理解不等式的性质及其证明。
2．掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
4．掌握简单不等式的解法。
5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
三．教学过程：〔Ⅰ〕根底知识详析1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质那么是不等式变形的理论根据，方2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的根底，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的根本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解亲密相关，要擅长把它们有机地联络起来，互相转化和互相变用．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或者根本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类HY更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比较法是不等式证明中最根本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．证明不等式的方法灵敏多样，内容丰富、技巧性较强，这对开展分析综合才能、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要根据题设和待证不等式的构造特点、内在联络，选择适当的证明方法．通过等式或者不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因〞，后者是“由因导果〞，为沟通联络的途径，证明时往往结合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，到达欲证的目的．6．证明不等式的方法灵敏多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的根本方法．要根据题设、题断的构造特点、内在联络，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．7．不等式这局部知识，浸透在数学各个分支中，有着非常广泛的应用．因此不等式应用问题表达了一定的综合性、灵敏多样性，这对同学们将所学数学各局部知识融会贯穿，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要根据题设、题断的构造特点、内在联络、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或者证明．不等式的应用范围非常广泛，它始终贯串在整个数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域确实定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着亲密的联络，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或者证明。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案解析
【最新】《不等式》专题一、选择题1．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.2．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．0C ．2-D ．4-【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -，所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()221241111120b f a c ac f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为4．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．5．已知函数())22log 1f x x x =+，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】 2210,x x x x x x +≥-=所以定义域为R ，因为()22log 1f x x x =++，所以()f x 为减函数 因为()22log 1f x x x=++，())22log 1f x x x -=+,所以()()()f x f x f x =--，为奇函数，因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=，所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为96b a a b +≥=， 所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立），选C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5 BCD【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=，所以()2tan tan2tan2tan11tan tan13tan3tantanαββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan0β>，根据基本不等式213tantanββ≤=+当且仅当tanβ=时等号成立，因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tany x=在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π.故选:B.【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.8．已知集合{}0lg2lg3P x x=<<，212Q xx⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P QI为( ) A．()0,2B．()1,9C．()1,4D．()1,2【答案】D【解析】【分析】集合,P Q是数集，集合P是对数不等式解的集合，集合Q是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】解：{}19P x x=<<，{}02Q x x=<<；()1,2P Q∴⋂=.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a<<和1a>进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=，又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.A ．128B ．64C ．164D ．1128【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2xy =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B 【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.13．已知函数24,0()(2)1,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4)【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A 【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.14．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.15．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ）A．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．[)1,+∞ C．)+∞ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=， M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，20021122OM y k k k x k k +∴===+≥=2k =时取等号）， 即直线OM斜率的取值范围为)+∞.故选：C .【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.16．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性.【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞；若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．17．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C ++的最小值为（ ） ABCD．【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求.【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =，∴tan 2tan C B =.又A B C π++=，∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B B B C B B +=-=-=---， ∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan 3B B +≥=，当且仅当tan B =时取等号，∴min111tan tan tan A B C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.18．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k > B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D【解析】【分析】 联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】 解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<． 故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．19．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a 的取值范围为（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(1,0]-【答案】A【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可．【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0-当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ．【点睛】本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．20．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y --的最小值为（ ）A 85B ．8C 165D ．163【答案】D【解析】【分析】222424512x y x y ----=+222412x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案.【详解】 因为222424512x y x y ----=+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线240x y --=5点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+， 所以24x y --1653d =. 故选：D.【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.。
2023年高考数学一轮复习 模拟试题 专题03 不等式(解析版+原卷版)
专题03不等式一、单选题1．（2021·广东高三月考）若不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，则二次函数224y bx x a =++在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为（ ）A ．-1，-7B ．0，-8C ．1，-1D ．1，-7【答案】D 【分析】由题意可知2-，1是方程220ax bx ++=的根，代入可求a ，b ，然后结合二次函数的性质即可求解 【详解】220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，2∴-，1是方程220ax bx ++=的根，且0a <，∴21221b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，1a ∴=-，1b =-，则二次函数2224241y bx x a x x =++=-+-开口向下，对称轴1x =，在区间[]0,3上，当1x =时，函数取得最大值1，当3x =时，函数取得最小值7- 故选：D ．2．（2021·广东中山模拟预测）“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】先由()ln 10x +<解得10x -<<，从而可判断. 【详解】由()ln 10x +<，可解得011x <+<，即10x -<<，由“0x <”是“10x -<<”的必要不充分条件可得“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了充分性和必要性的判断，解题的关键是先解出对数不等式的等价条件，属于基础题.3．（2021·广东高三月考）已知0x >，则函数254()x x f x x -+=的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【分析】转化函数为4()5f x x x=+-，利用均值不等式即得解【详解】因为0x >，由均值不等式所以2544()551x x f x x x x -+==+-≥=-，当且仅当4x x =，即2x =时，函数()f x 取得最小值为1-故选：A4．（2021·广东·高三阶段练习）已知0.21.5a =，0.2log 1.5b =， 1.50.2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】B 【分析】分别判断,,a b c 与0,1等的大小关系判断即可. 【详解】因为0.20.511 1.5>=.故1a >.又0.20.2log 1.5log 10<=,故0b <.又 1.500.2001.2<<=,故01c <<.所以a c b >>. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据指对幂函数的单调性判断函数值大小的问题,属于基础题.5．（2021·广东·金山中学高三期中）设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件. 若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如.1,33a b ==，从而333a b >>不成立.故选B.考点：命题与逻辑.6．（2021·广东·高三阶段练习）当01a b <<<时，下列不等式中正确的是（ ） A ．1(1)(1)b b a a ->- B ．(1)(1)a b a b +>+ C ．2(1)(1)bb a a ->- D ．(1)(1)a b a b ->-【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性可依次判断大小. 【详解】 对A ，01a b <<<，011a ∴<-<，则()1xy a =-单调递减，又11b b>>，则1(1)(1)b b a a -<-，故A 错误；对B ，01a b <<<，111a b ∴<+<+，(1)(1)(1)a a b a b b ∴+<+<+，故B 错误； 对C ，由A 选项，()1xy a =-单调递减，又2bb >，则2(1)(1)b b a a -<-，故C 错误； 对D ，可得(1)(1)a b a a ->-，又11a b ->-，则(1)(1)b b a b ->-，则(1)(1)a b a b ->-，故D 正确. 故选：D.7．（2021·广东·高三阶段练习）在下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1lg (110)lg y x x x=+<<C ．222(1)1x x y x x -+=>-D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，1x =-时，y 为负数，A 错误.对于B 选项，110x <<，0lg 1x <<，1lg 2lg x x +≥，但不存在x 使1lg lg x x =成立，所以B 错误.对于C 选项，()221122112111x x x y x x x x -+-+===-+≥=---，当且仅当11,21x x x -==-时等号成立，C 正确.对于D 选项，02x π<<，0sin 1x <<，1sin 2sin x x +≥，但不存在x 使1sin sin =x x成立，所以D 错误. 故选：C8．（2021·广东·高三阶段练习）“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】A 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 当1a >时，11a<成立，即充分性成立， 当1a =-时，满足11a<，但1a >不成立，即必要性不成立， 则“1a >“是“11a<“的充分不必要条件， 故选：A ．9．（2021·广东·高三阶段练习）已知(),,0,1a b c ∈，且2ln 32ln 13a a --=，212ln 1b b e--=，2ln 2ln 1c c ππ--=，则（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【分析】令()22ln 1f x x x =--，即可得到()ln 33f a =，()1f b e =，()ln f c ππ=，利用导数说明()f x 在()0,1的单调性，再令()ln x g x x=，利用导数说明其单调性，即可得到ln ln 313e ππ<<，从而得到()()()f c f a f b <<，即可得解； 【详解】解：令()22ln 1f x x x =--，()0x >，所以()2ln 32ln 13f a a a =--=，()212ln 1f b b b e=--=，()2ln 2ln 1f c c c ππ=--=，所以()()()21122x x f x x x x+-'=-=，因为(),,0,1a b c ∈，所以当()0,1x ∈时()0f x '<，即()f x 在()0,1上单调递减，令()ln x g x x =，()0x >，则()21ln xg x x -'=，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，函数单调递减，所以()g x 在x e =处取得极大值即最大值，()()max 1g x g e e ==，因为3e π>>，所以ln ln 313eππ<<，即()()()f c f a f b <<，所以c a b >>， 故选：D10．（2021·广东顺德·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足：121a b+=，则23ab a b --的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6D ．无最小值【答案】B 【分析】对121a b+=去分母得2a b ab +=，代换23ab a b --中的ab ，再结合“1”的妙用即可求解 【详解】由1212a b ab a b+=⇒+=，则23423ab a b a b a b a b --=+--=+，()12233a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b ==23ab a b --的最小值为3+故选：B11．（2021·广东·高三阶段练习）已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A 【分析】 构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小. 【详解】由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =， 又252ln5ln5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<， 同理323ln 2ln 2ln32ln3=<=，即ln 2ln 323<， 所以ln5ln 2ln3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<， 设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增， 所以c a b <<， 故选：A.12．（2021·广东化州·高三阶段练习）下列叙述中正确的是（ ） A ．若*x N ∀∈，则()210x ->B ．若“x y <，则22x y <”的逆否命题是真命题C ．“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件D ．“0x ∀>，都有230x x --<”的否定是“0x ∃<，使得230x x --≥” 【答案】C 【分析】取特殊值可判断A ，根据原命题与逆否命题等价判断B ，解不等式后根据集合的包含关系可判断C ，由含量词命题的否定判断D. 【详解】1x =时，()210x -=，故A 错；“若x y <，则22x y <”是假命题，故其逆否命题是假命题，故B 错；2x x >的解集是{|0x x <或1}x >，由{|1}x x > 真包含于{|0x x <或1}x > 可知“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件，故C 对；“0x ∀>，都有230x x --<”的否定是“0x ∃>，使得230x x --≥”，故D 错. 故选：C13．（2021·广东·高三阶段练习）设实数x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则()2xy u x y =+的取值范围是（ ） A ．32,169⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,102⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】根据题意，画出可行域，结合斜率的坐标公式，以及对勾函数的图形性质，即可求解. 【详解】根据题意，由线性约束条件画出可行域，如图中的阴影部分.由图可知，OB OA y k k x ≤≤，即123y x ≤≤，令123yt x≤=≤，结合对勾函数图像性质，可知11023t t ≤+≤，因为()211122xyu x y x y t y x t===+++++，所以31164u ≤≤. 故选：B.14．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）若关于x 的不等式240x x a -->在区间(1，5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞，5) B ．(5，+∞)C ．(−4，+∞)D ．(−∞，4)【答案】A 【分析】设2()4f x x x a =--，由题意可得(5)0f >，从而可求出实数a 的取值范围 【详解】设2()4f x x x a =--，开口向上，对称轴为直线2x =，所以要使不等式240x x a -->在区间(1，5)内有解，只要(5)0f >即可， 即25200a -->，得5a <， 所以实数a 的取值范围为(,5)-∞， 故选：A二、多选题15．（2021·广东·高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件B ．若a 、b ∈R ，则“220a b +≠”是“a 、b 不全为0”的充要条件C ．命题“1x ∀<，都有||1x <”的否定是“01x ∃≥，使得0||1x ≥”D ．命题:p “若a b >，则22am bm >”的否定是真命题 【答案】ABD 【分析】根据正切函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法，可判定A 正确；根据不等式的性质和充分、必要条件的判定方法，可判定B 正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C 错误，根据命题p 与非p 真假相反，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，当4x π=时，可得tan 1x =成立，即充分性成立；反之：当tan 1x =时，可得,4x k k Z ππ=+∈，所以4x π=不一定成立，即必要性不成立，所以 “4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，所以A 正确；对于B 中，由220a b +≠，可得,a b 不全为0，即充分性成立； 反之：若,a b 不全为0，可得220a b +≠成立，即必要性成立， 所以“220a b +≠”是“a 、b 不全为0”的充要条件，所以B 正确； 对于C 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“1x ∀<，都有||1x <”的否定是“01x ∃<，使得0||1x ≥”，所以C 不正确； 对于D 中，当0m =时，22am bm =，所以命题p 为假命题， 所以命题p 的否定为真命题，所以D 正确. 故选：ABD16．（2021·广东·高三阶段练习）设正实数x ，y 满足21x y +=，则（ ） A ．10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．xy 的最大值为14C ．22x y +的最小值为15D ．42x y +的最小值为4【答案】AC 【分析】选项A. 由120y x =->可得判断；选项B.由均值不等式可得12x y =+≥从而可判断；选项C. 由()222212x y x x +=+-配方可判断；由24222x y x y +=+利用均值不等式可判断. 【详解】选项A. 由21x y +=，可得120y x =->，所以102x <<. 故选项A 正确. 选项B.由12x y =+≥可得18xy ≤，当且仅当221x y x y =⎧⎨+=⎩，即1214y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立. 故选项B 不正确.选项C. ()222222211125415555x y x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭当25x =时，等号成立. 故选项C 正确. 选项D.由24222x y x y +=+≥=当且仅当221x y x y =⎧⎨+=⎩，即1214y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立. 故选项D 不正确.故选：AC17．（2021·广东·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A ．命题：(]1,1x ∀∈-，2230x x +-<的否定是：(]1,1x ∃∈-，2230x x +-≥；B ．26k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充要条件； C ．1a >是11a<的充分非必要条件； D ．[]2,2a ∈-是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的充分非必要条件 【答案】AC 【分析】依次判断，根据命题的否定定义可知A 的正误，计算1sin 2α=，可知B 的正误，计算11a <可知C 正误，计算x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的条件可知D 的正误，可得结果. 【详解】对A ，(]1,1x ∀∈-，2230x x +-<的否定是(]1,1x ∃∈-，2230x x +-≥，A 正确； 对B ，2in 61s 2k πααπ=⇒+=或52,6k k Z παπ=+∈， 故26k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充分不必要条件，故B 错； 对C ，110a a <⇒<或1a >，所以1a >是11a<的充分非必要条件，故C 正确； 对D ，x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的条件为24022a a -<⇒-<< 所以[]2,2a ∈-是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的必要不充分条件 故选：AC18．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则21122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a aC ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+ D ．222(1)a b a b +≥+-【答案】BCD 【分析】通过举出反例，当1a =-，1b =时，即可判断A 选项；利用不等式的基本性质和作差比较法对BCD 选项逐一进行判断，从而得出答案. 【详解】解：对于A ，当1a =-，1b =时，11a b<，故A 错误； 对于B ，因为01a <<，()210a a a a -=-<，即2a a <，所以21122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a，故B 正确； 对于C ，因为0a b >>且0c >，所以()()()0()()()b c b a b c b a c ac bc a b ca c a a a c a a c a a c ++-+---===>++++，故b c ba c a+>+，故C 正确； 对于D ，因为22222(1)(1)(1)0a b a b a b +-+-=-+-≥，故D 正确； 故选：BCD.19．（2021·广东化州·高三阶段练习）已知0a b >>，1c >，且a ，b 都是不等于1的实数，则下列不等式成立的是（ ） A ．c c a b > B ．log log c c a b <C ．a b c c >D ．11c c a b--> 【答案】AC 【分析】根据幂函数，对数函数，指数函数的单调性判断． 【详解】考查函数c y x =，0c >时，c y x =在定义域上是增函数，a b >时，c c a b >，故A 正确； 考查函数log c y x =，1c >时，log c y x =在定义域上是增函数，a b >时，log log c c a b >，故B 错误；考查函数x y c =，1c >时，x y c =在定义域上是增函数，a b >时，a b c c >，故C 正确； 考查函数1c y x，1c >时，1c y x 在()0,∞+上是减函数，a b >时，11c c a b--<，故D 错误.故选：AC ．20．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） A ．a b ab +< B ．||||a b > C ．a b <D ．2b aa b+>【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质即可得出． 【详解】 ∵110a b<<， ∴ 0b a <<，∴ 0a b ab +<<，故A 正确，C 错误. ∴0b a ->->， 则b a >，故B 错误. 由于0b a >，0ab>，∴2b a a b +>，故D 正确. 故选：AD.三、填空题21．（2021·广东·普宁市华侨中学高三期中）已知a >0，b >0，若不等式3m a b +－3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为____________． 【答案】16 【分析】问题转化为31(3)m a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭恒成立，利用基本不等式求得31(3)a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的最小值，故答案为： 【详解】 3131(3)3mm a b a ba b a b ⎛⎫+⇒+⋅+ ⎪+⎝⎭对0,0a b >>恒成立，3133(3)1010616b a a ba b a b ⎛⎫+⋅+=+++= ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当a b =， ∴16m ≤，故答案为：1622．（2021·广东·高三阶段练习）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]1,2 【分析】计算不等式()21x a -<，然后得出1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，计算即可.【详解】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件，∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤．故答案为：[]1,2专题03不等式一、单选题 1．（2021·广东高三月考）若不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，则二次函数224y bx x a =++在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为（ ）A ．-1，-7B ．0，-8C ．1，-1D ．1，-72．（2021·广东中山模拟预测）“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·广东高三月考）已知0x >，则函数254()x x f x x -+=的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．24．（2021·广东·高三阶段练习）已知0.21.5a =，0.2log 1.5b =， 1.50.2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>5．（2021·广东·金山中学高三期中）设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2021·广东·高三阶段练习）当01a b <<<时，下列不等式中正确的是（ ） A ．1(1)(1)b b a a ->- B ．(1)(1)a b a b +>+ C ．2(1)(1)bb a a ->-D ．(1)(1)a b a b ->-7．（2021·广东·高三阶段练习）在下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1lg (110)lg y x x x=+<< C ．222(1)1x x y x x -+=>-D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭8．（2021·广东·高三阶段练习）“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件9．（2021·广东·高三阶段练习）已知(),,0,1a b c ∈，且2ln 32ln 13a a --=，212ln 1b b e--=，2ln 2ln 1c c ππ--=，则（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>10．（2021·广东顺德·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足：121a b+=，则23ab a b --的最小值为（ ） A ．22B ．322+C ．6D ．无最小值11．（2021·广东·高三阶段练习）已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a <<D ．b a c <<12．（2021·广东化州·高三阶段练习）下列叙述中正确的是（ ） A ．若*x N ∀∈，则()210x ->B ．若“x y <，则22x y <”的逆否命题是真命题C ．“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件D ．“0x ∀>，都有230x x --<”的否定是“0x ∃<，使得230x x --≥”13．（2021·广东·高三阶段练习）设实数x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则()2xy u x y =+的取值范围是（ ） A ．32,169⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,102⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）若关于x 的不等式240x x a -->在区间(1，5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞，5)B ．(5，+∞)C ．(−4，+∞)D ．(−∞，4)二、多选题 15．（2021·广东·高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件B ．若a 、b ∈R ，则“220a b +≠”是“a 、b 不全为0”的充要条件C ．命题“1x ∀<，都有||1x <”的否定是“01x ∃≥，使得0||1x ≥”D ．命题:p “若a b >，则22am bm >”的否定是真命题16．（2021·广东·高三阶段练习）设正实数x ，y 满足21x y +=，则（ ） A ．10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．xy 的最大值为14C ．22x y +的最小值为15D ．42x y +的最小值为417．（2021·广东·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A ．命题：(]1,1x ∀∈-，2230x x +-<的否定是：(]1,1x ∃∈-，2230x x +-≥；B ．26k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充要条件； C ．1a >是11a<的充分非必要条件； D ．[]2,2a ∈-是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的充分非必要条件18．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则21122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a aC ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+ D ．222(1)a b a b +≥+-19．（2021·广东化州·高三阶段练习）已知0a b >>，1c >，且a ，b 都是不等于1的实数，则下列不等式成立的是（ ） A ．c c a b >B ．log log c c a b <C ．a b c c >D ．11c c a b--> 20．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） A ．a b ab +< B ．||||a b >C ．a b <D ．2b aa b +>三、填空题21．（2021·广东·普宁市华侨中学高三期中）已知a >0，b >0，若不等式3m a b +－3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为____________．22．（2021·广东·高三阶段练习）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________。
(6)不等式——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编
（6）不等式——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]若正数a ，b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为()A.4B.6C.9D.162．[2024届·长沙市第一中学·二模]已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠），则1219x x +的最小值为()A.4B.2C.32D.343．[2024届·湖北·模拟考试联考]已知集合{}2230A x x x =∈-->R ∣，集合B 满足B A Ø，则B 可以为()A.[1,3]- B.(,1]-∞- C.(,1)-∞- D.(,3)-∞4．[2024届·江苏省前黄高级中学·一模]设实数x ，y 满足32x >，3y >，不等式()()33222338123k x y x y x y --≤+--恒成立，则实数k 的最大值为()A.12B.24C.D.5．[2024届·重庆市第八中学·模拟考试]已知集合{23}M x x =-<<∣，{}2540N x x x =-+>∣，则M N = ()A.()2,1- B.()2,4- C.()(),14,-∞+∞ D.()(),34,-∞+∞7．[2024届·海南·模拟考试校考]已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}2280N x x x =+-≥，则M N = ()A.{}2,2-B.{}2-C.{}2 D.2二、多项选择题8．[2024届·湖北·模拟考试联考]若0a b c >>>，则()A.a a c b >B.22a ab c >C.a b ba c c->- D.a c -≥9．[2024届·吉林吉林·模拟考试校考]a ，b ，c ，d 均为实数，且0a b >>，0c d >>，则下列结论正确的是()A.ac bd >B.a c b d->- C.a c b d+>+ D.a bd c>三、填空题10．[2024届·贵州·模拟考试联考]以()max min M M 表示数集M 中最大（小）的数.设0a >，0b >，0c >，已知22a c b c +=1，则111min max ,,a b c ⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭__________.11．[2024届·河北衡水·二模联考]设集合{}2230,A x x x x =--<∈R ，{},0B x x a a =>>，则A B =R ，则实数a 的取值范围为__________.12．[2024届·海南省华侨中学·二模]已知0x >，0y >，且122x y +=，则21x y +的最小值为_______________．13．[2024届·全国·模拟考试]已知1x ，2x 是实数，满足221212848x x x x +-=，当1x 取得最大值时，12x x +=_________.14．[2024届·吉林吉林·模拟考试校考]设1x >-，则函数461y x x =+++的最小值是__________.15．[2024届·合肥一六八中学·模拟考试]设x ，y 是正实数，记S 为x ，1y x +，1y 中的最小值，则S 的最大值为______.参考答案1．答案：A解析：方法一：由111a b +=，可得1ba b =-，所以144=1111b a b b +-+---由a ，b 为正数且111a b+=，可得1a >，1b >，所以144=14111b a b b +-+≥=---，当且仅当411b b -=-，即3b =，32a =时等号成立.故选：A.方法二：由111a b +=，可得11b a a =-，11ab b=-，所以144411b a a b a b +=+≥=--，当且仅当4b a a b =，即32a =，3b =时等号成立.故选：A.2．答案：C 解析：()()()()2222222log log log 1log 3log 4log 328x x f x x x x x =⋅=-⋅-=-+ ，由()()12f x f x =，2122log log 4x x ∴+=，即1216x x =，121933242x x ∴+≥=⨯=，当且仅当1219x x =，即143x =，212x =时等号成立.故选C.3．答案：C解析：由集合{}2230{3A x x x x x =∈-->=>R ||或1}x <-，B A Ø则(,1)(3,)(,1)-∞-+∞-∞- Ø.故选：C4．答案：B 解析：32x >，3y >，变形为23030x y ->->，，令230a x =->，30b y =->，则()()33222338123k x y x y x y --≤+--转化为()()33228123233x y x y k x y +--≤--，即224323x y k y x +≥--，其中()()((222222334323a b x y y x b aba+++=+≥+--1224a b b a ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭当且仅当33a b b a a b=⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，即3x =，6y =时取等号，可知24k ≤.故选：B 5．答案：D7．答案：C解析：因为2{|280}{|4N x x x x x =+-≥=≤-或2}x ≥，所以{2}M N = .故选：C.8．答案：ACD解析：()a a a b c c b bc --=，又0a b c >>>，所以0b c ->，0b >，所以0a a c b ->，即a ac b>，故A 正觕；当1a =，1b =-，2c =-时，22a a b c <，故B 错误，()()()()()a b b a b c a c b a c b a c c a c c a c c------==---，又0a b c >>>，所以0a c ->，0c b -<，所以0a b b a c c -->-，即a b b a c c->-，故C 正确因为0a b c >>>，所以0a b ->，0b c ->，所以a c a b b c -=-+-≥，当且仅当a b b c -=-时等号成立，故D 正确.故选ACD.9．答案：ACD解析：因为a ，b ，c ，d 均为实数，且0a b >>，0c d >>，由不等式的基本性质可得ac bd >，a c b d +>+，AC 选项正确；因为0c d >>，则110d c >>，故a bd c>，D 选项正确；取3a =，2b =，2c =，1d =，则a c b d -=-，B 选项错误.故选：ACD.10解析：由221a c b c +=，得221a b c +=，设111max ,,M a b c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则22111,,2M M M a b ab a b c≥≥≥=+≥，由32223M M ab ab=≥=≥M ≥，当且仅当a b c ===.11．答案：()0,1解析：由题意{}{}2230,|13A x x x x x x =--<∈=-<<R ，{}{,0|B x x a a x x a =>>=>或},0x a a <->，若满足A B =R ，则B A ⊆R ð，又因为{}|B x a x a =-≤≤R ð，所以130a a a -<-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：()0,1.12．答案：16解析：()212182228816,y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当82y x x y =时等号成立.即当11,48x y ==时，21x y +取得最小值为16.故答案为：16.13．答案：5解析：221212848x x x x +-= .()()221222122222482x x x x x x -+∴-+=≥.2116x ∴≥，14x ∴≤.取等条件：1221224x x x x -=⎧⎨=±⎩，1241x x =⎧∴⎨=⎩或1241x x =-⎧⎨=-⎩，125x x ∴+=.14．答案：9解析：由1x >-，可得10x +>，则446155911y x x x x =++=+++≥+=++，当且仅当411x x +=+时，即1x =时，等号成立，所以函数461y x x =+++的最小值是最小值为9.故答案为：9.15解析：方法一：设0a x =>，10b y =>，1110c y x b a =+=+>，当11a b c b a===+时，a b ==不妨设a b ≤，11min ,,S a b b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭①当a b ==时，11min ,,S a bb a ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭②当0a b <≤≤时，1111min ,,min ,S a b ab a b a ⎧⎫⎧⎫=+=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，若11a b a ≤+，则11min ,a a b a ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭若11a b a >+，则1111min ,a a b a b a⎧⎫+=+<≤⎨⎬⎩⎭；③当0a b <≤≤122a ≥，122b ≥，11c b a =+≥，11min ,,S a b ab a ⎧⎫=+=≤⎨⎬⎩⎭；a b ≤≤时，122a ≤，122b ≤，11c b a =+≤，1111min ,,S a bb a b a ⎧⎫=+=+≤⎨⎬⎩⎭同理，当a b >时，可以证明S ≤综上所述：S .方法二：由题意知0S x <≤，10S y <≤，则11x S ≤，1y S≤所以1112S yx S S S≤+≤+=，解得0S <≤，故S。
高考数学压轴专题新备战高考《不等式》难题汇编
【最新】高考数学《不等式》练习题一、选择题1．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A B ．1)C ．D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y，0x>，则2||4 ||1PMx PF x=+-，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点P作PN垂直准线于N，交y轴于Q，则11PF PN PQ-=-=，设(),P x y，0x>，则()()22222224||||44||1x y x xPM PPMxF xQP x x-+-+====+≥-，当4xx=，即2x=时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．已知,x y满足约束条件2302340x yx yy-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny=+-的最大值为1（其中0,0m n>>），则112m n+的最小值为（）A．3 B．1 C．2 D．32【答案】D【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数z的最大值求得,m n的关系式23m n+=，再利用基本不等式求得112m n+的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，由211x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，0）∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->- B ．|||a b b a < C ．ln ln a b b a -<- D ．|||a b b a ->【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1a b e b a e ==-，可排除A 、D 项；取11,49a b ==711812a b b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A．5B．455C．5D．25【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A的位置，利用图形可观察出使得AB最小时点B的位置，利用两点间的距离公式可求得AB的最小值.【详解】作出不等式组260yx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立260x yx y-=⎧⎨+-=⎩，解得22xy=⎧⎨=⎩，由图知AB的最小值即为()4,3A、()2,2B两点间的距离，所以AB()()2242325-+-=故选：C．【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．对于函数()f x，若12,x x满足()()()1212f x f x f x x+=+，则称12,x x为函数()f x的一对“线性对称点”．若实数a与b和+a b与c为函数()3xf x=的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（）A．3log4B．3log41+C．43D．3log41-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.8．已知函数24,0()(2)1,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4)【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A 【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.13．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．14．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（ ） ABCD．【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B BB C B B +=-=-=---，∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan B B +≥=，当且仅当tan 2B =时取等号，∴min111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.15．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ）A ．log 3log 3a b >B ．336a b +>C ．133ab a b ++>D ．b a a b > 【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立.【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，综上选B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.16．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） AB ．5C ．3D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2252d ⎛⎫==； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．17．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）． A 5B ．3C ．23 D ．22【答案】D【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---2()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立 所以22a b a b+-的最下值为2故答案选D考点：基本不等式．18．设集合{}20,201x M x N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.19．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．112 【答案】B【解析】【详解】 解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥20．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ） A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4] 【答案】B【解析】【分析】 作出可行域，1y x +表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】 作出可行域，如图阴影部分（含边界），1y x+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)410QA k --==-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤．故选：B ．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1y x +表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》经典测试题附解析
新《不等式选讲》专题一、141．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.2．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式：)0,0a b ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.3．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．13C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．4．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．设n *∈N） A>BC=D ．不能确定【答案】B 【解析】 【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系． 【详解】22-===.22-===.*n N∈42,31n n n n+>++>+>>><<成立，因此本题选B．【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．6．若存在x,∈R,使2x a23x1-+-≤成立,则实数a的取值范围是（）A．[]75--，B．()57，C．[]57，D．][()57∞∞-⋃+，，【答案】C【解析】【分析】先利用绝对值三角不等式求223x a x-+-的最小值，即得实数a的取值范围.【详解】由题得223=262|6|x a x x a x a-+--+-≥-，所以|6|1,161,57a a a-≤∴-≤-≤∴≤≤.故选C【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和绝对值不等式的能成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．设,x y∈R，且0xy≠，则222241x yy x⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A．9-B．9 C．10 D．0【答案】B【解析】【分析】利用柯西不等式得出最小值．【详解】（x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy= 时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．8．设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】 由31x <可得1x <， 由1122x -<可得01x <<， 据此可知“31x <”是“1122x -<”的必要而不充分条件. 故选B . 【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】 【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.10．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( ) A ．∅B ．{|3x x >或2}x ?C ．{|3x x >或0}x <D ．{|3x x >或0}x <【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}． 故选：B ． 【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．11．若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或8【答案】D 【解析】试题分析：由题意，①当12a->-时，即2a >，3(1),2(){1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x --+≤-=+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12a -<-时，即2a <，3(1),1(){1,123(1),2x a x af x x a x ax a x --+≤-=-+--<≤-++>-，则当2a x =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12a-=-时，即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.12．已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈…，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P ⋃等于( )。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》易错题汇编含解析
新数学高考《不等式》专题解析一、选择题1．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()2f x =D ．()42xx f x e e=+- 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()2f x ==，故()3f x ≥，C 错误； D. ()4222xx f x e e =+-≥=，当4xxe e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】 【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知实数x ，y满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2B ．4C．D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，x y +≥ （2）当0y <时，x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形，又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2222211d -==+，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.5．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=，所以()2tan tan2tan2tan11tan tan13tan3tantanαββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan0β>，根据基本不等式213tantanββ≤=+当且仅当tanβ=时等号成立，因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tany x=在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π.故选:B.【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.6．对于函数()f x，若12,x x满足()()()1212f x f x f x x+=+，则称12,x x为函数()f x的一对“线性对称点”．若实数a与b和+a b与c为函数()3xf x=的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（）A．3log4B．3log41+C．43D．3log41-【答案】D【解析】【分析】根据已知有333b c a b ca++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b+的最小值，根据333a b a b+=+，利用基本不等式，得到3a b+的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a与b为函数()3xf x=的“线性对称点”，所以333a b a b+=+=≥故34a b+≥（当且仅当a b=时取等号）.又+a b与c为函数()3xf x=的“线性对称点，所以333b c a b ca++++=，所以3143131313a bca b a b+++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.7．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.8．已知,x y满足33025010x yx yx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36yzx-=-的最小值为（）A．157B．913C．17D．313【答案】D【解析】【分析】画出可行域，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率，根据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.直线330x y-+=与直线10x y+-=交于点13(,)22A-，由图可知，当可行域内的点为A时，PAk最小，故min333211362z-==--.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9．已知点(2,0)M，点P在曲线24y x=上运动，点F为抛物线的焦点，则2||||1PMPF-的最小值为（ ） A ．3 B ．2(51)-C ．45D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-，当4x x =，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且223sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A ．(23,4]B ．(4,43]C ．(43,423]+D ．(423,63]+【答案】C 【解析】 【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D 【解析】 【分析】把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】∵3613a b +=（36a b +）（a +2b ） ＝13(366b aa b+++12)≥1 3×(15+266b aa b⋅=）9等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等所以36a b+的最小值为9．故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题12．若变量x，y满足2,{239,0,x yx yx+≤-≤≥则x2+y2的最大值是A．4 B．9 C．10 D．12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A（3，-1）到原点距离最大，所以22max()10x y+=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.13．已知点()2,1A，O是坐标原点，点(),P x y的坐标满足：20230x yx yy-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA=⋅u u u r u u u r，则z的最大值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.14．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+=()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）2x y ∴+的最小值为9故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.15．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.16．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A ．169πB ．89πC ．1627πD ．827π 【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …．当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为169π， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.18．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） AB ．5C ．3D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2252d ⎛⎫==； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．19．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】 可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.20．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ） A 3B 3C 3D 3【答案】B 【解析】【分析】【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos 3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB +≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤，故选B ． 考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．。
2021年广东省高考数学总复习第62讲：绝对值不等式
2021年广东省高考数学总复习第62讲：绝对值不等式1．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋3|. (1)解不等式f (x )≥6；(2)记f (x )的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab ＋a ＋2b ＝m ，求a ＋2b 的最小值．解：(1)当x ≤－32时，f (x )＝－2－4x ， 由f (x )≥6，解得x ≤－2； 当－32<x <12时，f (x )＝4， 显然f (x )≥6不成立；当x ≥12时，f (x )＝4x ＋2，由f (x )≥6解得x ≥1. ∴f (x )≥6的解集是{x |x ≤－2或x ≥1}．(2)f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋3|≥|(2x －1)－(2x ＋3)|＝4， 即f (x )的最小值为4，则m ＝4.∵a ·2b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22， ∴由2ab ＋a ＋2b ＝4可得4－(a ＋2b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22， 解得a ＋2b ≥25－2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， ∴a ＋2b 的最小值为25－2. 4．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|.(1)若关于x 的不等式f (x )<a 有解，求实数a 的取值范围； (2)若关于x 的不等式f (x )<a 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫b ，72，求a ＋b 的值．解：(1)不等式等价于a >f (x )min ，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x >3，4，－1≤x ≤3，2－2x ，x <－1，绘制函数f (x )的图象如图所示，观察函数的图象，可得实数a 的取值范围是(4，＋∞)．(2)由题意可得x ＝72是方程|x ＋1|＋|x －3|＝a 的解，据此有a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72＋1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪72－3＝5， 求解绝对值不等式|x ＋1|＋|x －3|<5可得：－32<x <72. 故b ＝－32，a ＋b ＝5－32＝72.5．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －m 2(m ∈R )，g (x )＝|x ＋1|，且不等式g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋22＋m2≤3的解集为[－2,3]． (1)求实数m 的值；(2)若存在实数k ，使得f (k )＋1≤12T －f (－k )成立，求实数T 的取值范围．解：(1)由不等式g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋22＋m2≤3，可得|2x －m |＋m ≤6， 得|2x －m |≤6－m ，∴m －6≤2x －m ≤6－m ，即m －3≤x ≤3， ∴m －3＝－2，∴m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，则存在实数k ，使得f (k )＋1≤12T －f (－k )，可转化为存在实数k ，使得|2k －1|＋|2k ＋1|＋2≤T ，设h (k )＝|2k －1|＋|2k ＋1|＋2，则h (k )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4k ，k <－12，4，－12≤k ≤12，2＋4k ，k >12，数形结合知函数h (k )的最小值是4， 故实数T 的取值范围为[4，＋∞)．6．已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|，a ∈R ，g (x )＝x 2－2x －4＋4(x －1)2. (1)若f (2a 2－1)>4|a －1|，求实数a 的取值范围；(2)若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (2a 2－1)>4|a －1|， ∴|2a 2－2a |＋|a 2－1|>4|a －1|， ∴|a －1|(2|a |＋|a ＋1|－4)>0， ∴|2a |＋|a ＋1|>4且a ≠1.①若a ≤－1，则－2a －a －1>4，∴a <－53； ②若－1<a <0，则－2a ＋a ＋1>4， ∴a <－3，此时无解；③若a ≥0且a ≠1，则2a ＋a ＋1>4，∴a >1. 综上所述，a 的取值范围为 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(1，＋∞)．(2)∵g (x )＝(x －1)2＋4(x －1)2－5≥ 2(x －1)2·4(x －1)2－5＝－1，显然可取等号，∴g (x )min ＝－1.于是，若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，只需f (x )min ≤1. 又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2， ∴(a －1)2≤1，∴－1≤a －1≤1， ∴0≤a ≤2，即a ∈[0,2]． 7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋1|. (1)当a ＝1时，求f (x )≤2的解集；(2)若g (x )＝4x 2＋ax －3.当a >－1且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，a 2时，f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－122，－12≤x ≤124x ，x >12.当x <－12时，f (x )≤2无解； 当－12≤x ≤12时，f (x )≤2的解集为 {x |－12≤x ≤12}； 当x >12时，f (x )≤2无解．综上所述，f (x )≤2的解集为{x |－12≤x ≤12}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，a 2时，f (x )＝(a －2x )＋(2x ＋1)＝a ＋1， 所以f (x )≥g (x )可化为a ＋1≥g (x )．又g (x )＝4x 2＋ax －3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，a 2上的最大值必为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12、g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2之一，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋1≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，即⎩⎨⎧a ≥－2－43≤a ≤2，即－43≤a ≤2.又a >－1，所以－1<a ≤2，所以a 的取值范围为(－1,2]． 8．(2021·模拟)已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )≤5－|x －1|的解集；(2)若函数g (x )＝1x －f (2x )－a 的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上与x 轴有3个不同的交点，求a 的取值范围．解：(1)由f (x )≤5－|x －1|， 得|x －1|＋|x －2|≤5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，2x －3≤5或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤2，1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤5，解得－1≤x ≤4，故不等式f (x )≤5－|x －1|的解集为[－1,4]． (2)设h (x )＝1x －f (2x )＝1x －|2x －2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －2x ＋2，x ≥1，1x ＋2x －2，12<x <1.当12<x <1时， h (x )＝1x ＋2x －2≥21x ×2x －2＝22－2，当且仅当1x ＝2x 即x ＝22时取等号， 所以h (x )min ＝22－2.当x ≥1时，h (x )＝1x －2x ＋2递减， 画出函数h (x )的草图，如下：原问题等价于h(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，结合h(x)的图象可得，a∈(22－2,1)．。
高考数学复习历年压轴题归类专题讲解： 基本不等式(原卷版)
高考数学复习历年压轴题归类专题讲解基本不等式（原卷版）1．已知定义在R 上的函数()13y f x =+-是奇函数，当()1,x ∈+∞时，()131f x x x '≥+--，则不等式()()3ln 10f x x -+>⎡⎤⎣⎦的解集为（ ） A ．()1,+∞ B ．()()1,0,e -⋃+∞ C ．()()0,1,e +∞ D ．()()1,01,-⋃+∞2．已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b R +∈，则111a b ++的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知抛物线C 方程为24x y =，F 为其焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，则AP BQ ⋅的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．[)0,25．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM xAB yAC =+，则x y +的最大值为（ ）A ．45B ．54C ．56D ．126．对函数()f x ，如果存在00x ≠使得()()00f x f x =--，则称()()00,x f x 与()()00,x f x --为函数图像的一组奇对称点.若()x f x e a =-（e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．1,C ．(),e +∞D ．[)1,+∞7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，且满足2b =，sin cos2b A b A =，若点D 与点B 在AC 的两侧，且A ，B ，C ，D 四点共圆，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A ．32+B ．CD ．8．抛物线y =2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长度为3，则点M 的纵坐标的最小值为（ ）A ．118B ．54C ．32D ．19．设0a >，0b >，是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．910．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．1+B 1C ．32D ．5211．已知正实数,m n ，设a m n =+，b 若以,a b 为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c ，且c 满足2c k mn =⋅，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()1,6B ．()2,36C ．()4,20D ．()4,3612．如图所示，点()00,P x y ，(),M m n 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上不同的两点，过M 作MN 垂直于x 轴交椭圆于另外一点N ，直线MP ，NP 分别交x 轴于点E ，F ，若c =OE OF +的最小值为（ ）A ．a c -B ．2aC ．2bD ．a c +13．如图，椭圆22:143x y C +=，P 是直线4x =-上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是（ ）A ．7B ．65C ．10D ．214．若实数a ，b 满足22ln(2)l 422n a b a b +≥+-，则（ ）A ．14a b +=B ．124a b -=C ．23a b +>D ．241a b -<15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=，24b a +=，点D 在边AB 上，且2AD DB =，则线段CD 长度的最小值为（ ）A ．BC ．3D ．216．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y a a +=>和双曲线()2210x y m m-=>，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭17．已知四面体ABCD 中，棱AD ，BC 所在直线所成角为60︒，且1AD =， 2BC =，60ACD ∠=︒，面BAD 和面ACD 所成的锐二面角为α，面BAC 和面ACD 所成的锐二面角为β，当四面体ABCD 的体积取得最大值时（ ）.A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定18．已知斜率为(0k k >的直线l 与椭圆2214x y +=交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为坐标原点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足212k k k =，设OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ，则12S S S+的最小值为（ ）A ．52πB ．56πC ．54πD ．58π 19．若非零向量,m n 满足||||1m e m e n e n e --⋅=--⋅=（e 为单位向量），且m n ⊥，则||m n -的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．820．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MNAB 的最大值是( )A ．1BCD ．221．若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =-（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11ea b+的取值范围是( ) A ．[)2,e B ．(],4e C ．[)2,+∞ D ．[),e +∞22．在正方形ABCD 中，已知2AB =，(01)BE BC λλ=≤≤，(01)DF DC μμ=≤≤，||||||BE DF EF +=，若AE AF x ⋅≥，则x 的取值范围为（ ）A ．(1)]-∞B ．(1))-∞C ．(1)]-∞D ．(1))-∞23．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A ．BCD ．24．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c+的取值范围是（ ）A ．1⎛ ⎝⎭B ．(C ．1⎛ ⎝⎦D ． 25．设,m n 分别是方程4xe x a +=和log 4(1)a x e x a +=>的根，则13143m n +++的最小值是（ ）A ．1321B ．1219C ．1D ．81326．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点,A B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若15OA OB =(O 为原点)，则ABO ∆和AFO ∆的面积之和的最小值为（）A ．BCD ．1827．若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为（ ）A ．76 B ．4-C ．5-D ．6-28．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．229．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()S A C b c +=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）A ．B ．2C ．1D ．30．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2233S a S +=-，则423a a +的最小值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．18。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编及解析
新《不等式》专题一、选择题1．若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 【分析】 【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错误，，选项D 错误，因为选项C 正确，故选C ． 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ） A 3B ．51)C ．45D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-，当4x x =，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B 【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．4．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()223f x x =+D ．()42xxf x e e =+- 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误；C. ()2f x ==，故()f x ≥，C 错误；D. ()4222xx f x e e =+-≥=，当4xx e e=，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得22m n m n+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.6．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ） A ．43B ．2log 3C ．25D ．24log 3【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出2a b+的最小值后可得221a ba b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可得c 的最大值. 【详解】因为222a b a b ++=，故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立. 又因为2222abca b c++++=，故2114211212133a b ca b a b +++==+≤+=--，当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24log 3c =. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.7．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数2232()13a c f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意即222()3203a c f x x bx +-'=++>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为2232()13a c f x x bx x +-=+++，所以222()323a c f x x bx +-'=++，若()g x 的定义域为R，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 22a cb B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.8．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5 B．5CD【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB 的最小值为()()2242325-+-=.故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．9．已知不等式组y xy x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．已知x 、y 满足约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y =+，则实数z 的最小值为（ ）A ．22B ．25C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y +的最小值，进而可得出实数z 的最小值. 【详解】作出不等式组122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min212x y+==⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.12．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.13．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122ba z =-+进行平移，找到截距的最大值．14．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ） A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4] 【答案】B【解析】【分析】作出可行域，1y x +表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1y x +表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)410QA k --==-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤．故选：B ．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1y x+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．15．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ）A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】【分析】2()sin (2)sin 2m f x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m =-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当3m =时，等号成立. 故选：D【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A ．169πB ．89πC ．1627πD ．827π 【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …．当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为169π， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．17．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ）A ．1(1,)2-B ．1(,1)(,)2-∞-+∞UC ．1(,1)2-D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2x x f x e e x -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2x x f x e e x --=-+- ()()sin2x x e e x f x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数；又()'2cos222cos20x x f x e e x x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>， 得()()()221f x f x f x ->-=-，∴221x x ->-，即2210x x +->，解得1x <-或12x >， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 故选B ．【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．18．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.19．已知,a b 都是正实数，则222a b a b a b +++的最大值是（ ） A．2 B．3- C．1 D ．43【答案】A【解析】【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b +++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.【详解】设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n m a b --==，所以222222233a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n m m n =时取等号.所以222a b a b a b +++的最大值是2-. 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( ) A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2 【答案】D【解析】【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】 解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴⋂=.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a >进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.。
高考数学专题复习 不等式问题的题型与方法 试题
2021年高考数学专题复习不等式问题的题型与方法本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一．复习目的：1．在纯熟掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法根底上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，进步学生分析问题、解决问题的才能以及计算才能；2．掌握解不等式的根本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比拟法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵敏的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等根本数学思想方法证明不等式的才能；5．能较灵敏的应用不等式的根本知识、根本方法，解决有关不等式的问题．6．通过不等式的根本知识、根本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各局部知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯穿，从而进步分析问题解决问题的才能．在应用不等式的根本知识、方法、思想解决问题的过程中，进步学生数学素质及创新意识．．二．考试要求：1．理解不等式的性质及其证明。
2．掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
3．掌握分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式。
4．掌握简单不等式的解法。
5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
三．教学过程：〔Ⅰ〕根底知识详析1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质那么是不等式变形的理论根据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法亲密相关，要擅长把它们有机地联络起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或者根本不等式，通过构造函数、数形结合，那么可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类HY明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的根底，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的根本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解亲密相关，要擅长把它们有机地联络起来，互相转化和互相变用．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或者根本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类HY更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比拟法是不等式证明中最根本、也是最常用的方法，比拟法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．证明不等式的方法灵敏多样，内容丰富、技巧性较强，这对开展分析综合才能、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要根据题设和待证不等式的构造特点、内在联络，选择适当的证明方法．通过等式或者不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因〞，后者是“由因导果〞，为沟通联络的途径，证明时往往结合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，到达欲证的目的．6．证明不等式的方法灵敏多样，但比拟法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的根本方法．要根据题设、题断的构造特点、内在联络，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．7．不等式这局部知识，浸透在中学数学各个分支中，有着非常广泛的应用．因此不等式应用问题表达了一定的综合性、灵敏多样性，这对同学们将所学数学各局部知识融会贯穿，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要根据题设、题断的构造特点、内在联络、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或者证明．不等式的应用范围非常广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域确实定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着亲密的联络，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或者证明。
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不等式
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
22分
12分
10分
5分
5分
5分
(2008年高考广东卷第10小题)
设a 、b ∈R ，若a － |b | > 0，则下列不等式中正确的是（D ）
A. b － a > 0
B. a 3
+ b 3
< 0 C. a 2
－ b 2
< 0
D. b + a > 0
(2008年高考广东卷第12小题)
若变量x 、y 满足24025000
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是__70_____。
(2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。
经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x （单位：元）。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则 ()()21601000010800
56048560482000f x x x x x
⨯=++=++()10,x x Z +≥∈ ()2
10800
48f x x
'=-
, 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '<
因此 当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
(2010年高考广东卷第19小题)
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
19．解：设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，所花的费用为z ，则依题意得：
y x ,满足条件12864664261054x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪∈⎪∈⎪⎩即321607035270x y x y x y x N y N +-≥⎧⎪+-≥⎪⎪
+-≥⎨⎪∈⎪
∈⎪⎩
，
目标函数为y x z 45.2+=，
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把y x z 45.2+=变形为
485z x y +-=，得到斜率为85-，在y 轴上的截距为4
z
，随z 变化的一族平行直线.
由图可知，当直线4
85z
x y +-=经过可行域上的点
M (70x y x y +-=即直线与直线3+5-27=0的交点)时截距最小，即z 最小.
解方程组：70
35270
x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩, 得点M 的坐标为3,4==y x 所以，=min z 22
答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.
(2011年高考广东卷第5小题)不等式2
210x x -->的解积是D A ．1(,1)2-
B. (1,)+∞
C. (,1)(2,)-∞+∞U
D. 1
(,)(1,)2
-∞-+∞U (2011年高考广东卷第6小题)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组
02
2
2x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩给定,若(,)M x y 为D 上的动点,点A 的坐标为2,1),z OM OA =u u u u r u u u r g 则的最大值为B
A ．3 B.4 C.3242(2012年高考广东卷第5小题)已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
则2z x y =+的最小
值为(C)
A ．3
B ．1
C ．5-
D 6- (2013年高考广东卷第13小题)
已知变量,x y满足约束条件
30
11
1
x y
x
y
-+≥
⎧
⎪
-≤≤
⎨
⎪≥
⎩
，则z x y
=+的最大值是____5_________；
(2014年高考广东卷第4小题)
若变量x、y满足约束条件
28
04
03
x y
x
y
+≤
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪≤≤
⎩
，则2
z x y
=+的最大值等于（ C ）
A.7
B.8
C.10
D.11。