专题07 常考常新的分段函数-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)

专题07 常考常新的分段函数
【热点聚焦与扩展】
分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化.即“分段函数——分段看”.高考关于分段函数的考查，往往与函数的图象和性质相结合，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．
1、分段函数的定义域与值域——各段的并集.
2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起.
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式.
4、分段函数分析要注意的几个问题
（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的.否则是断开的.例如：
()2
21,3
4,3
x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析.再比如 ()2
21,31,3
x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开
的两段.
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数.例如：
()13f x x =-+，可转化为：()13,1
13,1
x x f x x x -+≥⎧=⎨
-+<⎩
5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论.
6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合.
【经典例题】
例1【2017山东，文9】设(
)()1
21,1
x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则
1f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
例2【2017天津，文8】已知函数||2,1,
()2
, 1.x x f x x x x +<⎧⎪
=⎨+≥⎪⎩
设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）
（A ）[2,2]-（B
）[-（C
）[-（D
）[-
例3.已知()[)[]
2 1.1,01,0,1x x f x x x +∈-⎧⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列选项错误的是（ ）
A. ①是()1f x -的图像
B. ②是()f x -的图像
C. ③是()f
x 的图像 D. ④是()f x 的图像
例4.函数()31,12sin ,12
x x f x x x π
⎧+>⎪
=⎨≤⎪⎩ ，则下列结论正确的是（ ） A. 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数 B. 函数()f x 的最小正周期为4 C. 函数()f x 是奇函数 D. 函数()f x 无最小值
例5【2017课标3，文理】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.
例6【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知函数()()2231,3{
2,3
x a x a x f x a x --++≤=>
（0a >且1a ≠），若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. 50,6
⎛
⎤ ⎥⎝
⎦ B. 51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 550,1,64⎛
⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝
⎦⎝⎦ D. ()50,1,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭
例7【2018届四川省广元市高高三第二次统考】已知函数，方程有四
个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，若函数
有零点，则的取值范围是
（ ） A.
B.
C.
D.
例8【2018届广西高三下学期第二次模拟】若函数是在上的减函数，则的取
值范围是__________．
例9【2018届北京市朝阳区高三3月一模】已知a R ∈，函数()()
2
1
1
+10π{ sin 2,0.22x x x a x x
f x x --++<=>+，，
当0x >时，函数()f x 的最大值是_____；若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是______．
例10【2018届北京市汇文实验中学高三九月月考】已知函数()()1
43,0{ 2
,0
x a x a x f x a x -++<=≥,若函数()f x 的图像经过点13,8⎛⎫
⎪⎝⎭
,则a =___________;若函数()f x 满足对任意12x x ≠,都有
()()1212
0f x f x x x -<-成立,那么实数a 的取值范围是___________.
【精选精练】
1【2018届河南省南阳市第一中学高三第十二次考】设函数若,则实数
的取值范围是( ) A. B. C.
D.
2【2018届河北省邯郸市高三一模】若函数()2
21,1{ 1,1
x x f x x ax x +≥=-++<在R 上是增函数，则a 的取值范围
为（ ）
A. []2,3
B. [)2,+∞
C. []1,3
D. [
)1,+∞ 3．函数()2log ,0{
2,0
x x x f x a x >=-+≤有且只有一个零点的充分不必要条件是
A. 0a <
B. 102a <<
C. 1
12
a << D. 0a ≤或1a > 4【2018年山西省高考测试】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，
()21,01{
22,1
x
x x f x x -+≤<=-≥.若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的
最大值是（ ） A. 1- B. 12-
C. 13-
D. 13
5【2018届江西省高三六校联考】已知
则=__________.
6【2018年陕西省高三检测（二）】设函数()()2,3,{
1,3
x x f x f x x ≥=+<则()2log 6f 的值为__________．
7．【2018届陕西省咸阳市高三二模】已知函数()()22
log 3,2
{
2,2
x x x f x x --<=≥，则()()2log 121f f +=__________．
8【2018届吉林省长春市普通高中高三质量监测（三）】已知函数，若
，则实数的
取值范围是___________.
9【2018届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考】设函数()1,0
{
2,0
x x x f x x +≤=>，则满足
()()11f x f x +->的x 的取值范围是__________．
10【2018届江苏省徐州市高三第一次质量检测】已知函数()()
2
21,1
{
1,1
x x f x x x -+≤=->，函数
()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为__________．
11【2018届山西省榆社中学高三诊断性模拟】设函数()2log ,1
{ 31,1
x x x f x x ≥=+<，若()()03log 2f x f ≤，则0
x 的最大值为_______.
12.已知函数()22,1
{ log ,1
x x f x x x <=≥若直线y m =与函数()f x 的图象只有一个交点,则实数m 的取值范围
是________.。