广东省惠州市龙门县蓝田民族中学2017届高三4月质量检测数学(文)试题Word版含答案

2017年普通高中毕业班质量检查
文科数学 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}()(){}
0,1,2,|120A B x x x ==+-<，则A B 的元素个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2.已知()()(),11z ai a R z i =∈++是实数，则2z += （ ） A ．
B
．3 D ．5
3.某厂在生产某产品的过程中，采集并记录了产量x （吨）与生产能耗y （吨）的下列对应数据：
根据上表数据，用最小二乘法求得回归直线方程ˆˆ 1.5y
bx =+.那么，据此回归模型，可预测当产量为5吨时生产能耗为（ ）
A ．4.625吨
B ．4.9375吨
C ．5吨
D ． 5.25吨
4.已知直线,a b ，平面,,,a b αβαα⊂⊂，则//,//a b ββ是//αβ的 （ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5.已知实数,x y 满足0
201x x y y x ≥⎧⎪
-≥⎨⎪≥-⎩
，则()0z ax y a =+>的最小值为（ ）
A ．0
B ．a C. 21a + D ．-1
6.双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴上，则该双曲线的离心率等于 （ ） A
B
．3
7. 函数()()()ln 1ln 1cos f x x x x =++-+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C. D ．
8.如图，在正方形网格纸上，粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸.若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）
A ．8π
B ．18π C. 24π D ．
9.执行如图所示程序框图，若输出结果是5，则输入的整数p 的可能性有（ ）
A ．6种
B ． 7种 C. 8种 D ．9种
10.已知函数()2,0
3,0
x x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦
，则实数a 的取值范围为
（ ）
A ．()1,+∞
B ．()2,+∞ C. ()
(),11,-∞-+∞ D ．()(),22,-∞-+∞
11.已知函数()()()
sin 01,f x x ωϕωϕπ=+<<<.若对任意()()(),16x R f f x f ∈≤≤，则（ ）
A ．()()201420170f f -<
B ．()()201420170f f -= C. ()()201420170f f +< D ．()()201420170f f +=
12.函数()()()3
2
1201f x ax a x x x =+--+≤≤在1x =处取得最小值，则实数a 的取值范
围是（ ）
A ． 0a ≤
B ．305a ≤≤
C. 3
5
a ≤ D ．1a ≤ 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.设向量()()1,3,2,2a b x ==+，且//a b ，则x = ． 14.已知10,
,sin 222a πα⎛
⎫
∈= ⎪⎝
⎭则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭ ． 15.过点()()3,1,,0P Q a -的光线经x 轴反射后与圆2
2
1x y +=相切，则a 的值为 ． 16. ABC ∆中，D 是BC 上的点，2,1DA DB DC ===，
则A BA C 的最大值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列{}n a 中，22a =，数列{}n b 中，4224n a
n b b b ==．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若2111322212017n n n n a b a b a b a b a b a b +-+-+
+-≤，求n 的最大值．
18.在如图所示的多面体中，DE ⊥平面
0,//,//,,60ABCD AF DE AD BC AB CD ABC =∠=，244BC AD DE ===．
（1）在AC 上求作点P ，使//PE 平面ABF ，请写出作法并说明理由； （2）求三棱锥A CDE -的高．
19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示. a
（1）求,,a b c 的值；
（2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；
（3）已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率；
20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
:20C x py p =>的焦点为F ，点A 在C 上．若
3
2
AO AF ==
． （1）求C 的方程；
（2）设直线l 与C 交于,P Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求OPQ ∆的面积的最大值． 21.函数()()()()
2
1
2
11,,1
x f x f x x n x e
g x n R x -⎡⎤=-++=
∈⎣⎦+．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当()f x 在R 上单调递增时，证明：对任意12,x x R ∈且
()()()()
21211221
,
2g x g x g x g x x x x x +-≠>
-． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕ
ϕ=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），在以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()124f x x x =++-． （1）解关于x 的不等式()9f x <；
（2）若直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．
参考答案
一、选择题 （1）C (2)B （3）C （4）B （5）D （6）A （7）A （8）C
（9）B
（10）D
（11）A
（12）C
二、填空题 （13）4
（14）2
3
（15）3
5-
（16）
2
2
9 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列{}n a 中，22a =，数列{}n b 中，4224n a
n b b b ==．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若2111322212017n n n n a b a b a b a b a b a b +-+-++-≤，求n 的最大值．
【答案】（1）
.
.（2）9.
【解析】试题分析：（1）求等差数列通项公式关键求公差,由
得
,即
，解得
，最后根据等差数列广义通项公式得
,即
.再由
得
.（2）先求和
,
方法可利用分组求和法将数列求和转化为等比数列求和,再利用数列单调性解不等式
，得的最大值为9.
试题分析：（1）设等差数列的公差为.
由题意，可得， 整理，得，即
，解得
，
又，故
， 所以
.
.
所以n 的最大值为9.
18.在如图所示的多面体中，DE ⊥平面
0,//,//,,60ABCD AF DE AD BC AB CD ABC =∠=，244BC AD DE ===．
PE平面ABF，请写出作法并说明理由；
（1）在AC上求作点P，使//
的高．
（2）求三棱锥A CDE
【答案】（1）详见解析（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意,因此只需,就可推出平面，而
延长线与交点恰为的中点因此作法为先取的中点，再连结，交于.证法为先由线线平行证得线面平行，再由线面平行证得面面平行，最后由面面平行证得线面平行.（2）求三棱锥的高，可由等体积法求得：因为，而平面，所以，这样只需求出两个三角形面积，代入化简即得三棱锥的高.
试题分析：解：（1）取的中点，连结，交于，连结.此时为所求作的点. 下面给出证明：
∵，∴，又，∴四边形是平行四边形，
故即.
又平面平面，∴平面；
∵平面，平面，∴平面.
又∵平面平面，
∴平面平面，
又∵平面，∴平面.
（2）在等腰梯形中，∵，
∴可求得梯形的高为，从而的面积为.
∵平面，∴是三棱锥的高.
设三棱锥的高为.
由，可得，
即，解得，
故三棱锥的高为.
19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.
a b c的值；
（1）求,,
（2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；
（3）已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率；
【答案】（1）,.（2）600. （3）
【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可知小长方形面积等于对应区间的概率（频率），所以可得得分在的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得
，另根据对应比例关系有，解方程组可得的值；（2）由频率分布直方图可知小长方形面积等于“优秀”区间的概率（频率），所以可得“优秀”的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得“优秀”的人数；（3）根据分成抽样可得故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，再根据枚举法确定从这6人中任选2人的基本事件总数以及选取的2人中有1人为“优秀”的所包含的基本事件数，最后根据古典概型概率求法求概率.
试题分析：解：（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，再由内的频数6，可知抽取的学生答卷数为60人，
则，得；
又由频率分布直方图可知，得分在的频率为0.2，即，
解得.
进而求得.
（2）由频率分布直方图可知，得分在的频率为0.2，
由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2，
设该校测试评定为“优秀”的学生人数为，则，解得，
所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为600.
（3）“良好”与“优秀”的人数比例为24：12=2：1，
故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，
“良好”抽取4人，记为，“优秀”抽取2 人，记为，
则从这6人中任取2人，所有基本事件如下：
共15个，
事件:“所抽取的2人中有人为‘优秀’”含有8个基本事件，
所以所求概率.
20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
:20C x py p =>的焦点为F ，点A 在C 上．若
32
AO AF ==
． （1）求C 的方程；
（2）设直线l 与C 交于,P Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求OPQ ∆的面积的最大值． 【答案】（1）
（2）2.
【解析】试题分析：（1）先设点
坐标，再根据条件列方程组：
，代入得，解得，即得
抛物线方程；（2）利用斜截式设直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理得两根之间关系，结合弦长公式可得底边
长（用斜率与截距表示），再根据点到直线距离公式求出三角形的
高（用斜率与截距表示），根据
的中点的纵坐标为1得出斜率与截距之间关系，将三角形
面积关系化为一元（斜率）函数，最后结合判别式确定自变量（斜率）取值范围，利用导数求最值.
试题分析：（1）抛物线的焦点的坐标为
.
因为，
所以可求得点坐标为.
将点坐标代入得，
解得，
故抛物线方程为.
（2）依题意，可知与轴不垂直，故可设的方程为，
并设的中点.
联立方程组，消去，得，
所以.
因为线段的中点的纵坐标为1，
所以，即.
因为直线与交于，
所以，得，
故.
由，令得，
故
，
设，则，
设，
令得或，
由得，由得，
所以的单调增区间为，单调减区间为，
当时，；当时，，故，
所以的最大值是2.
注：面积也可通过求弦长
和点到直线
的距离建立，可参照上述类似给分.
点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 21.函数()()()()
2
1
2
11,,1
x f x f x x n x e
g x n R x -⎡⎤=-++=
∈⎣⎦+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当()f x 在R 上单调递增时，证明：对任意12,x x R ∈且
()()()()
21211221
,2g x g x g x g x x x x x +-≠>
-． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数零点，根据两个零点大小关系分类讨论导函数符号变化规律，进而确定函数单调区间，（2）利用导数证明不等式，关键是构造恰当的目标函数，因此先利用分析法探求目标函数：第一步，根据（1）得，第二步，同
除以
，将二元问题转化为一元（关于
），第三步，利用导数研究函数
单调性（单调递增），第四步，根据单调性，得不等关
系
，根据等价性得原不等式成立.
试题分析：解：（1）
，
，
令得.
当，即时，，故在上单调递增， 当
，即
时，令
，得
，所以
在
上单调递减；
同理，可得在上单调递增.
当，即时，令，得，所以在上单调递减；同理，可得在上单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当在上单调递增时，，故.
不妨设，则要证，
只需证，
即证，
只需证，
令，
则，不等式可化为. 下面证明：对任意，
令，即，
则，
令，则，所以在上单调递增，
又，所以当时，即，
故在上单调递增,
又，
所以当时，，
故对任意
，
，
所以对任意且，.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据
差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕ
ϕ=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），在以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值．
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）由直线的参数方程（为参数），
消去参数得，，
即直线的普通方程为， 由圆的极坐标方程为
，得
，
将代入(*)得， ，
即的直角坐标方程为.
（2）将直线的参数方程代入
得，
，
，
设两点对应的参数分别为，
则，
所以，因为，
所以当时，取得最小值.
【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】
解法二：（1）同解法一
（2）由直线的参数方程知，直线过定点，
当直线时，线段长度最小.
此时，，
所以的最小值为.
解法三：
（1）同解法一
（2）圆心到直线的距离，
，
又因为，
所以当时，取得最大值.
又，
所以当时，取得最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()124f x x x =++-． （1）解关于x 的不等式()9f x <；
（2）若直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值． 【答案】（1）
.（2）
【解析】（1）.
①当时，由不等式，解得
.
此时原不等式的解集是：. ②当
时，由不等式
，解得.
此时原不等式的解集是：. ③当
时，由不等式
，解得
，
此时原不等式的解集是：. 综上可得原不等式的解集为.
（2）由（1）可得，函数的图像是如下图所示的折线图.
因为， 故当时，直线与曲线
围成一个三角形，
即的范围是
.
【注：范围正确，不倒扣】 且当
时，
.。