双曲线的标准方程

题 (2)已知A、B两地相距800m，并且此时 解 析 声速为340m/s，求曲线的方程。 变式 若题目改为：一炮弹在某处爆炸,在A 、B两 处听到爆炸的声音的时间相差2s。
九
定义
| MF1-MF2 | =2a（０ < 2a<F1F2）
y
M
M F2
归 纳 小 结
y
图象
F1 o F2
x
F1
x
方程 焦点
焦点在x轴上, x2项的系数为正; 焦点在y轴上, y2项的系数为正.
1.写出下列椭圆或双曲线的焦点坐标, 并归纳出确定焦点位置的方法：
七 基 础 练 习
x y (1) 1 25 9
2 2
2
2
F1(4,0)， F2(-4,0)
把椭圆方程化成标准 形式后，
x y (2) 1 F1(0,4)， F2(0,-4) 9 25
七
解 : 依题意，可设所求双曲线的标准方程为 y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
基 础 练 习
由，且过点（ A 2，－5） a2 5 有 25 4 2 2 1 a b
b 2＝ 16
y2 x2 双曲线的标准方程为 1 20 16
a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a b
( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
(0, ± c)
2 2
2
2
c a b
2
已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P，满足
|PF1－PF2 |= 10，求点P的轨迹方程.
十
变 解: 式 练 习
因为|PF1－PF2|= 10, F1F2= 10, | PF1－PF2 |= F1F2 所以点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的 两条射线，
其轨迹方程是：y= 0 ( x 5, 或x 5)
三 思 考 探 究
1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？
双曲线的一支
2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等 于常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？
是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线
3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？
不存在
问题：设双曲线的焦距为2c，双曲线上 任一点到焦点F1，F2的距离的差的绝对 四 值等于常数 2a （ c>a>0 ），试探求双曲 构 建 线的方程。
双 曲 线 方 程
回顾：求椭圆标准方程的基本步骤？
建系 化简
设点 验证
找关系
1.求双曲线的标准方程的基本步骤
四 构 建 双 曲 线 方 程
(1)建立适当的直角坐标系，设曲 线上任意一点的坐标为P(x,y)
y
P(x,y)
O
(2)寻找动点满足的几何条件
| PF1 － PF2 | 2a
(3)把几何条件坐标化并化简
2 2 2
F1
F2
x
| ( x c) y ( x c) y | 2a
2
(4) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都 在曲线上. 这一步一般可省去不写 .
2.如何化简
五 释 疑 精 讲
一 复 习 引 入
1.平面内与两定点F1、F2的距离的和等 于常数2a ( 2a>F1F2>0)的点的轨迹是什 么？
P
F1
2 2
PF1 PF2 2a
F2
椭圆
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
x y 与 1( a b 0) a 2 b2
2.平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨 二 迹是什么？
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② | F1F2 | =2c ——焦距.
P= {M ||MF1 | - | MF2| = 2a } P= {M |||MF1 | - | MF2| |=2a } P= {M ||MF1 | - | MF2| =－2a } 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常 数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。这两个定 点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的焦距.
2
( x c) y ( x c) y 2a？
2 2 2 2
2 2 2
( x c ) y ( x c ) y 2a
( x c)
2
2
y
2
2a
2
( x c) y
2
2

2
cx a a ( x c) y
2 2
焦点跟着大值走
x2 y2 (3) 1 9 16
y2 x2 (4) 1 16 9
F1(5F2(0,-5)
把双曲线方程化成标 准形式后，
焦点跟着正项走
2.写出适合下列条件的双曲线的标准方程：
七
(1)c 5, b 3, 焦点在x轴上；
基 础 练 习
2a | (2 0) 2 5 (6) (2 0) 2 (5 6) 2 | 4 5
2
基 础 练 习
a 2 5
b 2 c 2 a 2 62 (2 5) 2 16
y2 x2 双曲线的标准方程为 1 20 16
(3) a=2 5,经过A(2， 5)，焦点在y轴上.
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2
2
2
2
2
2
b c a
2
2 2
2
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
3.焦点在x轴和焦点在y轴的双曲线的标准方程有何 区别？
六 思 考 探 究
y
P F1
2
O
P
y F2
F2
2
x
2
O
x
F1
2
x y y x 2 1 2 1 2 2 a b a b 2 2 2 c a b a 0, b 0
概 念 分 析
P
| | PF1 | - | PF2 | | =2a (双曲线) （差的绝对值） (1) | PF1 | － | PF2 | =2a (双曲线的右支)
F1
o
F2
(2) | PF2 | － | PF1 | =2a (双曲线的左支)
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于 常数（小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做.双曲线.
八 例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-
5,0),F (5,0), 双曲线上一点 P 到 F ， F 的 2 1 2 例 题 距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标 解 准方程。
析 变式 已知双曲线的焦距为10，双曲线上一 点P到两焦点F1、F2的距离的差的绝对值等 于8，求双曲线的标准方程.
例2 一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸 的声音的时间比在 B 处晚 2s. 八 例 (1)爆炸点应在什么样的曲线上?
解:
a c b 25 9 16
2 2 2 2 2
x y 双曲线的标准方程为 1 16 9
(2)焦点为F 6)，F2 (0,6)，且过点(2, 5). 1 (0，
七
解 : 依题意， 可设所求椭圆方程为 y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b