高考数学解析分类汇编(8)---数列 理

2012年高考真题理科数学解析汇编：数列
一、选择题
1 ．（2012年高考（新课标理））已知{}
n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=
（ ）
A ．7
B ．5
C ．-5
D ．-7
2 ．（2012年高考（浙江理））设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和,
则下列命题错误．．
的是 （ ）
A ．若d <0,则数列{S n }有最大项
B ．若数列{S n }有最大项,则d <0
C ．若数列{S n }是递增数列,则对任意的n ∈N*,均有S n >0
D ．若对任意的n ∈N*,均有S n >0,则数列{S n }是递增数列
3 ．（2012年高考（重庆理））在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =
（ ）
A ．7
B ．15
C ．20
D ．25
4 ．（2012年高考（四川理））设函数()2cos f x x x =-,{}n a 是公差为
8
π
的等差数列,125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=,则2313[()]f a a a -= （ ）
A ．0
B ．
2
116
π C ．2
18
π
D ．
2
1316
π 5 ．（2012年高考（上海理））设25
1sin π
n
n n a =,n n a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中,正数的个数是 （ ）
A ．25.
B ．50.
C ．75.
D ．100.
6 ．（2012年高考（辽宁理））在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=
（ ） A ．58 B ．88 C ．143 D ．176
7 ．（2012年高考（江西理））观察下列各式:a+b=1.a ²+b 2=3,a 3+b 3=4 ,a 4+b 4=7,a 5+b 5
=11,,
则a 10+b 10
= （ ） A ．28 B ．76 C ．123 D ．199
8 ．（2012年高考（湖北理））定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的
等比数列{}n a , {()}n f a 仍
是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下
函
数:①2()f x x =; ②()2x f x =; ③()f x =④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为
（ ）
A ．① ②
B ．③ ④
C ．① ③
D ．② ④
9 ．（2012年高考（福建理））等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差
为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．（2012年高考（大纲理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数
列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前100项和为 （ ）
A ．
100
101
B ．
99101
C ．
99100
D ．
101
100
11．（2012年高考（北京理））某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间
的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为 （ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11 12．（2012
{}n a 的各项都是
正数,且31116a a =,则 （ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、填空题
13．（2012年高考（新课标理））数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项
和为_______
14．（2012年高考（浙江理））设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }.若
2232S a =+,4432S a =+,则q =______________.
15．（2012年高考（上海春））已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数,
令
*,2012).n b n N n =∈<当k b 是数列{}n b 的最大项时,k =____.
16．（2012年高考（辽宁理））已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,
则数列的通项公式n a =______________.
17．（2012年高考（江西理））设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=,
则55a b +=__________。

18．（2012年高考（湖南理））设N =2n
(n ∈N *
,n ≥2),将N 个数x 1,x 2,,x N 依次放入编号为1,2,,N
的N 个位置,得到排列P 0=x 1x 2x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原
顺序依次放入对应的前
2N 和后2N 个位置,得到排列P 1=x 1x 3x N-1x 2x 4x N ,将此操作称为C 变换,将P 1分成两段,每段2
N
个数,并对每段作C 变换,得到2p ;当2≤i≤n -2时,将P i 分
成2i
段,每段2
i N 个数,并对每段C 变换,得到P i+1,例如,当N=8时,P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8,此
时x 7位于P 2中的第4个位置.
(1)当N=16时,x 7位于P 2中的第___个位置;
(2)当N=2n
(n≥8)时,x 173位于P 4中的第___个位置. 19．（2012年高考（湖北理））回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如
22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则 (Ⅰ)4位回文数有__________个;
(Ⅱ)21()n n ++∈N 位回文数有_________个.
20．（2012年高考（广东理））(数列)已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则
n a =______________.
21．（2012年高考（福建理））数列{}n a 的通项公式cos
12
n n a n π
=+,前n 项和为n S ,则2012S =___________.
22．（2012年高考（北京理））已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若11
2
a =
,23S a =,则2a =________. 三、解答题
23．（2012年高考（天津理））已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,
且1a =
1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.
(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式; (Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -,+n N ∈,证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.
24．（2012年高考（新课标理））已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对
边,cos sin 0a C C b c --=
(1)求A (2)若2a =,ABC ∆的面积为3;求,b c .
25．（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)
设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+,其中20a ≠. (I)求证:{}n a 是首项为1的等比数列; (II)若21a >-,求证:1()2
n n n
S a a ≤+,并给出等号成立的充要条件.
26．（2012年高考（四川理））已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线2
2
n
a y x =-+与x 轴
正半轴相交于点A ,设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.
(Ⅰ)用a 和n 表示()f n ;
(Ⅱ)求对所有n 都有3
3()1()11
f n n f n n -≥
++成立的a 的最小值; (Ⅲ)当01a <<时,比较1
1
()(2)
n
k f k f k =-∑
与27(1)()4(0)(1)f f n f f --的大小,并说明理由.
27．（2012年高考（四川理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n a a S S =+对一切正
整数n 都成立. (Ⅰ)求1a ,2a 的值; (Ⅱ)设10a >,数列1
10{lg }n
a a 的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最大值.
28．（2012年高考（上海理））对于数集},,,,1{21n x x x X -=,其中
n x x x <<<< 210,2≥n ,定义向量集
},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1,存在Y a ∈2,使得021=⋅a a ,则称X
具有性质P. 例如}2,1,1{-=X 具有性质P.
(1)若x >2,且},2,1,1{x -,求x 的值;
(2)若X 具有性质P,求证:1∈X ,且当x n >1时,x 1=1;
(3)若X 具有性质P,且x 1=1,x 2=q (q 为常数),求有穷数列n x x x ,,,21 的通
项公式.
29．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,
第3小题满分6分.
已知数列{}{}{}n n n a b c 、　、　满足*11()()().n n n n n a a b b c n N ++--=∈ (1)设36,{}n n c n a =+是公差为3的等差数列.当11b =时,求23b b 、的值; (2)设32,8.n n c n a n n ==-求正整数,k 使得一切*,n N ∈均有;n k b b ≥
(3)设1(1)2,.2
n
n
n n c n a +-=+=
当11b =时,求数列{}n b 的通项公式.
30．（2012年高考（陕西理））设{}n a 的公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534
,,a a a 成等差数列.
(1)求数列{}n a 的公比; (2)证明:对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.
31．（2012年高考（山东理））在等差数列{}n a 中,345984,73a a a a ++==.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)对任意*m N ∈,将数列{}n a 中落入区间2(9,9
)m
m
内的项的个数记为m b ,求数列
{}m b 的前m 项和m S .
32．（2012年高考（江西理））已知数列{a n }的前n 项和2
1()2
n S n kn k N *=-
+∈,且S n 的最大值为8.
(1)确定常数k,求a n ;
(2)求数列92{
}2n
n
a -的前n 项和T n . 33．（2012年高考（江苏））设集合{12}n P n =，，，
…,*N n ∈.记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数:
①n A P ⊆;②若x A ∈,则2x A ∉;③若A C x n p ∈,则A C x n
p ∉2.
(1)求(4)f ;
(2)求()f n 的解析式(用n 表示).
34．（2012年高考（江苏））已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满
足:2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+,*N n ∈,
(1)设n n n a b b +=+11
,*N n ∈,求证:数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
是等差数列; (2)设n
n
n a b b ∙
=
+21,*N n ∈,且{}n a 是等比数列,求1a 和1b 的值.
35．（2012年高考（湖南理））已知数列{a n }的各项均为正数,记
A (n )=a 1+a 2++a n ,
B (n )=a 2+a 3++a n +1,
C (n )=a 3+a 4++a n +2,n =1,2。

(1) 若a 1=1,a 2=5,且对任意n ∈N﹡,三个数A (n ),B (n ),C (n )组成等差数列,求数列{ a n }的通项公式.
(2) 证明:数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意N n *
∈,三个数
A (n ),
B (n ),
C (n )组成公比为q 的等比数列.
36．（2012年高考（湖北理））已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8.
(Ⅰ)求等差数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.
37．（2012年高考（广东理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,n ∈*N ,
且1a 、25a +、3a 成等差数列. (Ⅰ)求1a 的值;
(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数n ,有12
11
132
n a a a +++
<.
38．（2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效．．．．．．．．
) 函数2
()23f x x x =
--.定义数列
{}
n x 如下:112,n x x +=是过两点
(4,5),(,n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标.
(1)证明:123n n x x +≤<<; (2)求数列{}n x 的通项公式.
39．（2012年高考（北京理））设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每
个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合. 对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和1j n ≤≤；
记()k A 为1|()
|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值；
（2）设数表A=(2,3)S 形如
求()k A 的最大值；
（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S(2，21t +),求()k A 的最大值。

40．（2012年高考（安徽理））数列{}n x 满足:2
*110,()n n n x x x x c n N +==-++∈
(I)证明:数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < (II)求c 的取值范围,使数列{}n x 是单调递增数列.
2012年高考真题理科数学解析汇编：数列参考答案
一、选择题
1. 【解析】选D 472a a +=,56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=
471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-
2. 【答案】C
【解析】选项C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,.满足数列{S n }是递增数列,但是S n >0不成立. 3. 【答案】B
【解析】
4
2
25
14d a a d
=
-
=
-,523167a a d =+=+=,故155()565
1522
a a S +⨯⨯=
==.
【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解
答. 4. [答案]D
[解析]∵数列{a n }是公差为
8
π
的等差数列,且125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+= ∴π5)cos cos (cos 2521521=+++-+++a a a a a a ）（
∴,0)cos cos (cos 521=+++a a a 即 π55223521=⨯=+++a a a a ）（ 得4
3,4
,2
513π
π
π
=
=
=
a a a ∴2
313[()]f a a a -=16
13163)cos 2(2
22
512
33πππ=-=--a a a a [点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外,,0)cos cos (cos 521=+++a a a 隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力.
5. [解析] 对于1≤k ≤25,a k ≥0(唯a 25=0),所以S k (1≤k ≤25)都为正数.
当26≤k ≤49时,令απ=,则απ
k k =,画出k α终边如右, 其终边两两关于x 轴对称,即有)50sin(sin ααk k --=,
所以αsin 11=k S +α2sin 21++α23sin 231+α24sin 241
+0 +α26sin 261+α27sin 271+αk k sin 1
=αsin 11+α2sin 2
1++α24sin )(261241-+α23sin )(271
231-+ +α)50sin()(1501k k k ---,其中k =26,27,,49,此时k k <-<500, 所以01501>--k
k ,又παα<≤-<24)50(0k ,所以0)50sin(>-αk , 从而当k =26,27,,49时,S k 都是正数,S 50=S 49+a 50=S 49+0=S 49>0. 对于k 从51到100的情况同上可知S k 都是正数. 综上,可选D.
[评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析S k 的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键. 6. 【答案】B
【解析】在等差数列中,
111111481111()
16,882
a a a a a a s ⨯++=+=∴=
=,答案为B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n 项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确. 7. C 【解析】本题考查归纳推理的思想方法.
观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,,
发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,,
故1010
123.a b +=
【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理. 8. 考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.
解析:等比数列性质,2
1
2++=n n n a a a ,①()()()
()122
212222++++===n n n n n n a f a a a a f a f ;
②
()()()12221222222+++=≠==+++n a a a a a n n a f a f a f n n n n n ;③()()()
122
122++++==
=
n n n n n n a f a a a a f a f ;④
()()()()122
122ln ln ln ++++=≠=n n n n n n a f a a a a f a f .选C
9. 【答案】B
【解析】
151102410a a a d +=⇒+=,而4137a a d =+=,解得2d =.
【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.
10.答案A
【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和的公式的运用,以及裂项求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和.
【解析】由55,5,15n S a S ==可得
11145
154
1
5152
n a d a a n d a d +=⎧=⎧⎪⎪⇔⇒=⎨⎨⨯=+=⎪⎪⎩⎩ 11111
(1)1
n n a a n n n n +∴
==-
++ 100111
111100(1)()()1223
100101101101
S =-+-+
+-=-= 11. 【答案】C
【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C. 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平
均产量最高,就需要随着n 的增大,n S 变化超过平均值的加入,随着n 增大,n S 变化不足平均值,故舍去. 12. 【解析】选B
2
9311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=
二、填空题
13. 【解析】{}n a 的前60项和为1830
可证明:14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+
11234151514
1010151618302
b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+
⨯= 14. 【答案】3
2
【解析】将2232S a =+,4432S a =+两个式子全部转化成用1a ,q 表示的式子.
即111233
1111132
32
a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨
+++=+⎩,两式作差得:2321113(1)a q a q a q q +=-,即:2230q q --=,解之得:3
12
q or q ==-(舍去). 15. 1006 16. 【答案】2n
【解析】
2429510111,(),,,n n a a a q a q a q a q =∴=∴=∴=
22211
2()5,2(1)5,2(1)5,2(22
n n n n n n n a a a a q a q q q q q a +++=∴+=∴+===
∴=解得或舍去），
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 17. 35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想
(解法一)因为数列{},{}n n a b 都是等差数列,所以数列{}n n a b +也是等差数列. 故由等差中项的性质,得()()()5511332a b a b a b +++=+,即()557221a b ++=⨯,解得5535a b +=.
(解法二)设数列{},{}n n a b 的公差分别为12,d d ,
因为331112111212(2)(2)()2()72()21a b a d b d a b d d d d +=+++=+++=++=, 所以127d d +=.所以553312()2()35a b a b d d +=+++=.
【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前n 项和,等差中项的性质等. 18. 【答案】(1)6;(2)4
32
11n -⨯+
【解析】(1)当N=16时,
012345616P x x x x x x x =,可设为(1,2,3,4,5,6,
,16), 11357
15246
16P x x x x x x x x x =,即为(1,3,5,7,9,
2,4,6,8,
,16),
21591337111526
16P x x x x x x x x x x x =,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,
,16), x 7位于P 2中的
第6个位置,;
(2)方法同(1),归纳推理知x 173位于P 4中的第4
32
11n -⨯+个位置.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 19.考点分析:本题考查排列、组合的应用.
解析:(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有90109=⨯种. 答案:90
(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能
为0有9种情况,后面n 项每项有10种情况,所以个数为n
109⨯.
法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因此
,则答案为n
109⨯.
20.解析:21n -.设公差为d (0d >),则有()2
1214
d d +=+-,解得2d =,所以
21n a n =-.
21. 【答案】3018
【
解
析
】
由
cos
12
n n a n π=+,可得
2012(1021304120121)2012S =⨯-⨯+⨯+⨯+
+⨯+
(24620102012)2012250320123018=-+-+
-++=⨯+=
【考点定位】本题主要考察数列的项、前n 项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和. 22. 【答案】1,
1
(1)4
n n + 【
解
析
】
23
S a =,所
以
11121
1212a a d a d d a a d ++=+⇒=
⇒=+=,1(1)4
n S n n =+. 【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前n 项和公式的计
算. 三、解答题 23. 【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前n 项和公式、
数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力.
(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,由112a b ==,得
3
44423,2,86a d b q S d =+==+,由条件得方程组3
3
232273286210d q d q d q ⎧++==⎧⎪⎪⇒⎨⎨
=⎪
⎪+-=⎩⎩,故*31,2()n n n a n b n N =-=∈
（
2
）
12
11223112112222()2
2
n n n n
n n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=+++
+=+++=+
++
11121313235
2222
n n n n n n n a n n n c c +-----++==-=- 12231112[()()()]2()n n n n n n T c c c c c c c c ++=-+-++-=-
1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-
方法二：数学归纳法
（1）当1n =时，11111121216,21016T a b a b +=+=-+=，故等式成立。

【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原则. 24. 【解析】(1)由正弦定理得
:
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+
sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒
⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=
(2)1
sin 42
S bc A bc =
=⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=
解得:2b c ==
25. (1)证明:由2211S a S a =+,得12121a a a a a +=+,即221a a a =.
因20a ≠,故11a =,得
2
21
a a a =, 又由题设条件知2211n n S a S a ++=+,121n n S a S a +=+ 两式相减得()2121n n n n S S a S S +++-=-,即221n n a a a ++=, 由20a ≠,知10n a +≠,因此
2
21
n n a a a ++= 综上,
2
21
n n a a a ++=对所有*n N ∈成立,从而{}n a 是首项为1,公比为2a 的等比数列.
(2)当1n =或2时,显然1()2
n n n
S a a =
+,等号成立. 设3n ≥,21a >-且20a ≠,由(1)知,11a =,12n n a a -=,所以要证的不等式化为:
()()21122221132
n n n
a a a a n --++++≤
+≥ 即证:()()2
22221
1122
n n n a a a a n ++++
+≤+≥ 当21a =时,上面不等式的等号成立.
当211a -<<时,21r a -与21n r a --,(1,2,3,,1r n =-)同为负; 当21a >时, 21r a -与21n r a --,(1,2,3,
,1r n =-)同为正;
因此当21a >-且21a ≠时,总有 (21r a -)(21n r a --)>0,即
2221r n r n a a a -+<+,(1,2,3,
,1r n =-).
上面不等式对r 从1到1n -求和得,()2
22222()(1)1n r n a a a n a -++
+<-+
由此得()2
22221
112
n n n a a a a ++++
+<
+ 综上,当21a >-且20a ≠时,有1()2
n n n
S a a ≤+,当且仅当1,2n =或21a =时等号成
立.
26. [解析](1)由已知得,交点A 的坐标为⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛0,2a n
,对x
y y a x n 221'
2-=+-=求导得
则
抛
物线在点
A
处的
切线方
程
为
a a a a a n
n
n
n
n
n f x y x y =+-=-
-=)(.2),2
(2则即
(2)由(1)知f(n)=a
n
,则121
1)(1)(333+≥+≥+-n n n n f n f a n 成立的充要条件是 即知,
123+≥n a
n
对于所有的n 成立,特别地,取n=2时,得到a≥17
当时3,17==n a ,
⋯+∙+∙+∙+==>+33)31(43
3
2
2
1
31C C C a
n n n n
n
n
333
3
2
2
1
31∙+∙+∙+≥C C C n n n
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡
-+++=-)52(52121)2(23
n n n n
>2n 3
+1
当n=0,1,2时,显然
123
)
17(+≥n n
故当a=17时,1
1
)(1
)(3
3
+≥
+-n n n f n f 对所有自然数都成立 所以满足条件的a 的最小值是17.
(3)由(1)知a
n
k f =
)(,则
∑
∑==-=-n
k n
k k
k a a k f k f 1
121)2()(1,a
a f f n f f a n
--=--1)1()0()()1( 下面证明:
.)
1()0()()1(427)2()(1
1
f f n f f k f k f n
k --∙>
-∑= 首先证明:当0<x<1时,
x x x
4
2713
≥
- 设函数10,1)(427)(2
<<+-=
x x x x g x )32
(481)('-=x x x g 则
当0)('13
2
;0x '320><<<<<x g x g x 时，当）（时， 故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min =g 0)3
2
(=
所以,当0<x<1时,g(x)≥0,即得
x x x
42712
≥- 由0<a<1知0<a k
<1(N
k *
∈
),因此
a a
a
k
k
k
4
271
2≥
-,从而 ∑∑
==-=-n
k k
k
n
k a a k f k f 121
1
)2()(1
)
1()0()()1(427142714274271
1f f n f f a
a a a a a a n
n n k k --∙
=--∙
>
--∙=≥+=∑
[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.
27. [解析]取n=1,得,2a 211212a a s s a +=+= ①
取n=2,得,22212
2a a a += ② 又②-①,得 2122)(a a a a =- ③ (1)若a 2=0, 由①知a 1=0,
(2)若a 21012=-≠a a ，易知, ④ 由①④得:;22,1221+=+=
a a ;22,2121-=-=a a
(2)当a 1>0时,由(I)知,;22,1221+=+=
a a
当n n s s a n +=+≥2222）时，有（ , (2+2)a n-1=S 2+S n-1 所以,a n =)2(21≥-n a n
所以111)2()12()2(--⋅+==n n n a a 令1112
100
lg 21)2lg(1,10lg
--=-==n n n n n b a a b 则 所以,数列{b n }是以2lg 2
1
-为公差,且单调递减的等差数列. 则 b 1>b 2>b 3>>b 7=01lg 8
10
lg
=> 当n≥8时,b n ≤b 8=128100lg
2101lg 2
1
=< 所以,n=7时,T n 取得最大值,且T n 的最大值为
T 7=
2lg 2
21
72771-=+）（b b [点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比
数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 28. [解](1)选取)2,(1x a =,Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -
所以x =2b ,从而x =4
(2)证明:取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a . 由0)(1=+x t s 得0=+t s ,所以s 、t 异号.
因为-1是X 中唯一的负数,所以s 、t 中之一为-1,另一为1, 故1∈X
假设1=k x ,其中n k <<1,则n x x <<<101.
选取Y x x a n ∈=),(11,并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ,即01=+n tx sx , 则s 、t 异号,从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1,则11x t tx x n ≥>=,矛盾; 若t =-1,则n n x s sx x ≤<=1,矛盾. 所以x 1=1
(3)[解法一]猜测1-=i i q x ,i =1, 2, , n 记},,,1,1{2k k x x A -=,k =2, 3, , n . 先证明:若1+k A 具有性质P,则k A 也具有性质P.
任取),(1t s a =,s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时,显然有2a 满足021=⋅a a ; 当1-≠s 且1-≠t 时,s 、t ≥1.
因为1+k A 具有性质P,所以有),(112t s a =,1s 、1t ∈1+k A ,使得021=⋅a a , 从而1s 和1t 中有一个是-1,不妨设1s =-1.
假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ,则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ,得11++≥=k k x tx s ,与
s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P
现用数学归纳法证明:1-=i i q x ,i =1, 2, , n .
当n =2时,结论显然成立;
假设n=k 时,},,,1,1{2k k x x A -=有性质P,则1-=i i q x ,i =1, 2, , k ; 当n=k +1时,若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P,则},,,1,1{2k k x x A -= 也有性质P,所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .
取),(11q x a k +=,并设),(2t s a =满足021=⋅a a ,即01=++qt s x k .由此可得s 与t 中有且只有一个为-1.
若1-=t ,则1≥s ,所以q x s
q k ≤=
+1,这不可能;
所以1-=s ,k k k q q q qt x =⋅≤=-+11,又11-+>k k q x ,所以k k q x =+1. 综上所述,1-=i i q x 1-=i i q x ,i =1, 2, , n
[解法二]设),(111t s a =,),(222t s a =,则021=⋅a a 等价于
2
2
1
1s
t t s -=.
记|}|||,,|{t s X t X s B t s >∈∈=,则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称
注意到-1是X 中的唯一负数,},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数, 所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于
1
2
2
1
x x x x x x x x n n n n n n <
<
<<
-- ,已有n -1个数,对以下三角数阵
1
2
2
1
x x x x x x x x n n n n n n <
<
<<
--
1
13
12
1x x x x x x n n n n n -----<
<<
1
2x x
注意到
1
21
11
x x x x x x n n >
>>
- ,所以
1
22
11
x x x x x x n n n n =
==
--- ,从而数列的通项公式为
11
1)(1
2--==k k x x k q x x ,k =1, 2, , n 29.解:(1)
113,2n n n n a a b b n ++-=∴-=+,1231,4,8b b b =∴==
(2)由3112727
n n n n n a a n b b n ++-=-⇒-=-,
由104n n b b n +->⇒≥,即456b b b <<<;由104n n b b n +-<⇒<,即
1234b b b b >>>
4k ∴=.
(3)
由
1111(1)(1)(2)
n n n n n n n a a b b n ++++-=-⇒-=-+,故
1*1(1)(21)(2,)n n n n b b n n n N ---=-+-≥∈,
12121213212121,(1)(22),,(1)(22),(1)(21)
n n n n n n n n b b b b b b n b b n ------∴-=+-=-+-=-+--=-+-
当*2()n k k N =∈时,以上各式相加得
12
2
1
122(2)(222
2)[12(2)(1)]1(2)2
n n n n n
b b n n ------=-+
-++-+
--+-=+
--2232
n n +=+
2225
132323
n n n n n b +∴=++==++
当*
21()n k k N =-∈时,
11
1221213(1)
(2)1(2)32326
n n n n
n
n n n n b b n n +++++=--+=++-+=--+
213
,32625
,323
n n n n b n ⎧--+⎪⎪∴=⎨⎪++⎪⎩(21)(2)n k n k =-=,*()k N ∈
30.解析:(1)设数列{}n a 的公比为q (0,1q q ≠≠)
由534,,a a a 成等差数列,得3542a a a =+,即243
1112a q a q a q =+ 由10,0a q ≠≠得2
20q q +-=,解得122,1q q =-=(舍去)
∴2q =-
(2)证法一:对任意k N +∈
21212()()k k k k k k k S S S S S S S +++++-=-+-
121k k k a a a +++=++ 112(2)0k k a a ++=+⋅-=
所以,对任意k N +∈,21,
,k k k S S S ++成等差数列
证法二 对任意k N +∈,12(1)
21k k a q S q
-=-
212111121(1)(1)(2)
111k k k k k k a q a q a q q S S q q q ++++++----+=+=
--- 2111212(1)(2)
2()11k k k k k k a q a q q S S S q q
++++----+=-
-- 211
[2(1)(2)1k k k a q q q q
++=
----- 21(2)01k a q q q q
=+-=- 因此,对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.
31.解析:(Ⅰ)由
a 3+a 4+a 5=84,a 5=73
可得,28,84344==a a 而
a 9=73,则9,45549==-=d a a d ,
1
2728341=-=-=d a a ,
于
是
899)1(1-=⨯-+=n n a n ,即89-=n a n .
(Ⅱ)对任意m∈N﹡,m
m n 29899<-<,则89
9892+<<+m
m n ,
即9
8
9989
121
+<<+
--m m n ,而*N n ∈,由题意可知11299---=m m m b , 于是)999(999110123121--+++-+++=+++=m m m m b b b S
8980198019109819809991919199121212212m
m m m m m m m -+=+⋅-=---=-----=++++,
即8
9801912m
m m S -+=+. 32. 【解析】
解: (1)当n k N *
=∈时,212n S n kn =-
+取最大值,即22211
822
k k k =-+=,故
4k =,从而19(2)2n n n a S S n n -=-=
-≥,又1172a S ==,所以9
2
n a n =- (2) 因为19222n n n n a n b --==,1222
123112222
n n n n n n
T b b b ---=+++=+++++ 所以212111112
22144222222n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++++-=--=-
【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用11
(1),
n n n S n a S S -=⎧=⎨
-⎩来实现n a 与n S 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注
意1n n n a S S -=-不能用来求解首项1a ,首项1a 一般通过11a S =来求解.运用错位相减法求数列的前n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列.
33. 【答案】解:(1)当=4n 时,符合条件的集合A 为:{}{}{}{}21,42,31,3,4，，，,
∴ (4)f =4.
( 2 )任取偶数n x P ∈,将x 除以2 ,若商仍为偶数.再除以2 ,··· 经过k 次以后.商必为奇数.此时记商为m .于是=2k x m ,其中m 为奇数*k N ∈.
由条件知.若m A ∈则x A k ∈⇔为偶数;若m A ∉,则x A k ∈⇔为奇数. 于是x 是否属于A ,由m 是否属于A 确定.
设n Q 是n P 中所有奇数的集合.因此()f n 等于n Q 的子集个数. 当n 为偶数〔 或奇数)时,n P 中奇数的个数是
2n (12
n +). ∴()()2
122()=2n
n n
f n n +⎧⎪⎨
⎪⎩
为偶数为奇数
. 【考点】集合的概念和运算,计数原理.
【解析】(1)找出=4n 时,符合条件的集合个数即可. (2)由题设,根据计数原理进行求解.
34. 【答案】解:(1)∵n n n a b b +
=+11
,∴1n a
+=∴
11
n n b a ++=()2
22
2111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
∴数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列.
(2)∵00
n n a >b >，,∴()()2
2
222
n
n n n n n a b a b <a b +≤++.
∴11n <a +=
﹡)
设等比数列{}n a 的公比为q ,由0n a >知0q >,下面用反证法证明=1q 若1,q >
则212=
a a <a q ≤
1
log q n >时
,11n n a a q +=与(﹡)矛盾. 若01,<q <则212=
1a a >a >q ,∴当1
1
log q n >a 时,111n n a a q <+=,与(﹡)矛盾. ∴综上所述,=1q .∴()1*n a a n N =∈
,∴11<a
又∵11n n n n b b b a a +=∙()*n N ∈,∴{}n b
是公比是
1
a 的等比数列.
若1a ≠,
1
1,于是123b <b <b . 又由2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+
即1a =
得11
n b a -.
∴123b b b ，，中至少有两项相同,与123b <b <b
矛盾.∴1a ∴
1
n b -∴ 12=a b 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法. 【解析】(1)根据题设2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+和n n n a b b +=+11
,求出11n n b
a ++=从
而证明2
2
111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
而得证.
(2)
根据基本不等式得到11n <a +=用反证法证明等比数列{}n a 的公
比=1q .
从而得到()1*n a a n N =∈的结论,
再由11=n n n n b b b a a +=∙知{}n b
是公比是
1
a 的等比数列.
最后用反证法求出12=a b 35. 【解析】
解(1)对任意N n *
∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列,所以
()()()(),B n A n C n B n -=-
即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=
故数列{}n a 是首项为1,公差为4的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=- (Ⅱ)(1)必要性:若数列{}n a 是公比为q 的等比数列,则对任意N n *
∈,有
1.n nq a a -=由0n a >知,(),(),()A n B n C n 均大于0,于是 12)
2311212(......(),()......n n n n q a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ 231)
342231231
(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ 即
()()
B n A n =()
()C n B n =q ,所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. (2)充分性:若对于任意N n *
∈,三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列, 则
()(),()()B n qA n C n qB n ==,
于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即
2121.n n a qa a a ++-=-
由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =,从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >,所以
22
11
n n a a q a a ++==,故数列{}n a 是首项为1a ,公比为q 的等比数列,
综上所述,数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数
(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.
36.考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n 项和公式及基本运算.
解析:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则21a a d =+,312a a d =+,
由题意得1111
333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,
3.a d =-⎧⎨=⎩
所以由等差数列通项公式可得
23(1)35n a n n =--=-+,或43(1)37n a n n =-+-=-.
故35n a n =-+,或37n a n =-. (Ⅱ)当35n a n =-+时,2a ,3a ,1a 分别为1-,4-,2,不成等比数列; 当37n a n =-时,2a ,3a ,1a 分别为1-,2,4-,成等比数列,满足条件.
故37,1,2,
|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩
记数列{||}n a 的前n 项和为n S .
当1n =时,11||4S a ==;当2n =时,212||||5S a a =+=; 当3n ≥时, 234||||||n n S S a a a =+++
+5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-+
+-
2(2)[2(37)]311
510222
n n n n -+-=+
=-+. 当2n =时,满足此式.
综上,24,1,31110, 1.22
n n S n n n =⎧⎪
=⎨-+>⎪⎩
37.解析:(Ⅰ)由()()12123213
232725a a a a a a a a ⎧=-⎪
+=-⎨⎪
+=+⎩,解得11a =.
(Ⅱ)由11221n n n S a ++=-+可得1221n
n n S a -=-+(2n ≥),两式相减,可得
122n n n n a a a +=--,即132n n n a a +=+,即()
11232n n
n n a a +++=+,所以数列
{}2n n
a
+(2n ≥)是一个以24a +为首项,3为公比的等比数列.由1223a a =-可
得,25a =,所以2293n n n a -+=⨯,即32n n n a =-(2n ≥),当1n =时,11a =,也满足该式子,所以数列{}n a 的通项公式是32n n n a =-.
(Ⅲ)因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=,所以1
323n n n --≥,所以
111
3
n n a -≤,于是112
111111131331113
323213
n
n
n n a a a -⎛⎫
- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++
≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.
点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题12
11
131123n
n a a a ⎡⎤
⎛⎫++
+≤-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
,该加强命题的思考过程如下.
考虑构造一个公比为q 的等比数列{}n b ,其前n 项和为()111n n b q T q
-=
-,希望能得到
()112
11113
12n
n b q a a a q -+++≤<-,考虑到()11111n b q b q q
-<--,所以令1312b q =-即可.由
n a 的通项公式的形式可大胆尝试令13q =,则11b =,于是11
3
n n b -=,此时只需证明111
3
n n n b a -≤=就可以了. 当然,q 的选取并不唯一,也可令12q =,此时134b =,132n n b +=,与选取1
3
q =不同的地方
在于,当1n =时,
1n n
b a >,当2n ≥时,1
n n b a <,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,
应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法. 当
1n =时,
113
12
a =<;当2n =时,
121113
152
a a +=+<;当3
n =时,
123111113
15192
a a a ++=++<. 当4n ≥时,
1
n n
b a <,所以
3
12
311322111111133111
519
519162
12
n n a a a -⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦+++
<+++<+++<-.
综上所述,命题获证. 下面再给出
12
1113
2
n a a a +++
<的两个证法. 法1:(数学归纳法) ①当1n =时,左边111a =
=,右边3
2
=,命题成立. ②假设当n k =(2k ≥,k ∈N )时成立,即1
13
322k
i i
i =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立,我们首先证明不等式:
11111
32332
i i i i
++<⋅--(1i ≥,i ∈N ). 要证1111132332
i i i i
++<⋅--,只需证1111132332i i i i +++<--⋅,只需证11132332i i i i
+++->-⋅,只需证1232i i +->-⋅,只需证23->-,该式子明显成立,所以11111
32332i i i i
++<⋅
--. 于是当1n k =+时,11
121
11111133
11323232332322k k k i i i i i i
i i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑,所以命题在1n k =+时也成立.
综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数n ,有
12
11
132
n a a a +++
<. 备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.
法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当1n =时,
11312a =<显然成立.当2n =时,121113
152
a a +=+<显然成立. 当3n ≥时,()32122n
n n n n a =-=+-12
21
1122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅+
+⋅+-
()122112
21222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅+
+⋅>⋅=-,又因为()252221a =>⨯⨯-,
所以()21n a n n >-(2n ≥),所以
()111112121n a n n n n ⎛⎫
<=- ⎪--⎝⎭
(2n ≥),所以 123
111
111111111311112234
122
n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++
<+-+-++
-=+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 综上所述,命题获证.
38. 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用.先
从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项.
解:(1)为2(4)4835f =--=,故点(4,5)P 在函数()f x 的图像上,故由所给出的两点
(4,5),(,())n n n P Q x f x ,可知,直线n PQ 斜率一定存在.故有
直线n PQ 的直线方程为()5
5(4)4
n n f x y x x --=
--,令0y =,可求得
228435
5(4)4422
n n n
n n n x x x x x x x x x --+--=-⇔=-⇔=-++ 所以143
2
n n n x x x ++=
+
下面用数学归纳法证明23n x ≤< 当1n =时,12x =,满足123x ≤<
假设n k =时,23k x ≤<成立,则当1n k =+时,1435
422
k k k k x x x x ++=
=-
++, 由
551152342512432442
k k k k x x x x ≤<⇔≤+<⇔<
≤⇔<≤-<++即
123k x +≤<也成立
综上可知23n x ≤<对任意正整数恒成立. 下面证明1n n x x +<
由22143432(1)4
222
n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +++----+-=-==
+++ 由2
231120(1)43n n n x x x ≤<⇒≤-<⇒<--+≤,故有10n n x x +->即1n n x x +< 综上可知123n n x x +≤<<恒成立. (2)由1432
n n n x x x ++=
+得到该数列的一个特征方程432x x x +=+即2
230x x --=,解得
3x =或1x =-。