2024届高考数学立体几何专项练——(4)直线、平面平行的判定与性质

2024届高考数学立体几何专项练
——（4）直线、平面平行的判定与性质
1.已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“//m n ”是“//m α”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件2.如图所示是正方体的平面展开图.关于这个正方体，有以下说法：
①ED 与NF 所成的角为60︒；
②//CN 平面AFB ；
③//BM DE ；
④平面//BDE 平面NCF .
其中正确说法的序号是().
A.①③
B.②③
C.①②④
D.②③④3.设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是（
）A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行C．,αβ平行于同一条直线D．,αβ垂直于同一平面
4.若直线//a 平面α，直线b α⊂，则直线a 与b 的位置关系是(
)A.相交 B.异面 C.异面或平行 D.平行
5.如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P ，R ，Q 三点所在平面平行的是() A. B.
C. D.
6.在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AC ，11B C 的中点，E ，F 分别为BC ，1B B 的中点，则直线MN 与直线EF ，平面11ABB A 的位置关系分别为(
)A.平行、平行 B.异面、平行 C.平行、相交 D.异面、相交
7.已知直线l ，m 是两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是()
A.//l β，//l ααβ
⊂⇒B.//l β，//m β，l α⊂，//m ααβ
⊂⇒C.//l m ，l α⊂，//m βαβ
⊂⇒D.//l β，//m β，l α⊂，m α⊂，//l m M αβ
=⇒ 8.已知平面//α平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且6PA =，9AC =，8PD =，则BD 的长为(
)A.24
5 B.12
5 C.245或24 D.125
或129.在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且::1:4AE EB AF FD ==，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则()
A.//BD 平面EFG ，且四边形EFGH 是矩形
B.//EF 平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形
C.//HG 平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形
D.//EH 平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形
10.（多选）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是平面1AB ，平面11A C 的中心，则下列结论中正确的是().
A.1
//EF BC B.//EF 平面1ACD C.1//A F 平面1ACD D.平面//BEF 平面1
ACD 11.（多选）如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为O ，M 为PB 的中点，给出以下结论，其中正确的是()
A.//OM PD
B.//OM 平面PCD
C.//OM 平面PDA
D.//OM 平面PBA
12.（多选）下列说法正确的是()A.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C.一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D.一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行
13.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论中正确的是__________.(只填序号)①11//AD BC ；
②平面11//AB D 平面1BDC ；
③11//AD DC ；
④1//AD 平面1BDC .
14.直线a 和b 在正方体1111ABCD A B C D -的两个不同平面内，使//a b 成立的条件是_______.(只填序号即可)
①a 和b 垂直于正方体的同一个面；
②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；
③a 和b 平行于同一条棱；
④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.
15.若在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上的一点，当点E 满足条件________时，//SC 平面EBD .
16.如图，四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点.
求证：
(1)//BE 平面DMF .
(2)平面//BDE 平面MNG .
17.在如图所示的几何体中,底面ABCD 是正方形,四边形ADPM 是直角梯形,MA AD ⊥,且四边形ADPM ⊥底面,,, ABCD E G F 分别为,,MB PB PC 的中点,2,2AD PD PD AM ===.
(I)求证:平面//EFG 平面ADPM ;
(Ⅱ)求多面体PMABCD 的体积.
18.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,,ABCD AB AD AB DC E F ⊥分别为PC ，DC 的中点，222PA DC AB AD ====.
(1)证明：平面//PAD 平面EBF .
(2)求三棱锥P BED -的体积.
19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB △，FBC △，GCD △，HDA △均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直.
（1）证明：//EF 平面ABCD ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.
答案以及解析
1.答案：A
解析：m α⊄，n α⊂，所以当//m n 时，//m α成立，即充分性成立；当//m α时，//m n 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以//m n 是//m α的充分不必要条件，故选：A.
2.答案：C
解析：如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD EFMN -.ED 与NF 所成的角为60︒，故①正确；
//CN BE ，CN ⊂/平面AFB ，BE ⊂平面AFB ，所以//CN 平面AFB ，故②正确；BM 与ED 是异面直线，故③不正确；
因为//BD FN ，//BE CN ，BD BE B = ，FN CN N = ，所以平面//BDE 平面NCF ，故④正确.
3.答案：B
解析：由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B．
4.答案：C
解析：由直线//a 平面α，直线b α⊂，可得直线a ，b 一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行.故选C.
5.答案：D
解析：如图，由题意可知经过P ，Q ，R 三点所在的平面为平面PQEFRG ，则点N 在经过P ，Q ，R 三点所在的平面内，所以B，C 错误.因为Q ，E 分别为BC ，1CC 的中点，所以1//QE BC .又111MC BC C = ，所以1MC 与QE 是相交直线，所以A 错误.故选D.
6.答案：B
解析： 在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AC ，11B C 的中点，E ，F 分别为BC ，1B B 的中点，EF ⊂平面11BCC B ，MN 平面11BCC B N =，N EF ∉，∴直线MN 与直线EF 是异面直线.如图，取11A C 的中点P ，连接PM ，PN ，则11//PN A B ，1//PM A A .1A A ，11A B ⊂平面11ABB A ，1111A A A B A = ，PM ，PN ⊂平面PMN ，PM PN P = ，∴平面//PMN 平面11ABB A .MN ⊂ 平面PMN ，∴直线MN 与平面11ABB A 平行.故选B.
7.答案：D
解析：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，直线//AB 平面1DC ，直线AB ⊂平面AC ，但是平面AC 与平面1DC 不平行，所以选项A 错误.取1BB 的中点E ，1CC 的中点F ，连接EF ，则//EF 平面AC ，11//B C 平面AC .EF ⊂平面1BC ，11B C ⊂平面1BC ，但是平面AC 与平面1BC 不平行，所以选项B 错误.直线11//AD B C ，AD ⊂平面AC ，11B C ⊂平面1BC ，但平面AC 与平面1BC 不平行，所以选项C 错误.选项D 是两个平面平行的判定定理，所以选项D 正确.
8.答案：C
解析：连接AB ，CD .
（1）当点P 在CA 的延长线上，即点P 在平面α与平面β的同侧时，如图（1）.//αβ ，平面PCD AB α= ，平面PCD CD β= ，
//AB CD ∴，PAB PCD ∴ △△，PA PB AC BD
∴=.6PA = ，9AC =，8PD =，689BD BD -∴=，解得245
BD =.（2）当点P 在线段CA 上，即点P 在平面α与平面β之间时，如图（2）.类似（1）的方法.可得PA PB PC PD
=.6PA = ，963PC AC PA =-=-=，8PD =，
638
PB ∴=，解得16PB =，24BD PB PD ∴=+=.综上，BD 的长为245
或24.
9.答案：B
解析：如图所示，在平面ABD 内，::1:4AE EB AF FD == ，//EF BD ∴.又BD ⊂平面
BCD ，EF ⊂
/平面BCD ，//EF ∴平面BCD .又在平面BCD 内，H ，G 分别是BC ，CD 的中点，//HG BD ∴.//HG EF ∴.又15EF AE BD AB ==，12
HG CH BD BC ==，EF HG ∴≠.在四边形EFGH 中，//EF HG 且EF HG ≠，∴四边形EFGH 为梯形.故选B.
10.答案：ABCD
解析：因为11////EF BC AD ，所以A，B 正确；因为1//A F AC ，所以C 正确；因为1//BE CD ，所以D 正确.
11.答案：ABC
解析：由题意知，OM 是BPD △的中位线，//OM PD ∴，故A 正确；PD ⊂平面PCD ，OM ⊄平面PCD ，//OM ∴平面PCD ，故B 正确；同理，可得//OM 平面PDA ，故C 正确；OM 与平面PBA 相交，故D 不正确.故选ABC.
12.答案：CD
解析：由两平面平行的判定定理知CD 正确.
13.答案：①②④
解析：连接1AD ，1BC ，因为11//AB C D 且11AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，故11//AD BC ，从而①正确.
易证11//BD B D ，11//AB DC ，又1111B D AB B = ，1BD DC D = ，所以平面11//AB D 平面1BDC ，从而②正确.
易知1AD 与1DC 异面，故③错误.
因为11//AD BC ，1AD ⊂/平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ，故④正确.
14.答案：①②③
解析：①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用.
15.答案：SE EA
=解析：当E 为SA 的中点时，连接AC ，
设AC 与BD 的交点为O ，连接EO .
因为四边形ABCD 是平行四边形，所以点O 是AC 的中点.又E 是SA 的中点，所以OE 是SAC △的中位线.所以//OE SC .
因为SC ⊂
/平面EBD ，OE ⊂平面EBD ，所以//SC 平面EBD .16.答案：(1)见解析.
(2)见解析.
解析：(1)如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，
连接MO ，则MO 为ABE △的中位线，
所以//BE MO ，又BE ⊂
/平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以//BE 平面DMF .
(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以//DE GN ，
又DE ⊂
/平面,MNG GN ⊂平面MNG ，所以//DE 平面MNG .又M 为AB 中点，所以MN 为ABD △的中位线，所以//BD MN ，
又BD ⊂
/平面,MNG MN ⊂平面MNG ，所以//BD 平面MNG ，又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以平面//BDE 平面MNG .
17.答案：(I)见解析(Ⅱ)10
3
解析：(I)证明:,,E G F Q 分别为,, MB PB PC 的中点,
,////EG PM GF BC ∴.
又∵四边形ABCD 是正方形,//BC AD ∴,//GF AD ∴.
,EG GF ⊄Q 平面,,ADPM PM AD ⊂平面ADPM ,
//EG ∴平面,//ADPM GF 平面ADPM .
又,,EG GF G EG GF =⊂Q I 平面EFG ,
∴平面//EFG 平面ADPM .
(Ⅱ)∵四边形ADPM 是直角梯形,,2,2MA AD AD PD PD AM ⊥===,DP AD ∴⊥.又∵四边形ADPM ⊥底面ABCD ,
平面ADPM I 平面,ABCD AD PD =⊂平面ADPM ,
PD ∴⊥平面ABCD ,PD ∴是四棱锥P ABCD -的高,
118222=333
ABCD P ABCD V S PD -=⨯⨯=⨯⨯⨯正方形四棱锥.∵四边形ABCD 是正方形,AB AD ∴⊥.
PD ⊥Q 平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ,PD AB ∴⊥.
又,,AD PD D AD PD =⊂Q I 平面ADPM .
AB ∴⊥平面ADPM ,即AB 是三棱锥B PMA -的高,
11121223323
AMP P ABM B AMP V V S AB --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=V 三棱锥三棱锥,∴多面体PMABCD 的体积 8210333
P ABCD P ABM V V V --=+=+=
四棱锥三棱锥.18.答案：(1)见解析(2)1
3P BED V -=解析：(1)由已知F 为CD 的中点，且2CD AB =，所以DF AB =，
因为//AB CD ，所以//AB DF ，
又因为AB DF =，所以四边形ABFD 为平行四边形，所以//BF AD ，
又因为BF ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，
所以//BF 平面PAD ，
在PDC △中，因为E ，F 分别为PC ，CD 的中点，所以//EF PD ，
因为BF ⊂
/平面,PAD PD ⊂平面PAD，所以//EF 平面PAD ，因为EF BF F ⋂=，所以平面//PAD 平面EBF .
(2)由已知E 为PC 中点，2P BDC E BDC V V --=，
又因为P BDE P BDC E BDC V V V ---=-，
所以12
P BDE P BDC V V --=，因为11212BDC S =⨯⨯=△，1233P BDC BDC V S AP -=⋅=△，
所以三棱锥P BED -的体积13P BED V -=.
19.答案：（1）见解析（2）6403
3解析：（1）如图，分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接EM ，FN ，MN ，
EAB △与FBC △均为正三角形，且边长均为8，
EM AB ∴⊥，FN BC ⊥，且EM FN =.
又平面EAB 与平面FBC 均垂直于平面ABCD ，平面EAB 平面ABCD AB =，平面FBC 平面ABCD BC =，EM ⊂平面EAB ，FN ⊂平面FBC ，
EM ∴⊥平面ABCD ，FN ⊥平面ABCD ，
//EM FN ∴，∴四边形EMNF 为平行四边形，//EF MN ∴.
又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊂
/平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD .（2）如图，分别取AD ，DC 的中点P ，Q ，连接PM ，PH ，PQ ，QN ，QG ，AC ，BD .
由（1）知EM ⊥平面ABCD ，
FN ⊥平面ABCD ，同理可证得，GQ ⊥平面ABCD ，HP ⊥平面ABCD ，易得
43EM FN GQ HP ====，//////EM FN GQ HP .
易得AC BD ⊥，//MN AC ，//PM BD ，所以PM MN ⊥，又1422
PM QN MN PQ BD =====，所以四边形PMNQ 是正方形，所以四棱柱PMNQ HEFG -为正四棱柱，所以2(42)431283PMNQ HEFG V -=⨯=四棱柱.因为AC BD ⊥，//BD PM ，所以AC PM ⊥.
因为EM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以EM AC ⊥.又,EM PM ⊂平面PMEH ，且EM PM M = ，所以AC ⊥平面PMEH ，则点A 到平面PMEH 的距离1224d AC ==，所以1
1643424322333
A PMEH PMEH V S d -=⨯=⨯⨯⨯=四棱锥四边形，所以该包装盒的容积()36436403412834cm 33PMNQ HEFG A PMEH V V V --=+=+⨯=四棱锥四棱锥.。