浙江省温岭中学2013届高三数学模拟考试试题 文 新人教A版

温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（文）试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式
S =4πR 2
V =Sh 球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =3
4
πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =3
1
h (S 1+21S S +S 2)
锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =3
1Sh h 表示台体的高 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 如果事件A ，B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B )
选择题部分（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设=U R ，}1|{>=x x P ，}0)2(|{<-=x x x Q ，则=)(Q P C U
A ．1|{≤x x 或}2≥x
B ．}1|{≤x x
C ．}2|{≥x x
D ．}0|{≤x x 2．函数)2
sin(sin )(π
+
=x x x f 的最小正周期为
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．
2
π
3．双曲线322=-y x 的两条渐近线与直线1=x 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-1000x y x y x
B ．⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤≤+≥-1000x y x y x
C ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-1000x y x y x
D ．⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+≤-1000x y x y x
4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
A ．-1
B ．3
C ．31
D ．-5
5．下列命题错误的是 A ．若0≥a ，0≥b ，则ab b
a ≥+2
B ．若
ab b
a ≥+2
，则0≥a ，0≥b C ．若0>a ，0>b ，且ab b
a >+2
，则b a ≠ D ．若
ab b
a >+2
，且b a ≠，则0>a ，0>b 6．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是 A ．
16 B ．512
C ．
712 D ．1
3
7．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则“01>a ”是“02013>S ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．正方形ABCD 沿对角线BD 将ABD ∆折起，使A 点至P 点，连PC ．已知二面角C BD P --的大小为θ，则下列结论错误的是 A ．若 90=θ，则直线PB 与平面BCD 所成角大小为 45 B ．若直线PB 与平面BCD 所成角大小为 45，则 90=θ
C ．若 60=θ，则直线B
D 与PC 所成角大小为 90 D ．若直线BD 与PC 所成角大小为 90，则 60=θ 9．如图，已知点P 是双曲线C ：
)0,0(12
2
2
2
>>=-
b a b
y a x 右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是
A ．5
B ．2
C ．3
D ．2 10．已知函数)2
2sin(
)(π
π
-
=x A x f ，)3()(-=x k x g ．
已知当1=A 所有零点和为9．则当2=A 时，函数)()()(x g x f x h -=所有零点和为
A ．15
B ．12
C ．9
D ．与k 的取值有关
非选择题部分（共100分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．已知∈m R ，复数
i
i
m +-1为纯虚数（i 为虚数单位）， 则=m ．
12．某几何体的三视图及相应尺寸（单位：cm ）如图所示，则
该几何体的体积为___________． 13．)(x f 为奇函数，当0<x 时，)1(log )(2x x f -=，
则=)3(f ．
14．P 为抛物线C ：x y 42=上一点，若P 点到抛物线C 准线的距离与到顶点距离相等，则P
点到x 轴的距离为_____________．
x
y
O
M N
P 1
F 2
F
15．已知,均为单位向量，且它们的夹角为 60，当||λ-(∈λR )的最小值时，
=λ ．
16．已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<-≥+=1,21,1)(2x x x x x x x f ，若)()1(2ax f ax f >+对任意∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
17．平面直角坐标系中，过原点斜率为k 的直线与曲线=y e 1-x 交于不同的A ，B 两点．分别
过点A ，B 作y 轴的平行线，与曲线x y ln =交于点C ，D ，则直线CD 的斜率为_____． 三、解答题 (本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分14分)
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3
π
=B 。

(Ⅰ) 若ac b =2
，求角A 、B 、C 的大小；
(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围。

19 .(本题满分14分）
已知二次函数c bx x x f ++=2
)(，满足)1()1(x f x f +=-, 且2)0(=f .
（Ⅰ）求)(x f 的解析式;
（Ⅱ）设数列{n a }的前n 项和为n S ，点),(n S n 在函数y f x 的图象上，求{n a }的通项
公式；
（Ⅲ）设数列n n
n a b 2
=
，求数列{n b }的前n 项和n T 。

. 20.(本题满分14分)
如图：四棱锥P-ABCD 的底面是平行四边形，0
60=∠DAB ，平面PAB ⊥ABD ，AP=AB=2AD=4，PD=52，E 为AD 的中点，F 为PB 的中点。

(Ⅰ) 求证：EF ‖平面PCD ；
(Ⅱ) 求BC 与平面PBD 所成的角的正弦值。

21.(本题满分15分)
已知函数1)(3
+-=mx x x f ]1,0[∈x ，它的一个极值点是3
3=
x （Ⅰ）求m 的值及()f x 在]1,0[∈x 的值域； （Ⅱ）设函数],1,0[)1ln()(∈-+=x x x x g 求证： 函数)(x g y =与)(x f y =的图
象在]1,0(∈x 上无公共点。

22. (本题满分15分）
已知抛物线2
6y x =上的两个动点A 和B ，F 是焦点，满足7AF BF +=，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C . （Ⅰ）求点C 坐标； （Ⅱ）当线段AB 最长时，求ABC ∆面积.
数学 文科答案
6．B ．即y x >的概率，12
5
3654321=
++++=
P ． 10．A ．如图，函数)(x f y =与
)(x g y =图象均点过的)0,3(，且均关于点)0,3(对称．∴)(x h 零点关于3=x “对称”，∵当1=A 时，)(x h 所有零点和为9，∴此时，函数)(x f y =与
)(x g y =图象有三个公共点，此时，)6()6(g f <，得3
1
>
k ．当2=A 时，)6()6(g f >且)(26)9(max x f k g =>=，∴)(x h 有5个零点5421,,3,,x x x x ，且64251=+=+x x x x ．
11．1；
12．3
8；
13．2-；24log )3()3(2-=-=--=f f ．
14．2；得P 点到焦点距离与到顶点距离相等，∴2
1
4==p x P ，得2||=P y ． 15．
21；21=⋅，43)21(1||222+-=+-=-λλλλ，当2
1
=λ时||λ-有最小值23．
16．)4,0[；函数)(x f 是R 上的增函数，得ax ax >+12对任意∈x R 恒成立．
17．1；设A ，B 横坐标分别为1x ，2x ．则111-=x e kx ，122-=x e kx ，得11ln 1kx x =-，即
k x x ln 1ln 11--=，同理k x x ln 1ln 22--=．
3
6
9
直线CD 的斜率为1)
ln 1()ln 1(ln ln 2
1212121=------=--x x k x k x x x x x ．
三、解答题 (本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分14分)
解(Ⅰ) 由已知0
60=B ，在ABC ∆中，根据余弦定理，
ac c a ac c a b -+=-+=22022260cos 2由已知ac b =2，所以ac ac c a =-+22，即0)(2=-c a ，所以c a = ，所以C A =，而00012060180=-=+C A ，所以
060===C B A 。

(Ⅱ) 由已知得：C A sin sin +)32sin(
sin A A -+=π=A A cos 2
3sin 23+ )cos 2
1
sin 23(
3A A +=)6sin(3π+=A ，因为)32,0(π∈A ，所以65)6(6πππ<
+<A ，所以]1,21()6sin(∈+
π
A ，所以]3,2
3
()6sin(3∈+πA ，即C A sin sin +的取值范围是]3,2
3
(。

19 .(本题满分14分）
解: （Ⅰ）由已知2)0(=f 得：2=c ，又)1()1(x f x f +=-，所以二次函数的图象关于直线1=x 对称, 即有12
=-
b
，所以2-=b ，所以22)(2+-=x x x f （Ⅱ） 由题意得222
+-=n n S n ，当1=n 时，得11=a ；当2≥n 时，
1--=n n n S S a =]2)1(2)1[(]22[22+----+-n n n n 32-=n ，所以⎩⎨⎧≥-==.
2,32,
1,1n n n a n
20.(本题满分14分)
证明(Ⅰ) ：如图，设G 为PC 的中点，因为F 为PB 的中点，所以FG ║BC ║ED ，又 E 为AD 的中点，由已知得：FG=ED=1，所以四边形EFGD 为平行四边形。

所以EF ║GD ，因为EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，所以EF ‖平面PCD ；
(Ⅱ)解 在PAD ∆中，AD=2，PA=4，PD=52，满足222AD PA PD +=，所以090=∠PAD ，即AD PA ⊥（1），在底面ABCD 中，过点D 作AB DH
⊥，H 为垂足，因为平面ABD PAB ⊥，由面面垂直
的性质可知：⊥DH 平面PAB ，所以PA DH ⊥（2），由（1）（2）可得：⊥PA 平面ADH ，
即⊥PA 底面ABCD 。

在底面ABCD 中，过点A 作BD AO ⊥，O 为垂足，则⊥BD 平面PAO ，⊂BD 平面PBD 中，所以平面PBD PAO ⊥，平面PBD ⋂平面PAO=PO ，在平面PAO 中过点A 作AK ⊥PO ，由面面垂直的性质可知：AK ⊥平面PBD ，连接DK ，ADK ∠就是直线AD 与平面PBD 所成的角，在ABD ∆中，0
60
=∠DAB ，AB=2AD=4，余弦定理可求得：BD=32，由
AO BD AD AB S ABD ⋅=⋅=
∆2
1
60sin 210，由此可求得AO =2，又在Rt POA ∆中，PA=4，所以
AK=
55
45
242=
⨯，在AKD Rt ∆中，5522554sin =÷=∠ADK ，又BC ║AD ，所以直线
BC 与平面PBD 所成的角的正弦值是5
5
2。

21.(本题满分15分)
解（Ⅰ）：令03)(2
=-='m x x f ，由题设，3
3
=
x 满足方程，由此解得：1=m ，函数)(x f 在R x ∈上的两个极值点是331-
=x ，332=x ，且函数)(x f 在)3
3,33(-单调递减，在),33(
+∞单调递增，因为1)1()0(==f f ，9
3
21)33(-
=f ，所以，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域是]1,9
3
21[-。

（Ⅱ）证：设x x x h -+=)1ln()(，则11
1
)(-+='x x h ，因为]1,0[∈x
所以011
1
)(≤-+=
'x x h ，故函数)(x h 在]1,0[∈x 单调递减，0)0()(=≤h x h ，即有x x ≤+)1ln(，所以，当]1,0[∈x 时，≤)(x g 0)1ln(≤-+x x （1）；
另一方面，由（1）当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域是]1,9
3
21[- （2）
， 由（1）（2）知：当]1,0[∈x ， )()(x f x g <，
所以， 函数)(x f y =与)(x g y =的图象在]1,0(∈x 上没有公共点。

（Ⅱ）由（1）知直线AB 的方程为 )2(3
00-=
-x y y y ，即 2)(3
00+-=y y y x . （2） 将（2）代入x y 62
=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）
依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以
222
00044(212)4480y y y ∆=--=-+>,
32320<<-y . 221221)()(y y x x AB -+-=
2212
0))()3
(
1(y y y -+= ]4))[(9
1(212
2120y y y y y -++= ))122(44)(91(2020
2
0--+=y y y )12)(9(3
22
020y y -+=
. ∴
当2
032
y =时，max 7AB =；
又定点)0,5(C 到线段AB 的距离222
0042
(52)(0)9h CM y y ==
-+-=+=
.
124ABC S AB h ∆∴
=⋅=.。