等差数列(优秀课件)
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等差数列_PPT课件
已知正数数列{an}和{bn}满足：对任意 n(n∈N＋)，an， bn，an＋1 成等差数列，且 an＋1＝ bn·bn＋1. (1)求证：数列{ bn}是等差数列． (2)设 a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．
第(1)问可利用等式 2bn＝an＋an＋1，把 an，an＋1 用 bn－1， bn，bn＋1 代换，然后整理．再进行判断；解答本题第(2)问， 可利用第(1)问的结论，先求 bn，再求 bn 和 an.
等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规 律．
2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项 (或通项)(重点，难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重 点)
3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可 出现，多为中低档题.
[策略点睛]
[规范作答] (1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化6,2，－2. 方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a
事实上，am＋(n－m)d＝a1＋(m－1)d＋(n－m)d ＝a1＋(n－1)d＝an.
2．等差数列的公差与斜率的关系 (1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率 k＝fxx22－－xf1x1(x1≠x2)． 当 k＝0 时，对于常数函数 f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率． d＝amm－－ann其实就是斜率公式，并且当{an}是常数列时， d＝0，公式也仍然成立．
等差数列优秀课件
a1=1,d=2
a1=9,d=-3
a1=3,d=0 （4）15，12，10，8，6，… 不是
可见，公差可以是正数、负数，也可以是0；
当d 0, 是递增数列当d 0, 是递减数列当d 0, 是常数列 ; ; .
例1．已知数列{an}的通项公式为an=3n－5， 这个数列是等差数列吗？ 解：因为当n≥2时，
等差数列定义
第2项起 每一项与它 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的差 同一个常数 的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常 用字母d表示。
an - an-1=d(n≥2,n∈N*)
（这就是数列的递推公式）
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由 （1）1，3，5，7，… 是 （2）9，6，3，0，-3… （3）3，3，3，3，… 是 是
解得：
a1 1 d 3
即这个等差数列的首项是1，公差是３. 说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.
判定等差数列常用的方法有:
（1）定义法:利用
an an1 常数(n 2, 且 n N )
（2）等差中项法：利用
2an an1 an1 (n 2)
an1 an1 an 2
{an}为等差数列
例2 在-1与7之间插入三个数，使它们与
这两个数成等差数列，求这三个数。
解：设插入的三个数为x, y, z， 则-1，x，y,z,7成等差数列， 显然y是-1，7的等差中项，得 1 7 y 3. 2 同样x是-1，3的等差中项，z是3，7的等差中项。
ab A 2
等差数列课件ppt课件
等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
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目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
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等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
等差数列的概念PPT优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
等差数列 完整ppt课件
a 3 -a 2 = d a 2 -a 1 = d 以上各式左右两边分别相加得
a n -a 1 = （ n -1 ） d a n = a 1 + （ n -1 ） d
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5
等差数列的通项公式
如果等差数列 { a n } 的首项是 a 1 ，公差是d，
则等差数列的通项公式为
an=a1+（n-1）d
a1=11 d=-1
所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
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11
古题今解
我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等 诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几 何？”
分析： 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3， ∴ a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, ∴ a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18
最新课件
Hale Waihona Puke 6例题讲解例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项 （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…
的项？如果是，是第几项？
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7
解： （1）由a1=8, d=5-8=-3,n=20 得到这个数列的通项公式为
an83(n1)
a20= 8 + (20-1)×（－3）=-49
(2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4,
2.2 等差数列（第一课时）
主讲人:叶爽
最新课件
1
观察下列数列的特点，归纳规律：
•0，5，10，15，… •奥运会女子举重级别48，53，58，63. •3，0，—3，—6，… •10072，10144，10216，10288，10306.
《等差数列课》课件
等差为负数的等差数列
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
等差数列(优秀课件)
星期路程km131619相差3为迎接世界田径锦标赛刘翔的教练为他安排了为期一周的赛前热身逐渐加大慢跑路程前牙反颌和开颌的原因多由于不良喂养方式和吮指等不良习惯造成也可因多颗乳磨牙过早缺失迫使儿童用前牙咀嚼下颌逐渐前伸移位造成
2021/6/27
第二章 数列 2.2 等差数列
第一课时
复习
一、数列的定义，通项公式: 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
首项 a1 p q ，公差为 p。
2021/6/27
5、等差数列的通项及图象特征
思考： 已知数列的通项公式是an pn q (其中p，q是常数），那么这个数列 是否一定是等差数列？
取数列{an}中的任意相邻两项an1与a（n n 2)， an an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
2021/6/27
3．等差中项 如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的
等差中项 . 由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
b A A a A a b b 2A a( 或a 2A b ) 2
意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项
是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
= = = 5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …
2021/6/27
思考：已知数列{an}是等差数列，
则数列{bn}为等差数列的是（ D ）
A、bn an B、bn an
C、bn an2
2021/6/27
第二章 数列 2.2 等差数列
第一课时
复习
一、数列的定义，通项公式: 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
首项 a1 p q ，公差为 p。
2021/6/27
5、等差数列的通项及图象特征
思考： 已知数列的通项公式是an pn q (其中p，q是常数），那么这个数列 是否一定是等差数列？
取数列{an}中的任意相邻两项an1与a（n n 2)， an an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
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3．等差中项 如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的
等差中项 . 由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
b A A a A a b b 2A a( 或a 2A b ) 2
意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项
是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
= = = 5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …
2021/6/27
思考：已知数列{an}是等差数列，
则数列{bn}为等差数列的是（ D ）
A、bn an B、bn an
C、bn an2
《等差数列》PPT课件
例如：上面高斯求解的问题： 1+2+3+4+5...+99+100=
首项是1，末项是100，项数是100，公 差是1。由此我们可以得出一个求解等 差数列的公式：
等差数列的和=（首项+末项）×项，项数 和公差。 （1）2，5，8，11，14，17，20，23 （2）0，4，8，12，16，20，24，28
等差数列
高斯的故事
所以： 1+2+3+4+5...+99+100=101×50=5050
在这里出现了一列数据：1，2，3，4， 5...，99，100 我们定义：按一定次序排列的一串数叫 数列。一个数列，从第二个数起，每一 项减去它前边的一项，所得的差都相等 ，就叫等差数列。
等差数列的每一个数都叫做项，其中左 起第一项叫首项，最后一项叫做末项， 项的个数叫做项数。等差数列中相邻的 两项的差叫做公差。
练习： （1）1+2+3+4+...+250 （2）1+2+3+4+...+200 （3）1+3+5+7+...+97+99
答案： （1）首项2，末项23，项数8，公差3 （2）首项0，末项28，项数8，公差4
例二：1+2+3+4+......+1998+1999 问：算式当中的首项，末项，项数分别是什么？
答案： 首项是1，末项是1999，项数是1999。
解析： 1+2+3+4+......+1998+1999=（1+1999） ×1999÷2=2000×1999÷2=1999000
首项是1，末项是100，项数是100，公 差是1。由此我们可以得出一个求解等 差数列的公式：
等差数列的和=（首项+末项）×项，项数 和公差。 （1）2，5，8，11，14，17，20，23 （2）0，4，8，12，16，20，24，28
等差数列
高斯的故事
所以： 1+2+3+4+5...+99+100=101×50=5050
在这里出现了一列数据：1，2，3，4， 5...，99，100 我们定义：按一定次序排列的一串数叫 数列。一个数列，从第二个数起，每一 项减去它前边的一项，所得的差都相等 ，就叫等差数列。
等差数列的每一个数都叫做项，其中左 起第一项叫首项，最后一项叫做末项， 项的个数叫做项数。等差数列中相邻的 两项的差叫做公差。
练习： （1）1+2+3+4+...+250 （2）1+2+3+4+...+200 （3）1+3+5+7+...+97+99
答案： （1）首项2，末项23，项数8，公差3 （2）首项0，末项28，项数8，公差4
例二：1+2+3+4+......+1998+1999 问：算式当中的首项，末项，项数分别是什么？
答案： 首项是1，末项是1999，项数是1999。
解析： 1+2+3+4+......+1998+1999=（1+1999） ×1999÷2=2000×1999÷2=1999000
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全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码
（表示鞋底长，单位:cm）分别是：
ห้องสมุดไป่ตู้
23
1 2
，24，24
1 2
，25，25
1 2
，26，26
1 2
，27，27
1 2
，28，28
1 2
，29，29
1 2
，30．
某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.
交流
这三个数列有何共同特征 从第2项起，每一项与其前一项之差等 于同一个常数。
故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.
1.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7， 求数列{an}的公差
2.
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10=
.
3.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ )
A. 1
B. -1
由此得到an a1 (n 1)d (n 2)
当n 1时，上面等式两边均为a1，即等式也成立
等差数列的通项公式为an a1 (n 1)d
2、等差数列的通项公式
思考：已知等差数列{an }的首项为a1，公差为d，求an .
} a2 a1 d，
a3 a2 d，
结论
1、已知等差数列的首项与公差，可求得 其任何一项；
2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n， an四个量中知三求一.
3．等差中项
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 .
由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
b A A a A a b b 2A a( 或a 2A b ) 2
请尝试着给具有上述特征的特殊数列 用数学的语言下定义
探究
1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（1）指出定义中的关键词： 从第2项起 每一项与其前一项的差 等于同一个常数
⑵由定义得等差数列的递推公式：an1 an d (d是常数）
an am (n m)d.
进一步可以得到 d an am . nm
思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求 a12,a3n.
解法一: 依题意得：
a1+2d=9
a1+8d=3
解之得
a1 =11
d =-1∴这个数列的通项公式是：an=11(n-1)=12-n
解法二：
a4 a3 d，
n 1个
方法二 累加法
an an1 d
将所有等式相加得
an a1 (n 1)d
例1 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项. ⑵- 401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，
是第几项？
解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得 a20=8+(20-1) ×(-3)=-49.
意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项
是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
4、等差数列通项公式的推广 思考：在等差数列{an }中，项an与am有何关系？
解析：由等差数列的通项公式得
an a1 (n 1)d ①
am a1 (m 1)d ②
① - ②得an am (n m)d.
说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差 数列的主要依据.
练习：判断下列数列中哪些是等差数列， 哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如 果不是，说明理由。
(1) 1, 1, 1, 1, 1.
(2) 4, 7,10,13,16.
(3) 3, 2, 1,1, 2,3.
(4) 1, 2,3, 4,5, 6.
第二章 数列 2.2 等差数列
第一课时
复习
一、数列的定义，通项公式: 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
二、数列的简单表示:
三、给出数列的方法:
引入 （观察以下数列）
解： an an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
pn q ( pn p q) p 为常数
∴{ a n }是等差数列 首项 a1 p q ，公差为 p。
A
a
b
2
100与180
3 1与 3 1
用一下
例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为 10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如 果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地， 且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
例 3、已知数列{ an }的通项公式 an pn q ，其中 p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是， 首项与公差分别是什么？
C.- 1 3
5
D.
11
作业
课本P40(A) 1、3、 (B) 2
第二章 数列 2.2 等差数列
第二课时
复习
1、等差数列的定义
an1 an d (d是常数）.
2、等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d.
通项公式的证明及推广
an am (n m)d.
3、等差数列的中项
(5) 5,9,13, , 4n 1, .
2、等差数列的通项公式 思考：已知等差数列{an }的首项为a1，公差为d，求an . 方法一：不根据等差数列的定义得到
完全归纳法 a2 a1 d，a3 a2 d，a4 a3 d，
所以a2 a1 d a3 a2 d (a1 d) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d) d a1 3d
例2 在等差数列{an}中，已知 a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
解：由题意得：
a1+ 4d = 10 a1+11d=31 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：
a1= - 2 d=3 ∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立 二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？