高考复习课件第72讲二项式定理

所以x7的系数为C310a3＝15，所以a3＝18，所以a＝21. (2)根式整式的乘法公式得：(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋
ax(1＋x)5，
所以要求展开式中x2的项，可先求出(1＋x)5含有x与x2项
的系数，从而得到展开式中x2的系数．
(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，
因为(x＋1x)(2x－1x)5＝x(2x－1x)5＋1x(2x－1x)5，
所以展开式的常数项为(2x－
1 x
)5展开式中含x－1和x的项的
系数和．
因为(2x－1x)5展开式的第r＋1项为 Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(－1x)r＝Cr5·25－r(－1)rx5－2r， 当r＝2时，为含x的项，r＝3时为含x－1的项，所以展开
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【变式探究】
3．已知(
1 2
＋2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的
二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．
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解：由题意可知C4n＋C6n＝2C5n⇒n2－21n＋98＝0，
所以n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T
r 5
25－rxr，令r＝3，则x3的系数为
C35×22＝10×4＝40.
答案：40
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3.设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝
.
解：此题为二项式定理的有关问题，因此要对所给式子变
形、添项，以致可以逆向运用二项式定理；怎么添，怎么变可
以写出二项式定理，然后对照着拼凑．
C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1
＝61(C1n61＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n)]
＝61[(C0n60＋C1n61＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n)－C0n60]
＝61[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．
答案：61(7n－1)
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4．(2015·湖北卷)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项
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(方法2)在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取因式中x2剩 余的3个因式中1个取x，其余因式取y.
故x5y2的系数为C25C13C22＝30.
答案: (1)D (2)C
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考点二·二项展开式中的系数和问题
【例2】(1)(x＋
a x
)(2x－
，这个
公式所表示的定理叫作二项式定理，右边的多项式叫(a＋ b)n的 二项展开式 .
(2)(a＋b)n展开式的第r＋1项(通项)Tr＋1＝
；
(a－b)n的展开式的第r＋1项Tr＋1＝
.
二项式展开式中的C
r n
(r＝0,1,2,3，…，n)叫作二项式
系数，要分清展开式中某一项的系数与该项的二项式系
数．
，
第4项的系数为
.
解：展开式的第4项为T4＝C
3 7
(2x)3＝280x3，其第4项
的二项式系数为C37＝35，第4项的系数为C37·23＝280.
答案：35 280
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2．(2015·北京卷)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数
为
.(用数字作答)
解：设通项为Tr＋1＝C
1 x
)5的展开式中各项系数的和为
2，则该展开式中常数项为( )
A．－40
B．－20
C．20
D．40
(2)(2015·新课标卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数
次幂项的系数之和为32，则a＝__________.
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解：(1)因为(x＋ax)(2x－1x)5展开式各项系数的和为2， 所以令x＝1，得1＋a＝2，所以a＝1.
的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．29
B．210
C．211
D．212
解：由C
3 n
＝C
7 n
，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为
29.
答案：A
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5．已知( x ＋ 3 )n的展开式中，各项系数的和与其各 3 x
项二项式系数的和之比为64，则n等于( )
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点评：求二项展开式中的系数和或部分系数和，通常 利用赋值法．令x＝0得常数项，令x＝1可得所有项系数 和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇数次项系数之和的 差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项 系数绝对值之和．
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【变式探究】
7－1 2
＋1
和T7＋2 1＋1，即T4和T5.
T4＝ C37(12)4·(2x)3＝325x3；T5＝ C47(12)3·(2x)4＝70x4.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T
14 2
＋1，
即T8.
T8＝ C714(21)7·(2x)7＝3432x7.
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1．二项式定理是一个恒等式，根据恒等式的意义及 性质，可得到处理二项式定理的有关问题的两个重要方 法：赋值法和比较系数法，它们是证明有关恒等式、求 系数和、计算组合数和式的值的有效方法．
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(2)求形如(a＋b)m(c＋d)n(n，m∈N*)式子中与特定 项相关的量，其步骤是：
第一步，利用整式的乘法公式进行化简，或将(a＋ b)m和(c＋d)n分别用二项式定理展开．
第二步，根据特定项的次数，分析特定项由(a＋b)m 与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
；当二项式的幂指数是奇数时，
则中间两项的二项式系数相等且最大，最大值
为
.
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(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式来自各个二项式系数的和等于
，即
.
二项展开式中，各偶数项二项式系数和 等于 奇数项
二项式系数和，即
.
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1．(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数为
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高中数学课件
第72讲 二项式定理
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1．掌握二项式定理和二项展开式的性质． 2．会求二项展开式的有关特定项或特定项的系数． 3．会处理展开式的系数和、二项式系数和等问题．
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1．二项式定理 (1)对于n∈N*，(a＋b)n＝
的系数为15，则a＝__________.(用数字填写答案)
(2)(2013·新课标卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的
系数为5，则a＝( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
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解：(1)设通项为Tr＋1＝Cr10x10－rar，
令10－r＝7，所以r＝3，
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点评：(1)本题考查二项式系数的最值及组合数公式 的应用和计算，通过组合数的化简求值，考查计算能力 和转化意识．
(2)求展开式系数的最大问题，首先要弄清所求问题 是“求展开式系数最大”“二项式系数最大”以及“最 大项”三者中的哪一个．对于二项式系数最大问题，要 依据(a＋b)n中n的奇偶性及二项式系数的性质求解．若求 系数ak最大，只需要解不等式组aakk≥ ≥aakk－ ＋11， 求得答案．
式中的常数项为C25·23－C35·22＝80－40＝40.
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(2)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5， 令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝16(a＋1)， 令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a5＝0， 所以a1＋a3＋a5＝8(a＋1)＝32， 所以a＋1＝4，所以a＝3. 答案：(1)D (2)3
4．求展开式各项系数之和的基本方法是利用恒等式
的性质，采用赋值法来解决．一般地，多项式f(x)的各项
系数和为f(1)，奇数项系数和为
f1－f－1 2
，偶数项系数
和为f1＋2f－1.
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A. 3
B．－ 3
C．6
D．－6
(2)(2015·新课标卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系
数为( )
A．10
B．20
C．30
D．60
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解：(1)Tr＋1＝Cr5( x)5－r·(－xa)r＝Cr5(－a)rx5－22r， 由5－22r＝32，解得r＝1. 由C15(－a)＝30，得a＝－6.故选D. (2)(方法1)因为(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 所以展开式中含x5y2的项包含在C25(x2＋x)3y2中． 而(x2＋x)3＝x6＋3x5＋3x4＋x3， 所以x5y2的系数为3×10＝30.
所以x2的系数为10＋5a＝5，所以a＝－1.故选D.
答案：(1)12 (2)D
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点评：(1)求形如(a＋b)n(n∈N*)的式子的特定项的相 关量(如常数项、参数值、特定项等)的基本步骤：
第一步，写出通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr. 第二步，根据题目相关条件，列出相应方程(组)或 不等式(组)，求解出r； 第三步，把r代入通项公式中求相关量．
A．4 C．6
B．5 D．7
解：各项系数和为(1＋3)n＝22n，二项式系数和为 2n.
由222nn＝64，得n＝6.
答案：C
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求与特定项相关的量 二项展开式中的系数和问题 二项式系数的最值问题
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考点一·求与特定项相关的量
【例1】 (1)(2014·新课标卷Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7
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2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“ 等距离 ”的两项的二项
式系数相等，即
.
(2)增减性与最大值：当k＜n＋2 1时，Ckn是 逐渐增大的 ；
当k＞n＋2 1时，Ckn是 逐渐减小的，且在 中间 取到最大值．
当二项式的幂指数是偶数时，中间一项的二项式系数
最大，最大值为
2．利用通项公式求二项式中的指定项(如常数项、 系数最大的项、有理项等)或相关项的系数是二项式定理 的基本问题，要正确区分求展开式中的“项”“项的系 数”“项的二项式系数”等概念的异同．
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3．对于乘积型、三项式等，都是化归为二项式来处
理，要注意总结常用的化归的方法和技巧．
第三步，把相乘后的项相加减即可得到特定项． (3)形如(a＋b＋c)n(n∈N*)型的问题，常通过配方、 分解因式或将其中两项看作一项转化为上述类型进行求 解．
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【变式探究】
1．(1)(2015·湖南卷)已知( x－ ax)5的展开式中含x32的项
的系数为30，则a＝( )
2．如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则：
(1)a0＋a1＋…＋a7的值为
；
(2)a0＋a2＋a4＋a6的值为
；
(3)a1＋a3＋a5＋a7的值为
；
(4)各项二项式系数和为
.(用数字作答)
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解：(1)令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝－1.① (2)令x＝－1得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝2187，② ①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋2187， 所以a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋22187＝1093. (3)①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－2187， 所以a1＋a3＋a5＋a7＝－1－22187＝－1094. (4)各二项式系数和为C07＋C17＋…＋C77＝27＝128. 答案: (1) －1 (2) 1093 (3) －1094 (4) 128
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考点三·二项式系数的最值问题
【例3】(2013·新课标卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开
式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系
数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
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解：(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为Cm2m， 所以a＝Cm2m，同理，b＝Cm2m＋＋11， 因为13a＝7b，所以13·Cm2m＝7·Cm2m＋＋11， 所以13·m2！mm！！＝7·m2＋m1＋！1m！！， 所以m＝6. 答案：B