商丘市第一高级中学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．已知7
1()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则6
2a
xdx =⎰（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
2．设11
3
a x dx -
=⎰
，1
1
2
1b x dx =-⎰，1
3
0c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )
A ．a>b>c
B ．b>a>c
C ．a>c>b
D ．b>c>a
3．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2
cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；
②()3
sin F x x x =+， ()2
3cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．
的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数
4．)
120
d x x ⎰的值是（ ）
A ．
π1
43
- B ．
π14
- C ．
π123
- D ．
π12
- 5．已知10
(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）
A ．1,
9
B ．1,1,9
C ．
1,
[1,
)9
D ．()1,+∞
6．设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组11
02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩
所确
定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为
A ．2e 2e 14e --
B ．2e 2e 4e -
C ．2e e 14e --
D ．2e 1
4e
-
7．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ）
A ．2ln3-
B ．4ln3+
C ．4ln3-
D ．
329
8．函数0
()(4)x
f x t t dt =
-⎰
在[1,5]-上（ ）
A ．有最大值0，无最小值
B ．有最大值0，最小值323
-
C ．最小值32
3
-
，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值
9．定积分()2
2x
e
x dx +⎰的值为（ ）
A ．1
B ．2e
C ．23e +
D ．24e +
10．下列积分值最大的是（ ） A ．2
2
2sin +1x x dx -⎰
（）
B ．
()22
cos x dx π
π--⎰
C
．
-⎰
D ．
1
1
e
dx x
11．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现
()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）
34
3
V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四
维测度W =（ ）. A ．224r π
B ．2
83
r π
C ．5
14
r π
D ．42r π
12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π
()3
的大小关系是( ) A ．f π()3-
＝f π
()3
B ．f π()3-
＞f π
()3 C ．f π()3-
＜f π
()3
D ．不确定
二、填空题
13．若2
2
11
S x dx =
⎰
，2
21
1
S dx x
=⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．
14．两个函数1
2y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______ 15．由直线2y x =+与曲线2y
x 围成的封闭图形的面积是__________．
16．
若二项式261)x x +的展开式中的常数项为m ，则2
1
(2)d m
x x x -=⎰_________．
17．已知(
)[](]
21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -=⎰______．
18
．
(1
2x dx +
=⎰________
19．由直线0x =， 23
x π
=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________． 20．
定积分
1
024x dx π⎫-⎪⎭⎰的值______. 三、解答题
21．已知函数32()f x x mx nx =++（,m n R ∈）
（1）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围；
（2）若'(1)0f =，且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的值. 22．设函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值. （1）求()f x 在点()()
1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.
23．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.
（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值； （II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+1
2
x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；
（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围. 24．
已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .
(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积.
25．如图：已知2y ax bx =+通过点（1,2），与22y x x =-+有一个交点横坐标为1x ，且
0,1a a <≠-.
（1）求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系； （2）当,a b 为何值时，S 取得最小值.
26．在(3
32x x
11
的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求
1
x α
⎰
d x
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一、选择题
1．D 解析：D 【分析】
利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得7
6
2xdx ⎰
的值.
【详解】
在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771r
r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
， 令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为1
77C =，即7a =.所以
7
26
76
6
2213a
xdx xdx x ===⎰
⎰.
故选：D 【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．
2．A
解析：A 【解析】
借助定积分的计算公式可算得1
1
2
1
3
300
33|22a x dx x -===⎰，
1
1
312
200
22111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，1
3
410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。

3．D
解析：D
【解析】由①,
()()()(),,F x F x f x f x -=-=-∴B,C
正确; 由②,
()(),F x F x -=- ()(),f x f x -=∴A 正确,D 项,偶函数的原函数不一定是奇函数,比如()()233cos sin 1f x x x F x x x =+=++的原函数可以为,此时F(x)为非奇非偶函数,所以D
错误,故选D.
4．A
解析：A 【详解】
因为定积分
1
11
22000d )(x d x x x ⎫
⎫=-⎪⎪⎭⎭
⎰⎰⎰，结合定积分的几何
意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去
1
3
得到，即为1
43
-π
，选A. 5．C
解析：C 【分析】
本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设ab
t ，则
312t a b
，再然后根据构造法得出a 、b 为方程2
3102
t x
x t 的根，最后根据
判别式即可得出结果． 【详解】
1
1
2
(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1
2
2
30
331
()02222abx x ab ax bx a b =+
++=+++=， 即3210ab a b ，
设ab
t ，则312t a b
，a 、b 为方程2
3102
t x
x t 的根，
有
2
31
402
t t ，解得1
9
t 或1t ≥， 所以1,[1,
)9
a b ，故选C ．
【点睛】
本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．
6．D
解析：D 【详解】
曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积
(
)
1
21
1112x
x S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰
阴影=1
e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩
所确定区域的面积
22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==
阴影=2e 1
4e
-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.
7．C
解析：C 【详解】
由1xy y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，13xy y =⎧⎨=⎩解得133
x y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，3y y x =⎧⎨=⎩解得33x x =⎧⎨=⎩，所围成的平面图形的面积为S ，则()()1
1
113
3
1131(31)323ln |2S dx x x x ⎛⎫=⨯--+-=+- ⎪⎝⎭⎰，4ln 3S =-，故选C.
8．B
解析：B 【分析】
根据定积分的运算，可得3
21()23
f x x x =-，再利用导数求得()f x 的单调性和极值，检验端点值，即可得答案. 【详解】
由题意，函数3232
011()(4)2233x
x
f x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，
则2()4(4)f x x x x x '=-=-，
当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 又由7(1)3f -=-
，(0)0f =，32(4)3f =-，25
(5)3
f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为32
3
-. 故选：B . 【点睛】
本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，
属中档题.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据微积分基本定理，计算出定积分. 【详解】
(
)
2
2
2020
222430
x x
e x dx e x e e e +=+=-+=+⎰.故选C.
【点睛】
本小题主要考查利用微积分基本定理，计算定积分.
10．A
解析：A 【分析】
对各个选项计算出被积函数的原函数，再将上下限代入即可得到结果，进行比较即可得到结果. 【详解】
A ：2
2
2
222
22sin +1sin 1x x dx x xdx dx ---=
+⎰
⎰
⎰（），函数y=2sin x x 为奇函数，故
2
2
2
sin 0x xdx -=⎰
，2
22
2
22
2
sin +11|2(2)4x x dx dx x ---===--=⎰⎰（），
B:
222
2
(cos )sin sin sin 222x dx x π
π
ππππ-
-
⎡⎤⎛⎫-=-=---=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰，
C:
-⎰
表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的1
4
，故
1
44
ππ-=
⨯⨯=⎰
， D:
11
1dx ln |ln ln11e
e x e x
==-=⎰
， 通过比较可知选项A 的积分值最大， 故选A 【点睛】
计算定积分的步骤：①先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；②根据定积分的基本性质，变形；③分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原函数；④利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)．
11．D
解析：D 【解析】
因为4328W r W r V ππ'=⇒==，所以42W r π=，应选答案D ． 点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：
3441
8824
W r dr r r πππ=⎰=
⨯=，应选答案D ． 12．C
解析：C 【解析】
依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6
＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ
(,)22
-上是增函数，所以f π3⎛⎫-
⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫
⎪⎝⎭
,选C. 二、填空题
13．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题 解析：213S S S <<
【分析】
先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可． 【详解】
223
2
11
1173
3
S x dx x ===
⎰ 2
221112S dx lnx ln x
===⎰
2
2
2311
|x x S e dx e e e ===-⎰ 27
23
ln e e <
<- 213S S S ∴<<
故答案为：213S S S << 【点睛】
本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
14．【解析】【分析】首先联立两个函数方程求得交点坐标然后结合题意和定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积【详解】联立直线与曲线的方程：解得对于令则结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部
解析：
163
【解析】 【分析】
首先联立两个函数方程求得交点坐标，然后结合题意和定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积 【详解】
联立直线与曲线的方程1
22
y x y x ⎧⎪
=⎨⎪=-⎩：
解得{
4
2x y ==，
对于2y x =-，令0x =，则2y =-，
结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：2
2
2
2
(2)y dy y dy -+-⎰⎰
22
32
2
011816282333y y y -⎛⎫
⎛⎫=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
故答案为
16
3
. 【点睛】
1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决． (1)画出图形，确定图形范围；
(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限； (3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置； (4)计算定积分，求出平面图形的面积；
2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分．有些由函数的性质求函数的定积分．
15．【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域如图所示由得解得或则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积故答案为
解析：9
2
【解析】
作出两条曲线所对应的封闭区域，如图所示，由2
2
y x y x
=+⎧⎨
=⎩，得22x x =+，解得1x =-或2x =，则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积2
2321
2
119(2)d 21322S x x x x x x -⎛⎫=+-=-++= ⎪-⎝⎭⎰，故答案为92．
16．【解析】解答：由Tr+1=⋅⋅()r=令12−3r=0得r=4∴m=()2⋅=3则==(x3−x2)=(×33−32)−(−1)=故答案为： 解析：2
3
【解析】 解答：
由T r +1=6r
C ⋅625x 5r
-⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
⋅(1x
)r =6123r 6
5x 5r
r
C --⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
令12−3r =0，得r =4. ∴m =(
55
)2⋅4
6C =3. 则
(
)
2
1
2d m
x x x -⎰=()
3
21
2d x x x -⎰=(13x 3−x 2)31 =(13×33−32)−(1 3−1)=2
3.
故答案为：
2
3
. 17．【解析】由题意可得答案：【点睛】求定积分的题型一种是：几何方法求面积一般是圆第二种是：求用被积函数的原函数用积分公式第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0本题考查了第一种和第二种 解析：
π423
+ 【解析】
由题意可得()2
2
2
2
1
1
1
1(1)f x dx x dx x dx --=
-+-=⎰
⎰22
14()|2323x x π
π+-=+，答案：
423
π
+． 【点睛】
求定积分的题型，一种是：几何方法求面积，一般是圆．第二种是：求用被积函数的原函数，用积分公式，第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0.本题考查了第一种和第二种．
18．【详解】因而应填答案 解析：14π+
【详解】
因11
000(2(2)x dx x dx +=+
⎰⎰，而1220
(2)101x dx =-=⎰
，22220000111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t ππ
πππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+． 19．【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为考点：定积分的几何意义
解析：3
【解析】 试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为
223
3002sin 2cos |
123S xdx x π
π==-=+=⎰．
考点：定积分的几何意义．
20．1【分析】等于以原点为圆心以1为半径的圆面积的四分之一为再利用微积分基本定理求出的值即可【详解】因为等于以原点为圆心以1为半径的圆面积的四分之一为所以故答案为：1【点睛】本题主要考查微积分基本定理的 解析：1
【分析】
0⎰等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为4
π，再利用微积分基本定理求出
1
024x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值即可. 【详解】
1
024x dx π⎫-⎪⎭⎰
1
0024x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰⎰，
因为
0⎰等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为4π， 121002|1444x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎰，
所以1
00211444x πππ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰， 故答案为：1
【点睛】
本题主要考查微积分基本定理的应用，考查了定积分的几何意义，属于基础题.
三、解答题
21．（1）3m <-；（2）3m =-。

【解析】
试题分析：（1）依据题设条件极值点即为到函数的零点建立方程，再借助有极值点建立不等式；（2）先设切点坐标()00,P x y ，借助导数的几何意义求切线的斜率，进而求出曲线的切线方程，再将其转化为32
000x 2x mx 10++=关于的方程有两个不同的实根，最后构造函数转化为函数有两个零点问题求解。

解：（Ⅰ）()()2f x 3x 2mx n f 1032m n 0''=++=++=由得 2Δ4m 12n 0.=->
∴()2m 30m 3+>≠-，得到∵()()()()2
f x 3x 2mx 2m 3x 13x 2m 3=+-+=-++' ∴()2m f x 0x 1x 13⎛⎫===-+
⎪⎝⎭'，得或 由题2m 11,m 33⎛
⎫-+><- ⎪⎝⎭
解得 由①②得m 3<-
（Ⅱ）()f 1032m n 0'=++=由得
所以()()2
f x 3x 2mx 32m =+-+' 因为过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且仅有两条，
令切点是()00,P x y ，
则切线方程为()()000y y f x x x '-=-
由切线过点()0,1，所以有
()()0001y f x x '-=-
∴()()()3220000001323232x mx m x x mx m x ⎡⎤--++=+-+-⎣⎦
整理得32
00210x mx ++= 32000x 2x mx 10.++=所以，关于的方程有两个不同的实根
()()32h x 2x mx 1h x =++令，则需有两个零点
()2h x 6x 2mx '=+
所以()m m 0h x 0x 0x 3
≠=='=-，且得或 ()m h 00,h 03⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
由题，或 ()m h 01,h 03又因为所以⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 32m m 2m 1033⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以 m 3=-解得,即为所求
22．(1)16y =；(2)单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3.
【解析】
试题分析：
(1)由题意首先求得3a =，然后利用导函数与原函数切线的关系可得()f x 在点()()
1,1A f 处的切线方程是16y =；
(2)结合(1)中求得的函数解析式结合导函数的符号可得函数的单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3.
试题
（1） ∵()()32
23168f x x a x ax =-+++， ∴()()2
6616f x x a x a =+'-+. ∵()f x 在3x =处取得极值，∴()()36961360f a a =⨯-+⨯+='，解得 3a =. ∴()2
62418f x x x =-+'，()1624180f =-+='，又()116f =. ∴()f x 在点()()
1,1A f 处的切线方程为：16y =.
（2）由（1)可得()262418f x x x =-+' ()()631x x =--. 令()0f x '=，得1x =或3x =.
当x 发生变化时，则()f x 与()f x '的变化情况如表，
由上表可知，()f x 的单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3.
23．（I ）a=13; （II ）m=0或m=3; （III ）a>213
e +. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a 的值即可；
（Ⅱ）求出函数F （x ）的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m 的值即可；
（Ⅲ）通过讨论a 的范围求出函数f （x ）的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a 的范围即可．
试题
（I ）易得，f '（x ）=3x 2-3a ，所以f '（1）=3-3a ，
依题意，（3-3a ）（-12）=-1，解得a=13
； （II ）因为F （x ）=-x[g （x ）+
12x-2]=-x[（1-lnx ）+12x-2]=xlnx-12x 2+x, 则F' （x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2，
则t '（x ）=1x -1=1x x
-. 令t '（x ）=0，得x=1.
则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数；
由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数；
而F '（21e ）=-2-21e +2=-2
1e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，
且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数；
在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数.
所以x 1为极值点，此时m=0.
又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0,
则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2，
且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数；
在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数.
所以x 2为极值点，此时m=3.
综上m=0或m=3.
（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g （x ）>0，不满足条件；
（2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，
①若f （e ）=e 3
-3ae+e≤0，即a≥213e +，则e 是h （x ）的一个零点； ②若f （e ）=e 3
-3ae+e>0，即a<213e +，则e 不是h （x ）的零点； （3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况.
因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以
①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增.
又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以
（i ）当a≤213
e +时，
f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点； （ii ）当213
e +<a≤e 2时，
f （e ）<0， 又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，
所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；
②当a>e 2时，令f '（x ）=0，得
由f '（x ）<0，得
由f '（x ）>0，得
所以f （x ）在（e +∞）上单调递增.
因为f （e ）=e 3-3ae+e<e 3-3e 3+e<0，
f （2a ）=8a 3-6a 2+e>8a 2-6a 2+e=2a 2+e>0，
所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；
综上，a>213
e +. 点睛：已知函数有零点求参数范围常用方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
24．(1)2,；（2）2
2
π. 【分析】
（1）根据题意可知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为00sin S xdx π
=⎰，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为20sin V xdx π
π=⎰，根据定积分的定义解之即可．
【详解】
（1）000sin cos |(cos )(cos0)112S xdx x π
ππ==-=---=+=⎰；
（2）22
0011sin sin 2|(0)24242x V xdx x πππππ
ππ⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭⎰. 【点睛】 本题主要考查定积分的几何意义，意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
25．（1）3
26(1)
a s a =-+；（2）3a =-,5
b =. 【解析】
【分析】
（1）由已知可知其中一个交点是原点，把另一个交点表示出来，再利用定积分表示出来即可。

（2）将a 看作S 的函数，求导即可求得最小值.
【详解】
(1) 由2y ax bx =+通过点（1,2）可得，a+b=2
由2y ax bx =+与22y x x =-+联立方程组，解得11a x a
=+ 2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系
()()
12202x S ax bx x x dx ⎡⎤=+--+⎣⎦⎰
()()
122022x ax x ax x x dx ⎡⎤=+---+⎣⎦⎰
()1
32011132x a x ax ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭ ()321113121a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
()3
261a a =-+
(2) 求导可得()()()
223'43121161a a a a S a +-⋅+=-⋅+ ()()()()
2432441314316611a a a a a a a a ++++=-⋅=-⋅++ 由'0S >得31a -<<-，由'0S <得-10a <<或3a <-，
所以当3a =-时S 取得极小值，即最小值，
此时25b a =-=，最小值()9S 38-=. 【点睛】 封闭图形是两抛物线围成，用上方函数减去下方函数，利用定积分求解，联立两函数解析式求出交点，确定区间范围。

另外通过过定点表示出a ，b 的式子，带入只含有关于a 的式子，求导求得最小值.
26．67 【分析】 先求()332x x -11展开式的通项公式，其中有2项有理项，确定概率1α6
=，根据定积分的计算法则，先求出被积函数x α的原函数，再分别将积分上下限代入求差，即可求出结果.
【详解】
解：T r ＋1＝11r C ·(3x )11－r ·()32x -r ＝11r C ·311－r ·(－2)r ·，r ＝0,1，…，11，共12项
其中只有第4项和第10项是有理项，故所求概率为21α126
==. 111716
600066=|=77x dx x dx x α∴=⎰⎰ 【点睛】
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项式展开式的特定项问题、考查古典概型的概率公式，考查定积分的计算.解题关键是熟练应用二项式展开式的通项公式，找出符合条件的项数.。