下海市奉贤区2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析

下海市奉贤区2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若2
1)n
x +展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据最大项系数可得n 的值，结合二项定理展开式的通项，即可得有理项及有理项的个数. 【详解】
21n
x ⎫⎪⎭展开式中只有第四项的系数最大， 所以6n =，
则6
21x ⎫⎪⎭展开式通项为5
63216
621r
r
r r
r
r T C C x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
， 因为06r ≤≤，所以当0,2,4,6r =时为有理项， 所以有理项共有4项， 故选：D. 【点睛】
本题考查了二项定理展开式系数的性质，二项定理展开式通项的应用，有理项的求法，属于基础题. 2．在ABC 中，AB 2=，BC 3=，ABC 60∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若
AO λAB μBC =+，则λμ(+= )
A ．1
B ．
12
C ．
13
D ．
23
【答案】D 【解析】 【分析】
通过解直角三角形得到1
BD BC 3
=
，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出AD 利用向量共线的充要条件表示出AO ，根据平面向量就不定理求出λ，μ值． 【详解】
在ABD 中，1
BD AB 12
== 又BC 3=
所以1
BD BC 3
=
1
AD AB BD AB BC 3
∴=+=+
O 为AD 的中点
111AO AD AB BC 226
∴=
=+ AO λAB μBC =+
11
λ,μ26∴==
2
λμ3
∴+=
故选D ． 【点睛】
本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理． 3．若复数2ai
z i
-=（其中i 为虚数单位，a R ∈）为纯虚数，则z 等于（ ） A ．2i - B ．2-
C ．0
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
先利用复数的除法将复数z 表示为一般形式，结合题中条件求出a 的值，再利用复数求模公式求出z . 【详解】
()222221
ai i ai a i
z a i i i --+∴=
===---，由于复数z 为纯虚数，所以，0a -=，得0a =， 2z i ∴=-，因此，2z =，故选D.
【点睛】
本题考查复数的除法、复数的概念以及复数求模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题． 4．函数()3
2
1212
f x x x x =+
-+的极大值为（ ）
A ．3
B ．
52
C D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
求得函数的导数()(1)(32)f x x x '=+-，得出函数的单调性，再根据集合的定义，即可求解. 【详解】
由题意，函数()3
2
1212
f x x x x =+
-+，则()232(1)(32)f x x x x x '=+-=+-， 令()0f x '>，即(1)(32)0x x +->，解得1x <-或23
x >， 令()0f x '<，即(1)(32)0x x +-<，解得213
x -<<
， 即函数在2(,1),(,)3
-∞-+∞上函数()f x 单调递增，在2(1,)3-上函数()f x 单调递减，
所以当1x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值()5
12
f -=，故选B.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及求解函数的极值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．已知随机变量()11X N ～，，其正态分布曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则
落入阴影部分的点数估计值为（ ） （附：()2,N ξ
μσ则()0.6826μσξμσ-<≤+= ）
A ．6038
B ．6587
C ．7028
D ．7539
【答案】B 【解析】
∵随机变量()1,1N ξ~， ∴()1
(01)34.13%2
P P ξμσξμσ<<=
-<<+=， ∴2
10.34130.6587S =-=阴影，
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为100000.65876587⨯=个．选B ． 6．随机变量X 的分布列为
X
1 2 3 4
P
0.2
0.3
0.4
a
则(20.2)E X +=（ ） A ．4.8 B ．5
C ．6
D ．8.4
【答案】B 【解析】
分析：先求出a,再求EX ,再利用公式求()20.2E X +. 详解：由题得a=1-0.2-0.3-0.4=0.1.
由题得12345
42
x +++=
=.
所以10.220.330.440.1 2.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯=
所以()20.2E X +=20.22 2.40.25EX +=⨯+=.故答案为：B.
点睛：（1）本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，
E η=()E a b aE b ξξ+=+.
7．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种 B ．150种 C ．96种 D ．114种
【答案】D 【解析】
分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.
详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：
①三个路口人数情况3，1，1，共有33
5360C A =种情况；
②三个路口人数情况2，2，1，共有223
5332
2
90C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有23
4336
C A =种，
故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.
点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.
8．F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交
另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则C 的离心率是（ ） A ．
23
3
B ．
143
C ．2
D ．2
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此
222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=
⇒=233
，选A. 考点：双曲线离心率
【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略
求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．
9．若x ，y 满足条件20
402x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】
作出约束条件20
402x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，
平移直线y=2x ﹣z ，由图象可知当直线y=2x ﹣z ， 经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最大，此时z 最小．
由 2
20y x y =⎧⎨-+=⎩
解得A （0，2）．
此时z 的最大值为z=2×0﹣2=﹣2， 故选A ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b x a
++型）和距离型（()()22
x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 10．函数lg ||
x y x
=
的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
先分析函数奇偶性,再分析函数是否有零点即可. 【详解】
因为lg ||lg ||x x y x x
-==--,故lg ||
x y x =为奇函数,排除A,B.
又当lg ||0x y x
==时1x =,故lg ||
x y x =有零点,排除C.
故选D 【点睛】
本题主要考查函数图像的判定方法,一般考虑奇偶性与函数的零点或者函数的正负等,属于基础题型. 11．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，第一循环：24N =，能被3整除，24
833
N =
=≤不成立， 第二循环：8N =，不能被3整除，817,73N N =-==≤不成立， 第三循环：7N =，不能被3整除，6
716,233
N N =-===≤成立， 终止循环，输出2N =，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
12．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．2
y x =-
C ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．sin y x =
【答案】D 【解析】
分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可. 详解：四个选项中的函数都是偶函数，
在[]0,1上,,A B C 三个函数在[]0,1上都递减，不符合题意， 在[]0,1上递增的只有D ，而故选D ．
点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在
考查综合应用所学知识解决问题的能力. 二、填空题：本题共4小题
13．函数()1
x
e f x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程是_____________.
【答案】e 4e 0x y -+= 【解析】 【分析】
首先求出()f x 在1处的导数，再求出()f x 在1处的函数值()1f ，然后用点斜式求出方程即可. 【详解】
()()
2
e 1x
x f x x '=
+，∴()e 14f '=
且()e 12f =，切线方程是()e e
124
y x -=-，即e 4e 0x y -+=． 【点睛】
本题考查利用导数求函数在点处的切线方程，属于基础题.
14．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14
，则该双曲线的渐近线
方程是__________
【答案】3
y x =± 【解析】 【分析】
利用点到直线的距离公式计算出焦点到渐近线的距离，然后根据对应距离等于焦距的14
求解出b
a 的值，
即可得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
因为焦点到渐近线的距离d b =
=，所以1242c
b c =⋅=，
所以22224c b a b ==+，所以
b a =
，
所以渐近线方程为：y x =.
故答案为：3
y x =±. 【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.
15．甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为15、14、1
3
，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________． 【答案】35
【解析】
分析：根据相互独立事件的概率乘法公式，目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，运算求得结果.
详解：目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，
故目标被击中的概率是111311115435
⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为
35
. 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系. 16．集合{}2{0,2},1,A B a ==，若{0,1,2,4}A B ⋃=，则实数a 的值为__________．
【答案】2± 【解析】 【分析】
根据并集运算法则计算得到答案. 【详解】 集合{}2{0,2},
1,A B a ==，若{0,1,2,4}A B ⋃=
则242a a =⇒=± 故答案为：2± 【点睛】
本题考查了集合的并集运算，属于简单题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设λ是正实数，（1+λx ）20的二项展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 20x 20，其中a 0，a 1，…，a 20 ，…，均为常数 （1）若a 3＝12a 2，求λ的值；
（2）若a 5≥a n 对一切n ∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范围． 【答案】（1）λ＝1 （1）56
1615
λ≤≤ 【解析】 【分析】
（1）根据通项公式可得C 3
20λ3＝11C 2
20λ1，解得λ＝1即可；
（1）假设第r+1项系数最大，根据题意列式
11
2020
11
2020
r r r r
r r r r
C C
C C
λλ
λλ
++
--
⎧≥
⎨
≥
⎩
，化简得
20121
11
r
λλ
λλ
-
≤≤
++
，再根据a5≥a n 对一切n∈{0，1，…，10}均成立，得到
201
45
1
21
56
1
λ
λ
λ
λ
-
⎧
≤≤
⎪⎪+
⎨
⎪≤≤
⎪+
⎩
，解不等式组即可得到答案.
【详解】
（1）通项公式为T r+1＝20r r r
C x
λ，r＝0，1，1， (10)
∴由a3＝11a1得，C320λ3＝11C220λ1，解得λ＝1．
（1）假设第r+1项系数最大，因为λ是正实数，依题意得
11
2020
11
2020
r r r r
r r r r
C C
C C
λλ
λλ
++
--
⎧≥
⎨
≥
⎩
，
解得
1
2120
r r
r r
λ
+
≤≤
--
，变形得
20121
11
r
λλ
λλ
-
≤≤
++
，
因为a5≥a n对一切n∈{0，1，…，10}均成立，
∴
201
45
1
21
56
1
λ
λ
λ
λ
-
⎧
≤≤
⎪⎪+
⎨
⎪≤≤
⎪+
⎩
∴
56
1615
56
1614
λ
λ
⎧
≤≤
⎪⎪
⎨
⎪≤≤
⎪⎩
，解得
56
1615
λ
≤≤．
【点睛】
本题考查了二项展开式的通项公式，考查了二项展开式中系数的最大值问题，属于中档题.
18．为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛．从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段[)
70,75，[)
75,80，[)
80,85，[)
85,90，[)
90,95，[]
95,100，到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a的值及样本的中位数与众数；
（2）若从竞赛成绩在[)
70,75与[]
95,100两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M,求事件M发生的概率.
（3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在[]
95,100内的为一等奖,得分在[)
90,95内的
为二等奖, 得分在[)85,90内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设ξ为获得三等奖的人数,求ξ的分布列与数学期望. 【答案】 (1)0.06；87.5；87.5；(2)7
15
；(3)详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据小矩形的面积之和等于1，列出方程，求得a 的值，根据中位数定义估计中位数的范围，在列出方程求解中位数，再根据众数的定义，即可求解.
（2）计算两组的人数，再计算抽取的两人在同一组的概率，即可求解；
（3）根据题意，得到随机变量服从二项分布，再利用二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】
（1）由频率分布直方图可知(0.050.0420.020.01)51a +++⨯+⨯=，解得0.06a =， 可知样本的中位数在第4组中，不妨设为x ，
则(0.010.020.04)5(85)0.050.5x ++⨯+-⨯=，解得87.5x =， 即样本的中位数为87.5，
由频率分布直方图可知，样本的众数为
8590
87.52
+=. （2）由频率分布直方图可知，在[)70,75与[]
95,100两个分数段的学生人数分别为2和4，设中两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ，
则事件M 发生的概率为22242
6715C C C +=，即事件M 发生的概率为7
15
. （3）从考生中随机抽取三名,则随机变量ξ为获得三等奖的人数,则0,1,2,3ξ=， 由频率分布直方图知，从考升中任抽取1人，此生获得三等奖的概率为0.0650.3⨯=， 所以随机变量服从二项分布(3,0.3)B ，
则312
3(0)(10.3)0.343,(1)0.3(10.3)0.441P P C ξξ==-===⨯⨯-=，
2233(2)0.3(10.3)0.189,(3)0.30.027P C P ξξ==⨯⨯-====，
所以随机变量的分布列为
所以()30.30.9E ξ=⨯=.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及随机变量的分布列及其数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟练频率分布直方图的性质，正确确定随机变量的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．椭圆，过点离心率为左右焦点分别为
（1）求椭圆C的方程
（2）过作不垂直轴的直线交椭圆于A,B两点弦AB的垂直平分线交轴于点，求证：为定值，并
求出这个定值
【答案】 (1)(2)4
【解析】
分析：⑴由椭圆过点，离心率为，即可求出结果
⑵设直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数之间的关系，算长度
详解：
点睛：本题主要考查了解析几何中椭圆的定值问题，在解答此类问题时要设点坐标和直线方程，利用根与系数之间的关系即可求出长度表达式，然后再求定值，需要一定的计算量，理解方法并能运用，本题有一定的难度．
20．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12,
12,
x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），过原点的两条直线12
,l l 分别与曲线C 交于异于原点的P 、Q 两点，且90POQ ∠=,其中1l 的倾斜角为[0,)4
π
αα∈，.以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 和1l 的极坐标方程； （2）求OP OQ +的最大值.
【答案】（1）=2cos +2sin ρθθ，=()R θαρ∈；（2）4 【解析】 【分析】
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，然后由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪
=⎨⎪=⎩
代入化简后得出曲线C 的极坐标方程，
由直线1l 过原点且倾斜角为α可直接得出直线1l 的极坐标方程； （2）由题干条件得出直线1l 、2l 的极坐标方程分别为θα=、024ππθαα⎛
⎫
=+
≤< ⎪⎝⎭
，然后将这两条直线的参数方程分别代入曲线C 的极坐标方程可得出OP 和OQ ，利用诱导公式以及辅助角公式化简得出OP OQ +关于α的三角函数表达式，并利用三角函数的性质求出最大值． 【详解】
（1）由C 消去参数得普通方程为()()22
112x y -+-=，
即2
2
220x y x y +--=，所以极坐标方程为2
2cos 2sin 0ρρθρθ--=， 即=2cos +2sin ρθθ.
1l 的极坐标方程为=()R θαρ∈.
（2）将θα=代入=2cos +2sin ρθθ得1=2cos +2sin ραα，
将+
2
π
θα=代入=2cos +2sin ρθθ得
2=2cos(+)+2sin(+)2
2
ππ
ραα2sin 2cos αα=-+
因为[0,
)4
π
α∈，所以OP OQ +12=+=4cos 4ρρα≤.
当0α=时， OP OQ +的最大值为4． 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，利用极坐标解决实际问题时，需注意极坐标适用于曲线上的点与原点线段长度相关的问题，解法步骤如下：
（1）将曲线方程用极坐标方程表示出来，并将与原点相连的直线用极坐标方程表示； （2）将直线方程与曲线的极坐标方程联立，求出线段长度关于极角的三函数； （3）利用三角恒等变换思想以及三角函数基本性质求解．
21．大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A 水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率. （1）求该超市A 水果日需求量n （单位：千克）的分布列；
（2）若该超市一天购进A 水果150千克，记超市当天A 水果获得的利润为X （单位：元），求X 的分布列及其数学期望.
【答案】 (1)分布列见解析. (2)分布列见解析；()743E X =元． 【解析】
分析：（1）根据表格得到该超市A 水果日需求量n （单位：千克）的分布列；（2）若A 水果日需求量为140千克，则X=140×（15﹣10）﹣（150﹣140）×（10﹣8）=680元，则P （X=680）=
5
50
=0.1．若A 水果日需求量不小于150千克，则X=150×（15﹣10）=750元，且P （X=750）=1﹣0.1=0.2．由此能求出X 的分布列和数学期望E （X ）． 详解：（1）n 的分布列为
（2）若A 水果日需求量为140千克，
则()()1401510150140X =⨯--- ()108680⨯-=元， 且()5
6800.150
P X ==
=. 若A 水果日需求量不小于150千克，
则()1501510750X =⨯-=元，且()75010.10.9P X ==-=. 故X 的分布列为
X
680 750
P
0.1 0.9
()6800.17500.9743E X =⨯+⨯=元.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.
22．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AA t =，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.
（1）若1t =，求异面直线1AC 与1A B 所成角的大小； （2）若5t =，求直线1AC 与平面1A BD 所成角的正弦值； （3）若二面角1A BD C --的大小为120︒，求实数t 的值.
【答案】（1）异面直线1AC 与1A B 所成角为90︒；（2）1AC 与平面1A BD
所成角的正弦值为
51
；（3）二面角1A BD C --的大小为120︒，t
【解析】
分析：（1）由题意可得1AC 和1A B 的坐标，可得夹角的余弦值； （2）求出平面1A BD 的法向量，即可求出答案；
（3）设()10
0A t ，，，表示出平面1A BD 的法向量和平面CBD 的法向量，利用二面角1A BD C --的大小为120︒，即可求出t.
详解：（1）当1t =时，()000A ，，，，()100B ，，，()1001A ，，，()1111C ，，， 则()1111AC =，，， ()1101A B =-，，，
故111111cos 0AC A B AC A B AC A B
⋅==⋅，
，
所以异面直线1AC 与1A B 所成角为90︒．
（2）当5t =时，()000A ，
，，()100B ，，，()010D ，，，()1005A ，，，()1115C ，，， 则()110
5A B =-，，，()1015A D =-，，， 设平面1A BD 的法向量()n a b c ，，=，
则由11
00A B n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得，5050a c b c ，，-=⎧⎨-=⎩
不妨取1c =，则5a b ==， 此时()551n =，，， 设1AC 与平面1A BD 所成角为θ，因为()1115AC =，，，
则111sin cos 5127AC n AC n AC n
θ⋅==
=
=⨯⋅，
所以1AC 与平面1A BD 所成角的正弦值为
51
． （3）由()10
0A t ，，得，()110A B t =-，，，()101A D t =-，，， 设平面1A BD 的法向量()m x y z ，，=，
则由1100
A B m A D m ⎧⋅=⎪
⎨
⋅=⎪⎩，得，00x zt y zt -=⎧⎨-=⎩，，
不妨取1z =，则x y t ==， 此时()t 1m t =，，， 又平面CBD 的法向量()10
0AA t =，，，
故1111cos 2
AA m AA m AA m
⋅=
=
=
⋅，，解得2
t = 由图形得二面角
1A BD C --大于
2
π
，所以符合题意． 所以二面角1A BD C --的大小为120︒，t 的值为2
． 点睛：本题考查空间向量的数量积和模长公式.。