勒让德多项式

y2su2inz2u2u0
1
r 2 sin2
2u
2

0
( R(r)( )( ) 代人(6.1)
1 r 2
d dr
r 2
dR dr
1
R r 2 sin
d
d
sin
(1

x2
)
d2P dx2

2x
dP dx


n(n

1)

1
m2 x2
P

0
(6.7)
如 果u(r, , )和无 关,则( ) 常数，
根
据
d 2
d 2

m2

0，
得
到 m

0
(1
x2)
d2P dx2

2x
dP dx

n(n

1)P

0
(6.8)
(6.8)称为勒让德方程

11 11
sisni2n2
dd2dd222

n(ln

1)
(6.2) (6.3)
为了以后需要，将常数l记为n(n+1)， 其中n可以为实数
也可以为复数。
把 (6.2)化简
R1r 2drd22rR2dd2rR22r d2dRrr ddRrn(nn1(n)R1)0
1
sin
d
d
sin

d
d
n(n 1)sin2


1
d 2
d 2
左端只和 有关，右端只和 有关，因此两端只能是常数
1 sin

d
d
sin

d
d
n(n 1)sin2


1
d 2
d 2


d 2
d 2



0
( )以2为周期
1 sin d sin d n(n 1)sin2 d d
类似于P102的讨论， m2 , m 0,1,2,... m B1 cos m B2sinm
d 2
d 2

m2

0
(6.4)
1 sin

d
d
1
R r 2 sin2
d 2
d 2

0
两端除以
1 r2
R 只和r有关
只和 有关
11 dd rr22ddRR1 RRddrr ddrr
11 1 d
sinsind
dsinsindd1 d dd
化简得
d 2
d 2

cot
d
d

n(n

1)
m2
sin2


0
该方程称为连带的勒让德方程。
(6.5) (6.6)
d 2
d 2

cot
d
d

n(n
1)
m2
sin2


0
(6.6)
如果令 x cos , 把 ( ) 记为 P( x) ，则(6.6)变成
d
sin
d

n(n 1)sin2

2
m
d d
(6.5)
1 sin
d
sin
d

n(n 1)sin2

2
m
d d
同乘
sin2
1
sin
d
d
sin

d
d


s
m2
in2
n(n 1) 0
这显然是一个欧拉方程，它的通解为
R(r ) A1r n A2r (n1) , A1, A2为任意常数
考虑方程(6.3), 用 sin2 乘它的两端
11
ssiinn
dd
dd
ssiinn
dddd
n1(ndd221)sin2n(n1)1sindd222
第六章 勒让德多项式
这一章， 通过在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离 变量，引出勒让德方程，并讨论这个方程的解法和解的相 关性质。勒让德方程在区间[-1,1]上的有界解构成另一类 正交函数系。
§6.1 勒让德方程的引出
考虑球坐标系中拉普拉斯方程
1 r2
r
r 2
u r

r22us1inx2u2
s1in1s2in12dd2dd222 0
=l
因此，要相等就只有两端都是常数才行。
1 1d d r2rd2 RdR n(ln 1)
RRdrdr drdr
1 1 1 1 d d
sisnindd
sisnindddd