(新课标)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 定积分与微积分基本定理(理)习题-

2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 定积
分与微积分基本定理(理)习题
A 组 基础巩固
一、选择题
1．下列值等于1的是导学号 25400536( ) A ．⎠⎛01x d x
B ．⎠⎛0
1(x ＋1)d x
C ．⎠⎛0
11d x D ．⎠⎛0
112
d x [答案] C
[解析] ⎠⎛0
11d x ＝x |1
0＝1.
2．(2015·某某某某一中期末)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平
面区域的面积为导学号 25400537( )
A ．⎠⎜⎛0π
2 (sin x －cos x )d x B ．2⎠⎜⎛0π
4 (sin x －cos x )d x
C ．⎠⎜⎛0
π
2 (cos x －sin x )d x D ．2⎠⎜⎛0
π
4 (cos x －sin x )d x
[答案] D
[解析] 当x ∈[0，π2]时，y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象的交点坐标为(π4，2
2)，作图可
知曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平面区域的面积可分为两部分；一部
分是曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
4
所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线
y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝π4，x ＝π2
所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，
结合定积分定义可知选D ．
3．若a ＝⎠⎛02x 2
d x ，b ＝⎠⎛02x 3
d x ，c ＝⎠⎛0
2sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是导学号 25400538
( )
A ．a ＜c ＜b
B ．a ＜b ＜c
C ．c ＜b ＜a
D ．c ＜a ＜b
[答案] D
[解析] a ＝⎠⎛02x 2
d x ＝13x 3|20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14
x 4|20＝4，c ＝⎠⎛0
2sin x d x ＝－cos x |20＝1－cos2
＜2，∴c ＜a ＜b .
4．(2015·某某某某一模)如图所示，曲线y ＝x 2
－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为导学号 25400539( )
A ．⎠⎛02|x 2
－1|d x B ．|⎠⎛0
2(x 2
－1)d x |
C ．⎠⎛0
2(x 2－1)d x D ．⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛1
2(1－x 2
)d x
[答案] A
[解析] 由曲线y ＝|x 2
－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即
⎠⎛0
2|x 2
－1|d x ，选A ．
5．(2015·某某某某教学质量检查)已知复数z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则⎠⎛0
a (4－x 2
＋x )d x 的值为导学号 25400540( )
A ．2＋π
B ．2＋π2
C ．4＋2π
D ．4＋4π
[答案] A
[解析] 因为复数z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，所以a －2＝0，a ＝2.
⎠⎛0
2(4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛0
24－x 2d x ＋⎠
⎛0
2
x d x ＝π＋12x 2|20＝π＋2，故选A ． 6．(2015·某某某某模拟)如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x (x ∈(0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为1
4
，则a 的值是导学号 25400541( )
A ．7π
12
B ．2π
3
C ．3π
4
D ．5π6
[答案] B
[解析] 由题意知，构成试验的全部区域是矩形OACB ，面积为ax ·6
a
＝6.记“向矩形OABC
内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A ，则构成事件A 的区域即为阴影部分面积，
S ＝⎠⎛0
a sin x d x ＝－cos x |a 0＝1－cos a ，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝
1－cos a 6＝1
4
，所以cos a ＝－1
2
.
又a ∈(0，π)，所以a ＝2π
3.
二、填空题
7.⎠⎛0
1(e x
＋x )d x ＝________.导学号 25400542
[答案] e －1
2
[解析] ⎠⎛0
1(e x ＋x )d x ＝(e x
＋12x 2)|10＝e ＋12
－1
＝e －1
2
.
8．(2015·某某某某质检)⎠⎛0
1－x 2
＋2x d x ＝________.导学号 25400543
[答案]
π4
[解析] ⎠⎛0
1－x 2
＋2x d x 表示
y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．
由y ＝－x 2
＋2x 得(x －1)2
＋y 2
＝1(y ≥0)． 又∵0≤x ≤1，
∴y ＝－x 2
＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴⎠
⎛0
1
－x 2
＋2x d x ＝π4
.
9．设a ＝⎠⎛0
πsin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x
＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为
________.导学号 25400544
[答案] 4＋2ln2
[解析] ∵a ＝⎠⎛0
πsin x d x ＝(－cos x )|π
0＝2，
∴f (x )＝x ·2x
＋2x －2. ∴f ′(x )＝2x
＋x ·2x
ln2＋2.
∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝4＋2ln2.
10．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.导学号 25400545
[答案]
2e
2 [解析] 因为函数y ＝e x
与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又函数y ＝e x
与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛0
1e x
d x )＝2
e －
2e x |1
0＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝
S 阴影S 正方形＝2
e 2
. 三、解答题
11．(1)A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站．电车行驶t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点的速度达24 m/s ，从C 点到B 点站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：
①A ，C 间的距离；②B ，D 间的距离．
(2)设力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2
＋1且和x 轴正向相同，求力F (x )对质点M 所作的功.导学号 25400546
[答案] (1)①240 m ②240 m (2)342 J
[解析] (1)①设A 到C 经过t 1 s ，由1.2t 1＝24， 得t 1＝20 s ．所以AC ＝∫20
01.2t d t ＝0.6t 2|20
0＝240(m)． ②设从D 到B 经过t 2 s ，由24－1.2t 2＝0，得t 2＝20 s. 所以DB ＝∫20
0(24－1.2t )d t ＝240 m. (2)W ＝∫10
1F (x )d x ＝∫10
1(x 2
＋1)d x ＝(13
x 3＋x )|10
1＝342. ∴力对质点M 所作的功为342 J.
12．定义一个对应法则：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．现有直角坐标平面内的点A (1,9)与点B (9,1)，点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则：M →M ′，当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，求由点M 的对应点M ′的轨迹与圆(x －2)2
＋(y －5)2
＝17所围成的曲线M ′下方部分的面积.导学号 25400547
[答案] 43＋17π
2
[解析] 由题意知点M 所在直线的方程为x ＋y ＝10(1≤x ≤9)，设点M (t,10－
t )(1≤t ≤9)，M ′(x ，y )，则⎩⎨
⎧
x ＝t
y ＝10－t
，即点M ′的轨迹方程为y ＝10－x 2
(1≤x ≤3)．因
为过(1,9)，(3,1)两点的直线方程为y ＝－4x ＋13，由题意知，所求面积由曲线y ＝10－
x 2(1≤x ≤3)与直线y ＝－4x ＋13围成的面积加半圆的面积组成，即所求面积S ＝⎠⎛1
3[(10－x 2
)
－(－4x ＋13)]d x ＋π2×17＝⎠
⎛1
3(－x 2
＋4x －3)d x ＋17π2＝43＋17π2.
B 组 能力提升
1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
ln x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0
a 3t 2d t ，x ≤0，
f (f (1))＝8，则实数a 的值为
导学号 25400548( )
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．－2
[答案] B
[解析] 因为f (1)＝ln1＝0，f (0)＝0＋⎠⎛0
a 3t 2
d t ＝t 3|a
0＝a 3
，所以由f (f (1))＝8得，a
3
＝8，解得a ＝2.
2．设a ＝∫
π2－π22cos(x ＋π4)d x ，则二项式(a x －1x
)6
的展开式中x 的系数为导学号 25400549( )
A ．240
B ．193
C ．－6
D ．7
[答案] A [解析] 由于∫
π2－π22cos(x ＋π4)d x ＝∫π2－π2(cos x －sin x )d x ＝∫π2－π
2
cos x d x ＝－∫π2－π2sin xdx ＝2，则a ＝2，(a x －1x )6＝(2x －1x )6的展开式中x 的系数为C 2624
(－
1)2
＝240，故选A ．
3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为AC 的中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线的顶点，点B ，D 在抛物线上，在矩形内随机地投一点，则此点落在阴影部分的概率为________.导学号 25400550
[答案] 13
[解析] 取BD 的中点E ，以O 为坐标原点，OE 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则抛物线方程为y 2
＝x ，曲边三角形AOB 的面积为1－⎠
⎛0
1x d x ＝1－23x 32|10＝13，
又矩形ABDC 的面积为2，根据几何概型的概率计算公式得，此点落在阴影部分的概率为
13
×22＝13
. 4．(2015·某某某某二中模考)已知函数f (x )＝ln|x |(x ≠0)，函数g (x )＝
1
f ′x
＋
af ′(x )(x ≠0).导学号 25400551
(1)当x ≠0时，求函数y ＝g (x )的表达式；
(2)若a ＞0，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2，求a 的值；
(3)在(2)的条件下，求直线y ＝23x ＋7
6与函数y ＝g (x )的图象所围成图形的面积．
[答案] (1)g (x )＝x ＋a x
(2)a ＝1 (3)7
24
＋ln3－2ln2 [解析] (1)∵f (x )＝ln|x |，
∴当x ＞0时，f (x )＝ln x ，f ′(x )＝1
x
，
当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )，f ′(x )＝1－x ·(－1)＝1
x .
∴当x ≠0时，函数y ＝g (x )＝x ＋a
x
. (2)由(1)知当x ＞0时，g (x )＝x ＋a x
，
∴当a ＞0，x ＞0时，g (x )≥2a ，当且仅当x ＝a 时取等号． ∴函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2a . ∴依题意得2a ＝2.∴a ＝1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝23x ＋7
6
，y ＝x ＋1
x
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝32y 1
＝13
6
，⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＝2y 2＝5
2.
∴直线y ＝23x ＋76与函数y ＝g (x )的图象所围成图形的面积S ＝⎠⎛232[(23x ＋76
)－(x ＋1
x )]d x
＝7
24
＋ln3－2ln2. 5．(2014·某某联考)学校操场边有一条小沟，沟沿是两条长150米的平行线段，沟宽
AB 为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面
垂直，沟深2米，沟中水深1米.导学号 25400552
(1)求水面宽；
(2)如图①所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？
(3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切，(如图②所示)，问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？
[答案] (1)2米 (2)1002立方米 (3)
2
2
米 [解析] (1)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2
，－1≤x ≤1.
则由抛物线过点B (1,2)，可得a ＝2.
于是抛物线方程为y ＝2x 2
，－1≤x ≤1.当y ＝1时，x ＝±
2
2
，由此知水面宽为2米． (2)V ＝2×150⎠⎜⎛0
22 (1－2x 2
)d x ＝300[22－23(22)3]＝1002(立方米)．
(3)为使挖的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切． 设切点P (t,2t 2
)(0＜t ≤1)是抛物线弧OB 上的一点，过点
P 作抛物线的切线得到如图所示的直角梯形OCDE ，则切线CD 的方程为y －2t 2＝4t (x －t )，于是C (1
2t,0)，D (1
2t ＋1
2t
，2)．
记梯形OCDE 的面积为S ，则S ＝(t 2＋t 2＋1
2t
)≥2，
当且仅当t ＝12t ，t ＝22时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为2
2
米时，所挖的土最少．。