高考数学压轴专题2020-2021备战高考《集合与常用逻辑用语》易错题汇编含解析

新数学《集合与常用逻辑用语》专题解析(1)
一、选择题
1．给出如下四个命题：
①“250x x -<”是“|1|1x -<”的充分而不必要条件；
②命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为真命题； ③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；
④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件．
其中正确的命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论.
【详解】
①由250x x -<，解得05x <<；由|1|1x -<，解得02x <<；
所以，“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故命题①错误；
②由函数()221f x ax x =+-有一个零点，当0a =时，函数()21f x x =-有一个零点，符合题意；当0a ≠时，由440a D =+?，解得1a ≥-，此时函数有一个零点； 所以，函数()2
21f x ax x =+-有一个零点的等价条件为1a ≥-， 故命题“若1a =-，则函数()2
21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为“函数()221f x ax x =+-有一个零点，则1a =-”此命题为假命题，故命题②错误； ③若p 是q 的必要条件，可得q p ⇒，则p q ⌝⇒⌝，所以p ⌝是q ⌝的充分条件，故命题③正确；
④在ABC ∆中，若A B >，由于A B π+<，必有B A π<-，若A ，B 都是锐角，有sin sin A B >成立；若A ，B 之一为锐角，必是B 为锐角，此时有A π-不是钝角，由于
A B π+<，必有2
B A ππ<-≤，此时有()sin sin sin A A B π-=>； 若sin sin A B >，当A 不是锐角时，有A B >，当A 为锐角时，仍可得到A B >； 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故命题④错误.
综上，命题③正确.
故选：A.
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.
2．集合{}|12A x x =-<，1393x B x
⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B I 为( ) A ．()1,2
B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3-
【答案】B
【解析】
【分析】 计算得到{}13A x x =-<<，{}
12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案.
【详解】 18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I .
故选：B .
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
3．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤2
n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断.
【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①
错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得
22
m n m n +-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110
221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩
，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
4．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“
1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】 【分析】 x y <，不能得到1x y <， 1x y
<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】
因为x ，y R ∈， 当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y
=>，
故x y <时，1x y
<不成立， 当1x y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1x y <”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
5．设
，则"是""的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得到充分性，验证
得出不必要，得到答案. 【详解】
，当
时，，充分性； 当
，取，验证成立，故不必要.
故选：.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
6．给出下列命题，则假命题的个数是（ ）
①若,,a b c ∈R ，则“a b >”的充要条件是“22ac bc >”；
②给定两个命题p ，q ，p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的充分不必要条件； ③设,x y R ∈，若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠；
④命题“若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根”的否命题．（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】
【分析】
当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④.
【详解】
若a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，故 22ac bc >是a b >的充分不必要条件，故①错误；
若p ⌝是q 的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，q ⌝是p 的必要不充分条
件，即p 是q ⌝的充分不必要条件，故②正确；
若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠的逆否命题为若3x =且4x =，则7x y +=，显然逆否命 题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；
若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根的否命题为若0m ≤，则方程
2230x x m +-=无实根，
显然是假命题，因为0m =时，方程就有实根，故④错误.
故选：C
【点睛】
本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
7．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ） A ．{}
13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<< 【答案】C
【解析】
【分析】 解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð.
【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤. {}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.
【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
8．“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ） A ．“6m =”
B ．“67m <<”
C ．“57m <<”
D ．“57m <<”且“6m ≠”
【解析】
【分析】
由椭圆的定义可列出m 满足的不等式组，从而求出m 的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件．
【详解】 因为方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆， 则由椭圆的定义可知：705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩
，解得：57m <<且6m ≠，
所以“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“57m <<且6m ≠”， Q “57m <<”推不出“57m <<且6m ≠”，反之可推出，
所以“57m <<”是方程“22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 所以“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“57m <<”． 故选：C ．
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.
9．“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先分析“4a ≤-”能否推出“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”，这
是必要性分析；然后分析“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”能否推出“4a ≤-”，这是充分性分析，然后得出结果.
【详解】
若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增，
取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件.
充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.
10．给出下列说法：
①“tan 1x =”是“4x π
=”的充分不必要条件；
②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30；
③命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x
∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C
【解析】
【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果.
【详解】
对于①，当4x π
=时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4x k k π
π=+∈Z ，
所以“tan 1x =”是“4x π
=”的必要不充分条件，所以①不正确；
对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以5b =，
所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；
对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+
≥R ”的否定形式是“1,2x x x
∀∈+<R ”，所以③不正确； 故错误说法的个数为2.
故选：C.
【点睛】 本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..
11．已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b
>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B
因为22
2131331()44244
x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，选B.
12．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
13．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．
14．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】 由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R
>⇔
>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.
15．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是
A ．M N N =I
B ．()U M N =∅I ð
C ．M N U =U
D ．()
U M N ⊆ð
【解析】
【分析】
求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．
【详解】
由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．
故选A ．
【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．
16．已知集合{|21
}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2)
B ．[1,2)
C ．(2,3)
D ．(0,1]
【答案】B
【解析】
【分析】 由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】 由题意，可求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，则[]1,3R C A =， 所以()[)1,2R C A B ⋂=.故选B.
【点睛】
本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
17．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111()22x a x x x
+<=+恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.
【详解】
若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，
则[]1,2x ∀∈，2
12x ax +>，即2111()22x a x x x +<=+恒成立，
11()12x x +≥=Q ，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞.
故选：C ．
【点睛】
此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.
18．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记
(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= .
【详解】
若(),0a b ϕ=，
0a b -=a b =+
两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =
当0a =0b b b =-= ，
0b ∴≥ ，即a 与b 互补，
同理0b =时，a 与b 互补，
反过来，当0ab =时，
0a b -= ，
即(),0a b ϕ= ，
故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补
(),0a b ϕ⇒=.
19．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）
A ．3(3,)2
-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)2
【答案】D
【解析】 试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以
3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
20．已知命题0:(0,)
p x ∃∈+∞200x x >；命题1:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，12222x x -+>下列命题中是真命题的为（ ）
A ．q ⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∧
D ．()()p q ⌝∨⌝ 【答案】C
【解析】
【分析】
分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案.
【详解】
取012x =21122⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故命题p 为真； 因为1122222x x x x --+≥⋅=12
x =
时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。