立体几何 选填压轴 最值(1)

专题 最值
最值处理方法基本分为两类，一类是位置最值，另一类是函数最值
类型一 位置最值
例 1 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥
ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）【答案】144π
例2
【答案】C
【思路】先找到p 所处的线段，然后用正切，对不变，斜越小越好.
例3 （2017大连双基考试20170302）16 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，过正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 的截面面积为s ，则s 的取值范围是_
【答案】6
[
,2]2
例4（2019哈三中开学考文科）
【答案】4π
【提示】找到截面面积最小的位置即可，属于位置最值问题
类型二 函数最值
例1 （2018辽宁五校联考 第16题）如图，在直三棱柱
111A B C ABC -中， π
2
BAC ∠=
， 11AB AC A A ===，已知G 与E 分别是棱11A B 和1CC 的中点， D 与F 分别是线段AC 与
AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段DF 的长度
的取值范围是__________．【答案】 【解析】如图，以为原点，]， ， 分别为， ， 轴，建立空间直
5,25⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
A A
B A
C 1AA x y z
角坐标系.， ， ， ， ， ∵，∴，
，当时， ，当时，（不包含端点故不能取），，∴长度取值为． 例2.如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，1,12
BAC AB AC A A π
∠=
===，
已知G 与E 分别是棱11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）.若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围
是 ．【答案】5,15⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
例3 如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别 是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ， AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。

当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3
）的最大值为___。

【答案】415
【解析】如下图，设正三角形的边长为x ， 则1332OG x =⨯36x =∴3
56FG SG x ==-，
22
22
33566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3553⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ∴三棱锥的体积1133553343ABC V S h x ∆⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
4
51535123x x =-. 令()4
5353b x x x =-，则()3453'203n x x x =-，令()'0n x =，43
403
x x -= ，43x =， max 75
485441512
V =
⨯⨯-=. 例4 如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂 足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折 起，使∠BDC=90°（如图2所示），当BD 的长为多少时， 三棱锥A ﹣BCD 的体积最大
()0,0,0A 10,1,
2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,0,12G ⎛⎫ ⎪⎝⎭
(),0,0F x ()0,,0D y GD EF ⊥210x y +-=22DF x y =
+()
2
212y y =
-+2
21555y ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭25y =min 55DF =
1y =1y =2max 2DF =DF 5,25⎡⎫
⎪⎢
⎪
⎣⎭
【解答】设BD=x ，则CD=3﹣x ∵∠ACB=45°，AD ⊥BC ，
∴AD=CD=3﹣x ∵折起前AD ⊥BC ，∴折起后AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，
BD∩DC=D∴AD ⊥平面BCD ∴V A ﹣BCD =×AD ×S △BCD =×（3﹣x ）××x （3﹣x ）=（x 3
﹣6x 2
+9x ） 设f （x ）=（x 3﹣6x 2+9x ） x ∈（0，3），∵f′（x ）=（x ﹣1）（x ﹣3），∴f （x ）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f （x ）取最大值∴当BD=1时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大；
例5 （2018长春一模理科）16．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为 ．【答案】
【解析】设圆锥的底面圆半径为
，有
，当时函数
为增函数，当时函数为减函数，从而当时体积取最大值.
例6 （2016沈阳二模理科）已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱 柱的体积最大时，三棱柱的高为 ．【答案】
3
例7 （2018沈阳一模文科）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =最大时，它的高为 ．【答案】
6
例8 已知球
O 的半径为1，点A,B,C 是球大圆上的任意三点，点P 是球面上的任意一点，则三棱锥P ABC -的最大体积为__________.
例9 设A,B,C,D 四点是半径为3的球面上四点，则三棱锥A BCD -的最大体积为__________.
【答案】 38
补充 ：还有一类利用点的轨迹的几何意义 例1
【答案】(03)<<r r 11
33π=V r 2(09)=<<t r t 1
3
=V 2329,3183(6)'=-=-+=--y t t y t t t t 06<<t 69
<<t 6=t
【提示】阿波罗尼斯圆定义
例2设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在
的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（）
A. B. C. 1 D. 【答案】A
【解析】设在平面上的射影为在平面上的射影为，平面与平
面和平面成的锐二面角分别为，则，
，设到距离为，则
，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为，故选A.
第3题
【提示】F点轨迹为抛物线。