郑州轻工业学院期末高数考试A卷及标准答案

郑州轻工业学院

2012-2013学年第二学期期末考试 高等数学IIB 试卷A

试卷号：A20130621

一、单项选择题(每题3分，共15分)

1、函数x e y 23=是方程04=-''y y 的 （ B ）

（A ）通解；（B ）特解；（C ）解，但既非通解也非特解；（D ）以上都不对．

2、tdt dx d x

⎰12ln =（ D ） （A ）x ln 2； （B ）t 2ln ； （C ） x 2ln ； （D ）x 2ln -．

3、已知x

f ∂∂>0，则（ A ） （A ）),(y x f 关于x 为单调递增； （B ）0),(>y x f ；

（C ）22x

f ∂∂>0； （D ）)1(),(2+=y x y x f ． 4．设曲线积分

dy x y dx y C )(2ϕ+⎰与路径无关，其中)(x ϕ具有连续的导函数，且)0(ϕ=0，则dy x y dx y )()

1,1()0,1(2ϕ+⎰= ( B )

（A ）０； （B ）１ ； （C ）

43； （D ）２． 5、下列级数中发散的是（ C ） （Ａ）)1(1)1(1+-∑∞=n n n n

； （Ｂ）211)1(n n n ∑∞=-； (Ｃ）1)1(1+-∑∞=n n n n

； （Ｄ）n n n 1)1(11∑∞=+-． 二、填空题(每题3分，共15分)

1．幂级数0n n

n a x ∞=∑在3x =-时条件收敛，则0n n n a x ∞=∑的收敛半径R = __3____ ．

2、曲线⎪⎩

⎪⎨⎧-=-=2252121x z x y 在点（1，－1，－２）处的切线方程为522111-+=-+=-z y x

3、设31:22≤+≤y x D ，则

=⎰⎰D dxdy π2 4．若22()()xy ay dx x y bx dy +++是某个二元函数的全微分，则常数a b 、满足 a =b ．

5、通解是)2sin 2cos (21x c x c e y x

+=的微分方程是 052=+'-''y y y 三、解答题（每题6分，共30分）

1、求⎰e

xdx 1ln ．

解：原式=⎰-e x xd e x x 1ln 1

ln …………3分 ⎰-=e dx e 1

1 …………5分 =1 …………6分

2、求幂级数11n n nx

∞-=∑的和函数．

解 收敛半径 1lim lim 11

n n n n a n R a n →∞→∞+===+ ……1分 又1±=x 时级数都发散，故该幂级数的收敛域为)1,1(-．……2分

(1,1)x ∀∈-，设和函数为()s x ，即

则 111

()()n n n n s x nx

x ∞∞-=='==∑∑ ………４分 1()n n x ∞='=∑ ………5分

21()1(1)

x x x '==-- ，(1,1)x ∈- ………6分 3、求⎰⎰-22

02x

y dy e dx ． 解： 交换积分次序 ⎰⎰-=y y dx e dy 0

202原式 …………2分 ⎰-=202

dy ye y …………4分

20221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-y e )1(2

14--=e …………6分 4、求xyz xy x u ++=在点M 0（1，2，-1）处的梯度.

解 由 yz y u x ++=1；

xz x u y +=；

.xy u z = ．．．．．．３分 得 1)1,2,1(=-x u ，0)1,2,1(=-y u ，2)1,2,1(=-z u ， ．．．．．４分 故k i gradu 2)1,2,1(+=-． ．．．．．６分

5．已知曲线L 的方程为1||([1,1])y x x =-∈-，起点(1,0)-，终点(1,0)，求曲线积分

2L xydx x dy +⎰．

解：设1L 为1([1,0])y x x =+∈-，2L 为1([0,1])y x x =-∈，则21L L L +=. ……1分 原式=21L xydx x dy +

⎰+22L xydx x dy +⎰ ……2分 012210[(1)][(1)]x x x dx x x x dx -=+++--⎰⎰ …… 4分 =0 …… 6分

四、解析题（每小题８分，本题满分１６分）

1．判定级数∑∞=+-01ln )

1(n n n

n 是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：设)11ln(1ln

n n n u n +=+=，显然有 0lim ,n 1=≤∞→+n n n u u u 且 ，由莱布尼茨定理可知原交错级数收敛. …… 3分

又),(11)11ln(∞→→+n n

n 而∑∞=11n n 发散，故由比较审敛法得级数∑∞=+0

1ln n n n 发散.… 7分

综上可知原交错级数条件收敛. …… 8分

线

订

2．设函数)(x ϕ连续，且满足

⎰⎰-+=x x

dt t x dt t t x x 00)()()(ϕϕϕ，求)(x ϕ． 解 方程两边关于自变量x 求导两次，得

⎰-

=x dt t x 0)(1)('ϕϕ， )()(''x x ϕϕ-=， ．．．．．．2分 所以有

⎩⎨⎧===+1

)0(',0)0(0)()(''ϕϕϕϕx x ． ．．．．．．4分

齐次方程的特征方程为 012=+r ，特征根为 i r i r -==21,， ．．．．．．5分

齐次通解为 x C x C sin cos 21+=Φ ．．．．．．6分 代入初始条件，得 1,021==C C ． ．．．．．．7分 所以得 x x sin )(=ϕ． ．．．．．．8分

五、证明题（本题满分8分） 设(),z xy xF u =+而)(,u F x

y u =为可导函数，证明：.z z x y z xy x y

∂∂+=+∂∂． 证明 ()()()()z u y y F u xF u y F u F u x x x

∂∂''=++⋅=+-∂∂， ………3分 ()()z u x xF u x F u y y

∂∂''=+⋅=+∂∂ ………6分 则 2().z z x y xy xF u z xy x y

∂∂+=+=+∂∂ 故等式成立． ………8分

六、应用题（每小题8分，共16分）

１、求平面c z =)0(>c 与椭圆抛物面)(2122

22b

y a x z +=所围立体的体积.