安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次素质拓展数学

2024-2025学年第一学期合肥一中高三数学素质拓展三
满分：150分
时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合ππ{|0π},|,Z 32k A B k ααββ⎧
⎫
=<<==
+∈⎨⎬⎩
⎭
，则A B = （）
A ．π2⎧⎫⎨⎩⎭
B ．π,6π2⎧⎫⎨⎩⎭
C ．ππ5π626⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
,,D ．π5π,66⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()43P ,-，则3πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2425
-
B ．725
-
C ．
725
D ．
2425
3．已知()1
sin 3
αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）
A ．
16
B ．
13
C ．
12D ．
23
4．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）
A ．1()cos f x x x
x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭B ．1()sin f x x x
x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭C ．1()ln f x x x
x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()cos f x x x
x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭5．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足23bc a =，且7
2
b c a +=，则sin A =（）
A B ．
8
C ．
23
D ．
38
6．已知函数()212ln 22=--f x x ax x 在1,42x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上存在单调递增区间，则实数a 的取值范
围为（）
A ．1,2⎛
⎫-∞- ⎪
⎝⎭B ．1,2⎛
⎤-∞- ⎥
⎝
⎦C ．()
,4-∞D ．(]
,4∞-7．已知函数()π2sin 21,06f x x ωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭的定义域为[]0,π，在定义域内存在唯一0x ，使
得()03f x =，则ω的取值范围为（）
A ．113,1212⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦B ．113,1212⎡⎫⎪
⎢⎣⎭C ．17,66⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
D ．17,66⎡⎤⎢⎣⎦
8．已知定义域为R 的函数()f x ，满足()()()()()11f x f y f x y f x f y --++=，且
()()00,10f f ≠-=，则以下选项错误的是（）
A ．()10
f =B ．()f x 图象关于()2,0对称C ．()f x 图象关于()1,0对称
D ．()f x 为偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题是真命题的是（）A ．若1a b >>，则11a b b a
+
>+B ．函数228y x x =--的零点是(2,0)-和(4,0)C ．2320x x -+<是2x <成立的充分不必要条件
D ．若x ∈R ，则函数
y =210．设ω为正实数，已知函数()π4sin 3f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下列结论正确的是（
）
A ．当1ω=时，函数()f x 的图象的一条对称轴为5π
6x =
B ．已知()14f x =-，()24f x =，且12x x -的最小值为π
2
，则2ω=C ．当2ω=时,函数()f x 的图象向左平移
π
12
个单位长度后，得到函数()4cos2g x x =D ．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围是10,3⎛⎤
⎥
⎝⎦11．已知函数()2
2tan sin cos 1tan x
f x x x x
=+-+，则（）
A ．()f x 的图象关于直线πx =对称
B ．()f x 是周期函数，且其中一个周期是
π2
C ．()f x 的值域是1,1⎤-⎦
D ．()f x 在ππ
,42
⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知()f x 是偶函数，当0x >时，()21x
f x =-，则21lo
g 3f ⎛⎫=
⎪⎝
⎭.13．当[]0,2πx ∈时，曲线sin y x =与π2sin 24y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的交点个数为
.
14．已知函数()e e 2sin 1x x f x x -=--+，不等式()22023e (2ln )2x
f a x f x x -++≤对任意的
(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的最大值为
．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知函数π()sin 2cos cos 2sin (0||)2f x x x ϕϕϕ=+<<，对x ∀∈R ，有π
()|(|3
f x f ≤．
(1)求ϕ的值及()f x 的单调递增区间；(2)若00π1
[0,],(43
)x f x ∈=时，求0sin 2x ．
16．已知函数()ln f x x a x =-．
(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间；
(3)若关于x 的方程ln 0x a x -=有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：
()01a x a ->．
17．已知函数2
())12cos
(0,0π)2
x f x x ωϕ
ωϕωϕ+=++-><<为奇函数，且()f x 图象
的相邻两对称轴间的距离为π．(1)求()f x 的解析式；
(2)将函数()f x 的图象向右平移
π
3个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12
（纵坐标不变），
得到函数()y g x =的图象，当π
[,π]4
x ∈-时，求方程2()()60g x g x ++=的所有根之和．
18．已知函数cos 1
(),()x f x g x ax x x
=
=-．(1)若函数2()cos 1h x x ax =+-在(0,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，求实数a 的取值范围．
19．当一个函数值域内任意一个函数值y 都有且只有一个自变量x 与之对应时，可以把这个函数的函数值y 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由3,R y x x =∈，得,R 3
y
x y =∈，通常用x 表示自变量，则写成,R 3x y x =
∈，我们称3,R y x x =∈与,R 3
x
y x =∈互为反函数．已知函数()f x 与()g x 互为反函数，若,A B 两点在曲线()y f x =上，,C D 两点在曲线()y g x =上，以,,,A B C D
四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y x =垂直，则我们称这个矩形为()f x 与()g x 的“关联矩形”．
(1)若函数()f x =
11,4A y ⎛⎫
⎪⎝⎭
在曲线()y f x =上，求以点A 为一个顶点的“关联矩形”
的面积．
(2)若函数()ln f x x =，
且()f x 与()g x 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S ．证
明：2
122S ⎫>⎪⎭．1ln 20-<）
1．C
【分析】由集合的交集运算即可求解.
【详解】因为ππ{|0π},|,Z 32k A B k ααββ⎧
⎫=<<==
+∈⎨⎬⎩
⎭
，所以ππ5π,
626A B ⎧
⎫
=⎨⎬⎩⎭
,，
故选：C.2．D
【分析】利用三角函数的定义先计算sin ,cos αα，再根据诱导公式和二倍角公式计算即可.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()43P ,-，所以
4
cos 5α=
=-，3
sin 5α=，
则3π424
cos 2sin 22sin cos 225525
3αααα⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⨯-⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D ．3．D
【分析】先应用同角三角函数公式切化弦，再应用两角和与差的正弦公式计算即可.【详解】由tan 3tan αβ=，得
sin sin 3cos cos αβ
αβ
=，所以sin cos 3cos sin αβαβ=，又()1
sin sin cos cos sin 3
αβαβαβ-=-=，
所以1cos sin 6αβ=
，1sin cos 2
αβ=，所以()2
sin sin cos cos sin 3
αβαβαβ+=+=．故选：D.4．D
【分析】由(0,1)x ∈时()0f x <即可排除A ；由奇偶性可排除B ；1x =时1ln x x x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭0，则
可排除C ，故答案可求.
【详解】对于A ，当(0,1)x ∈时，()0f x <，排除A ；
对于B ，因为11()sin()sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫-=---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭()f x ，
所以函数1()sin f x x x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭为偶函数，与函数图象不符，排除B ；
对于C ，当0x >时，由1ln x x x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭0，得1x =，排除C ，
故选：D ．5．B
【分析】由已知及余弦定理求cos A ，再应用平方关系求正弦值.
【详解】由题设
2
22
2
2
2
2
2
2496()274cos 2268
a a a
b
c a b c bc a A bc bc a --+-+--====
，
由三角形内角性质，知sin 8
A =.故选：
B 6．C
【分析】将问题转化为导函数在区间1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上大于零有解，分离参数结合二次函数的性质计
算范围即可.
【详解】由题意知()22f x ax x -'=
-，问题等价于′>0在区间1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上有解，即2
222111
222
a x x x ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭有解，而111,4,224x x ⎛⎫⎛⎫∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由二次函数的性质知2
11112,4222x ⎛⎫⎡⎫
--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
，即4a <.
故选：C.7．C
【分析】化简函数()π2sin 216f x x ω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，求得πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据题意，列出
不等式ππ5π
2π262ω≤+<，即可求解.
【详解】由函数()π2sin 216f x x ω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
因为[]0,πx ∈，可得πππ22π666x ωω⎡⎤
+∈+⎢⎥⎣⎦
，
因为函数()f x 的定义域为[]0,π，在定义域内存在唯一0x ，使得()03f x =，则满足
ππ5π2π262ω≤+<，解得1766ω≤<，所以ω的取值范围为17,66⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.故选：C.8．B
【分析】由赋值法令1,0x y ==可判断A ；由赋值法令0x y ==可判断B ；由赋值法令1y =，结合对称性的性质可判断C ；由赋值法令1y =-结合偶函数的定义可判断D.
【详解】对于A ，令1,0x y ==，则()(0)1(1)(1)(0)f f f f f +=，所以1=0，故A 正确；对于B ，令0x y ==，则()(1)1(0)(0)(0)f f f f f +=，即2(0)(0)f f =，解得：()00f =或()01f =，因为()00f ≠，所以()01f =，令1x y ==，()(0)0(2)(1)(1)f f f f f +=，所以(2)1f =-，所以()f x 图象不关于2,0对称，故B 错误；
对于C ，令1y =，则有()()()()()1011f x f f x f x f -++=即()()110f x f x -++=，故()f x 图象关于1,0对称，故C 正确.对于D ，令1y =-，则有()()()()()1211f x f f x f x f -+-=-即()()110f x f x --+-=，即()()11f x f x -=-，
即()()()11f x f x f x =--=-，因为函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故D 正确.故选：B.9．AC
【分析】对A ，根据函数1
y x x
=-的单调性即可判断；对B ，根据零点的定义即可判断；
对C ，根据充分不必要条件的判断即可得到答案；对D ，根据对勾函数的单调性即可判断.【详解】对A ，因为函数1
,y x y x ==-在()0,∞+上均单调递增，
则1
y x x
=-在()0,∞+上单调递增，
若1a b >>，则11
a b a b -
>-，即11a b b a
+>+，故A 正确；对B ，令2280y x x =--=，解得2x =-或4，则其零点为2-或4，故B 错误；对C ，由2320x x -+<，解得12x <<，而{}|12x x << {}|2x x <，则2320x x -+<是2x <成立的充分不必要条件，故C 正确；
对D
，令t =，则2t ≥，则1
y t t =+，2t ≥，
根据对勾函数的单调性知：1
y t t
=+在[)2,+∞上单调递增，
即min 15
222
y =+=，故D 错误.故选：AC.10．BCD
【分析】根据正弦函数的对称轴公式计算判断A ，根据函数最值结合函数的图象特征得出参数判断B,应用平移化简结合诱导公式得出函数判断C,结合正弦函数的单调性列出不等式计算判断D.
【详解】A 选项，当1ω=时，函数()f x 的图象的对称轴为ππ
π,k Z 32
x k +=+∈,即ππ,Z 6x k k =+
∈,不能取到5π
6
x =,A 错误；B 选项，1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12min
π
22
T x x -=
=，即πT =，且0ω>，所以2π
2T
ω=
=，B 正确；C 选项，当2ω=时,函数()f x 的图象向左平移
π
12
个单位长度后，得到函数()πππ4sin 24sin 24cos21232g x x x x ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=++
=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故C 正确；D 选项，∵ππ,62x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则πππππ,36323x ωωω⎡⎤
+∈-++
⎢⎥⎣⎦
，若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，则0πππ6
32πππ2
32ωωω⎧
⎪>⎪
⎪-+≥-⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得10,3ω⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦，D 正确；
故选：BCD.11．ACD
【分析】对于A ，检验()()2πf x f x -=即可判断；对于B ，由()01f =，π2f ⎛⎫
⎪⎝⎭无意义，即
可判断；对于C ，原函数化简为(
)2
1524f x ⎫=-+⎪⎭，利用二次函数的性质即可
判断；对于D ，利用复合函数的单调性可判断.
【详解】对于A ，()f x 的定义域πππ,π,22D k k k ⎛⎫
=-++∈ ⎪⎝⎭
Z ，
根据解析式，易知对任意x D ∈，()()2πf x f x -=，A 正确；对于B ，由()01f =，π2f ⎛⎫
⎪⎝⎭
无意义，可知
()π2f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
在0x =时不成立，B 错误；
对于C ，()222
22tan 2cos tan sin cos 1tan cos
sin x x x
f x x x x
x x
=+-
=
++()2
15
sin21sin2124x x ⎫==-++=-+
⎪⎭，
因为1≤()11f x ≤≤，C 正确；
对于D ，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin2y x =单调递减，()2
1524f x ⎫=--+⎪⎭单调递增，D 正
确，
故选：ACD ．12．2
【分析】运用偶函数性质，结合对数运算性质计算即可.
【详解】()f x 是偶函数，()()(
)2log 3
1
22221log log 3log 3log 32123f f f f -⎛⎫==-==-= ⎪⎝⎭
.
故答案为：2.13．4
【分析】分别画出两个函数在[]0,2π的函数图象即可判断交点的个数.【详解】sin y x =与π2sin 24y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在[]0,2π的图象如图所示，
由图可知，其交点个数有4个.故答案为：4.14．
1
2023
【分析】先证明()e e 2sin x x
g x x -=--为奇函数，再利用导数证明()g x 为增函数，结合函
数性质化简不等式可得22023e 2ln x a x x x ≤--，再利用导数求2e 2ln x x x x --的最小值可得结论.
【详解】设()()1g x f x =-，
由()e e 2sin 1x x f x x -=--+，可得()e e 2sin x x
g x x -=--，
函数()e e 2sin x x
g x x -=--的定义域为R ，
函数()g x 的定义域关于原点对称，又()()()e e 2sin x x
g x x g x --=---=-，
所以函数()g x 为奇函数，
因为()e e 2cos 22cos 0+x x
g x x x -'=-≥-≥，当且仅当0x =时取等号，
所以函数()g x 为增函数，
不等式()22023e (2ln )2x f a x f x x -++≤可化为()22023e 11(2ln )x
f a x f x x --≤-+，
故()22023e (2ln )(2ln )x
g a x g x x g x x -≤-+=--，
所以22023e 2ln x a x x x -≤--，所以22023e 2ln x a x x x ≤--，
由已知()
2min
2023e 2ln x
a x x x
≤--，其中(0,)x ∈+∞，
设()2e 2ln x
h x x x x =--，(0,)x ∈+∞，则()()()
22222e e 1x
x
x x h x x x x x x
++'=+-
=-令()0h x '=，可得2e 10x x -=，
设()2e 1x
x x ϕ=-，(0,)x ∈+∞，
则()()22e 0x
x x x ϕ'=+>，
所以()2e 1x
x x ϕ=-在(0,)+∞上单调递增，
又()010ϕ=-<，()1
1e 10ϕ=->，
所以存在()10,1x ∈，使得()0x ϕ=，
所以当10x x <<时，()0h x '<，函数()h x 在()10,x 上单调递减，
当1x x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,x +∞上单调递增，
所以当1x x =时，()2e 2ln x h x x x x =--取最小值，最小值为12111e 2ln x x x x --，其中121e 10
x
x -=所以11211112023e 2ln 1ln e 1x
x a x x x x -≤--=--=，
所以1
2023
a ≤
，所以a 的最大值为12023
.故答案为：
12023
.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过变形，并结合函数性质将原不等式化简为22023e 2ln x a x x x -≤--，再根据恒成立问题的处理方法求解.
15．(1)π
6
ϕ=-，单调递增区间为ππ[π,π]()63k k k -++∈Z ；
【分析】（1）由π()|(|3f x f ≤，得当π
3
x =时，()f x 取得最值，结合三角函数的图象性质可
得ϕ的值和()f x 的单调递增区间.
（2）将02x 表示为0ππ
(2)66
x -+，利用两角和差公式化简得到结果.
【详解】（1）依题意，()sin(2)f x x ϕ=+，由π()|()|3f x f ≤，得当π
3
x =时，()f x 取得最值，
则ππ
2π,32
k k ϕ⨯
+=+∈Z ，解得ππ,6k k ϕ=-+∈Z ，
又π
0||2
ϕ<<，则π6ϕ=-，因此()πsin(2)6f x x =-，
由πππ2π22π,262k x k k -
+≤-≤+∈Z ，得ππ
ππ,63
k x k k -+≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为ππ
[π,π]()63
k k k -
++∈Z .（2）由()00π1π[0,(,sin(2)436)x f x f x x ∈==-，得00ππππ1
2[,],sin(2)66363
x x -∈--=，
则0πcos(2)63
x -=，
所以0000ππππππ
sin 2sin[(2sin(2)cos cos(2666666
x x x x =-+=-+-11
332=+⋅=
.16．(1)()10
a x y a --+=
(2)答案见解析(3)证明见解析
【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；（2）由()x a
f x x
'-=
，分0a ≤和0a >两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；（3）分析可得要证0(1)a x a ->，00ln 10x x -->，令000()ln 1g x x x =--，利用导数证得0()0g x >，即可得证．
【详解】（1）()ln f x x a x =-，()11f =，()1a
f x x
'=-
，()11f a '=-，所以在点1,1处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，整理得：()10a x y a --+=；
（2）函数()ln f x x a x =-定义域为0,+∞，()1a x a f x x x
'-=-
=当0a ≤时，′≥0，此时()f x 在0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，
此时在(0,)a 上′<0，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞上′>0，()f x 在(,)a +∞单调递增，综上：
0a ≤时，()f x 的递增区间为0,+∞，无递减区间；0a >时，()f x 的递减区间为(0,)a ，递增区间为(,)a +∞；
（3）由（2）可知，当0a >时，()ln 0f x x a x =-=才有两个不相等的实根，且00x >，则要证0(1)a x a ->，即证
011a a x ->，即证0
11
1a x ->，而00ln 0x a x -=，则0
00
(1ln x
a x x =≠，否则方程不成立），
所以即证0
00
ln 1
1x x x ->，化简得00ln 10x x -->，
令000()ln 1g x x x =--，则0000
1
1()1x g x x x -'=-
=，当001x <<时，00()g x '<，所以0()g x 在0,1单调递减，
当01x >时，0()0g x '>，所以0()g x 在1,+∞单调递增，所以()()010g x g ≥=，而01x ≠，所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明01
1
1a x ->即可得解，分析函数在极小值左
侧的单调性，关键再由证明000
ln 1
1x x x ->，利用构造函数的方法即可.17．(1)()2sin f x x =；(2)5π3
.【分析】（1）利用三角恒等变换将函数()f x 化简得π
()2sin()6
f x x ωϕ=+-，再利用给定性
质求出,ωϕ.
（2）由三角函数图象变换得π
()2sin(2)3
g x x =-，再利用正弦函数性质，结合一元二次方程
求出零点即可..
【详解】（1
）依题意，函数π
()sin()cos()2sin()6
f x x x x ωϕωϕωϕ+-+=+-，
由函数()f x 为奇函数，得π
,6
k k ϕπ-
=∈Z ，又(0,π)ϕ∈，则π6ϕ=，
由函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π，得()f x 的周期2π
2πT ω
==，解得1ω=，
所以函数()f x 的解析式是()2sin f x x =.（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得π
2sin()3
y x =-的图象，再把横坐标缩小为原来的
12
，得到函数π()2sin(2)3g x x =-，
由方程2()()60g x g x ++=，2()2g x -≤≤
，解得()g x =
即πsin(2)3x -=当π[,π]4x ∈-时，π5π5π2[,]363x -∈-，则2233ππx -=-或π3-或4π3或5π3，
即原方程有四个实数根，不妨设为1234,,,x x x x ，因此1234ππππ2ππ4π5π
2222()2π33333333
x x x x -
+-+-+-=-+-++=，解得12345π3
x x x x +++=，所以原方程所有根之和为5π
3.
18．(1)1,2⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
(2)()1,0,2⎡⎫
-∞+∞⎪
⎢⎣⎭
【分析】（1）求导，利用导函数()sin 20h x x ax '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，分离变量转化即可求解.
（2）将问题转化为2()cos 10h x x ax =+-=没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解.
【详解】（1）由2()cos 1h x x ax =+-，可得()sin 2h x x ax '=-+，因为函数2()cos 1h x x ax =+-在(0,)+∞上为增函数，所以()sin 20h x x ax '=-+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，即sin 2x
a x
≥
对(0,)x ∈+∞恒成立，令()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以()sin x x x ϕ=-在(0,)+∞单调递增，所以()(0)x ϕϕ>，即sin 0x x ->，所以sin 1x
x
<，所以21a ≥，解得1
2
a ≥
，所以实数a 的取值范围为1[,)2+∞；
（2）因为函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，所以()()f x g x =，即cos 1
x ax x x
=-无实根，
所以当0x ≠时，2()cos 10h x x ax =+-=无实根，
因为22()cos()()1cos 1()h x x a x x ax h x -=-+--=+-=，即()h x 是偶函数，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上无实根.，()2sin h x ax x '=-，记()()2sin m x h x ax x '==-，则()2cos m x a x '=-，
①当0a <时，20ax <，又1cos 1x -≤≤，则cos 10x -≤，所以2()cos 10h x x ax =+-<，满足()0h x =在上无实根.
②当0a =时，()cos 10h x x =-=在(0,)+∞上有实根，不合题意，舍去.③当1
2
a ≥
时，()2cos 0m x a x '=-≥，所以()2sin m x ax x =-在(0,)+∞单调递增，则()(0)0h x h ''>=，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，满足2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上无实根.④当1
02a <<
时，因为()2cos m x a x '=-在π(0,)2
上单调递增，且π
(0)210,()202
m a m a ''=-<=>，
则存在唯一的0π
(0,2
x ∈，使00()2cos 0m x a x '=-=，
当x 变化时，()h x '的变化情况如下：
x
0(0,)
x 0
x 0π(,)
2x ()
m x -
+
()()
m x h x '=单调递减极小值
单调递增
所以当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h ''<=，则()h x 在0(0,)x 单调递减，则()(0)0h x h <=，又因为2(2π)4πh a =，且()h x 在(0,)+∞上连续，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,2π)上有实根，不合题意.综上可知，实数a 的取值范围是1
(,0)[,)2
-∞⋃+∞.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
19．(1)
1
8
+；(2)证明见解析.
【分析】（1）先求出点A 坐标，再求函数()f x 的反函数和A 关于直线y x =对称的点D ，由此可求直线AC 的方程，从而计算S AD AC =即可得解.
（2）设()()()()
34112234,ln ,,ln ,,e ,,e x x
A x x
B x x
C x
D x ，12430,x x x x <<<，再证明
111e 2ln 0x x x -+=，利用导数工具证明11
2
x >
，求面积解析式，借助单调性证明结论..
【详解】（1）因为点11,4A y ⎛⎫
⎪⎝⎭
在曲线()f x =
所以11
2
y =
=，即11,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
由(
)f x =()()2
0g x x x =≥，
则函数()f x 和()g x 图象关于直线y x =对称，设A 关于直线y x =对称的点为D ，则D 在曲线()g x 上，且11,24D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，114211124
AD
k -=
=--，
则AD ==
，由题意以及由(
)f x =AC AD ⊥，则1AC k =，直线AC 的方程为1
4
y x =+，
联立方程组214y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪
⎩
，解得12x =
或12x =（舍去），
则,C AC ==⎝⎭，则该“关联矩形”
的面积41
448
S AD AC ==
.（2）证明：由=ln 得其反函数为()e x
g x =，
所以()f x 和()g x 图象关于直线y x =对称，且由其性质可知()()0f x g x -<，根据对称性可设,A D 关于直线y x =对称，,B C 关于直线y x =对称，则AB AD ⊥，
设()()()()
34112234,ln ,,ln ,,e ,,e x x
A x x
B x x
C x
D x ，其中12430,x x x x <<<，
则4132ln ,ln x x x x ==，3421,e e x x
x x ==，因为“关联矩形
”是正方形，
所以1AB DC k k ==，1AD BC k k ==-，
所以)))212123ln ln ,AB x x x x BC x x =---，
由AB BC =，得132ln x x x ==，所以132e e x x
x ==，
所以由2123ln ln x x x x -=-得3111e ln x x x x -=-即111e 2ln 0x
x x -+=.
对于函数()e 1,0x t x x x =-->，则()e 10,0x
t x x =->>'，
故函数()t x 在0,+∞上单调递增，故()()00t x t >=即e 1x x >+，
令()e 2ln x
h x x x =-+，
则()1111e 2ln 0x
h x x x =-+=且()11e 212120x h x x x x =+->++-+'≥->，
则ℎ在0,+∞上单调递增，所以11ln202h ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，
所以112
x >，因为()()122
2211||22e x S AB x x x ==-=-，
令()e x x x ϕ=-，则()e 1x
x ϕ'=-，
当∈0,+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，
则()11111e 022x
x x ϕϕ⎛⎫=->=> ⎪⎝⎭
，
从而(
)
1
2
2
1
12e 22x S x ⎫=->⎪⎭.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键1是正确处理
()()()()
34112234,ln ,,ln ,,e ,,e x x A x x B x x C x D x 四点的关系，从而根据四点之间的关系结合
AB BC =得到111e 2ln 0x x x -+=，关键点2是建立函数()e 2ln x h x x x =-+并利用导数工具
研究其单调性从而由()10h x =和102h ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
得112x >，从而借助()
1221||2e x S AB x ==-的单调
性得证(
)
1
2
2
1
12e 22x S x ⎫=->⎪⎭.。