惯性矩的计算方法

惯性矩、惯性积和惯性半径
设任一截面图形 ( 图 4 — 3) ，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I．微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．
数学表达式为
极惯性矩 (4-6)
对 y 轴惯性矩 (4 -7a )
同理，对 z 轴惯性矩 (4-7b)
由图 4-3 看到所以有
即 (4-8) 式 (4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。

在任一截面图形中 ( 图 4 —3) ，取微面积 dA 与它的坐标 z 、 y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对 y 、z 轴的惯性积，简称惯积．表达式为
(4-9)
惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方． I,I,I恒为正值．而惯性积 I其值能为正，可能为负，也可能为零．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零．
当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴 ( 或称主形心惯轴 ) ．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩 ( 或称主形心惯矩 ) ．例如，图 4-4 中若这对 yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．
工程应用中 ( 如压杆稳定中 ) ，有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积，即
,
或写成
, （ 4-10 ）
式中 i分别称为截面图形对 y 轴、 z 轴的惯性半径．其量纲为长度的一次方．
例 4-2 已知矩形截面的尺寸 b,h( 图 4-5) ，试求它的形心主惯性矩．
解：取形心主惯性轴 ( 即对称轴 )y,z ，及 dA=dy，代入公式 (I— 7a ,) 得
同理：
例 4-3 设圆的直径为 D( 图 4-6) ，试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值．解： (1) 求惯性矩因为图形对称， y,z 为对称轴，所以 I＝ I
这是较简单的解法．本例也可取出图 4-6 上的微面积 dA ，按积分法来求得。

(2) 求惯性半径
由此求得 (4-14)
上式中的和表示了主轴的方位角．
将关系式 (4-14) 代入转轴公式 (4-13) 第一、第二式，运算时利用三角函数关系
可以求得截面图形的主惯性矩
(4-15)
若将公式 (4-13) 的第一式对求一阶导数且令其为零，即可得到惯性矩的极值，即
可见，上式与 (c) 式一致．这说明由公式 (4-15) 求得的主惯性矩就是截面图形的最大或最小惯性矩 .
例 4-5 已知截面图形尺寸如图 4-10 所示。

试求其形心主惯性矩 I.
图 4-10
解： (1) 确定形心位置由于截面是反对称的，所以形心在其对称中心 C 点。

以 C 点为原点，取坐标轴 y ， z 如图所示．
(2) 将截面分成三个小矩形①、②、③。

(3) 由式 (4-12) 计算惯性矩、惯性积 I
=
=
4) 由式 (4-14) 确定形心主轴的方位
由于 , 所以图形对绝对值较小的所确定的形心主轴的惯性矩为最大值，另一轴的惯性矩为最小值．如图 4-10 所示的图
形，对 y0轴的形心主惯性矩为最大值，对 z0轴的形心主惯性矩为最小值。

(5) 由公式 (4-15) 计算形心主惯性矩
=
=。