行列式计算方法

比较②式与⑤式的系数，得
nn 1 n 1 n ( 1 ) ( x x 1 ) 1 5 1 5 n 1 n 1 2 1) ( D [( ) ( ) ] n x x 2 2 5 2 1
=
7. 用换元法计算行列式:此法应用于当以同一个数 改变行列式的所有元素时，其各元素的代数余 子式容易计算的情形，它基于下面的定理. 定理4 设
二、行列式的定义及性质
1
定义：n阶行列式
Dn aij
a1 1 a 21 ... an1
a1 2 a2 2 ... an2
... a1n ... a2n ... ... ... an n
( jj... j) ( 1 ) a a ... a 1 j 2 j nj
1 2 n
j j ... j 1 2 n
=
x x 1 ( 2 1 ) 1 ( x x )1 x x 1 x x 2 1 2 1
=
n n 1 n 1 ( 1 ) ( x x 1 2 1 ) n ⑤ n nn nn x = [ x . ( 1 )x x x . ( 1 ) x x ] 1 2 2 1 1 x n 1 2 x 1 ( x x ) n 0 n 0 2 1
1 1 1 1 x ( a x ) ( ... ) i i 1 xa xa x a x 1 2 n
定理1 一个n阶行列式中等于零的元素个数如果比 n×n－n多，则此行列式等于零. 证明：由行列式定义，该行列式展开后都是n个 元素相乘，而n阶行列式共有n×n个元素.若等 于零的元素个数大于n×n－n，那么非零元素 个数就小于n个.因此该行列式的每项都至少含 一个零元素，所以每项必等于零，故此行列式 等于零.
2 ... 0
0 ... ... 0
n 1 0 ... 0
=
1 0 ... 0


... ... ... ...
...
...
2 ... ...
... ... 0
=
n
1 0 ... 0
1 ...
0
... ... ... ...
0 0 ...
2 ...
n
=
1 ...
n n0 n

n0

n
n
数列之间的运算关系同幂级数变换之间的运 算关系是对应的.差分方程的结构是由数列项之间 的递推关系而确定的，把行列式转化为差分方程， 引入幂级数变换，通过幂级数的分析运算可求出 1 1 0 0 0 ... ... 0 行列式的值. 1 1 1 0 0 ... ... 0
关于行列式计算方法的研究
摘要：本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了
计算n阶行列式的几种行之有效的方法. 除比较常用的定义 法，化三角形法，升阶法，数学归纳法等法外，还介绍了 利用降阶定理，幂级数变换，换元等技巧性较高的计算方 法.只要灵活地运用这些计算技巧和方法，就可以基本上 解决n阶行列式的计算问题.
1
2
n
jn) 为排列 其中 (j1j2...
j1 j2...jn
的逆序数.
2
(1) (2) (3) (4)
性质 行列互换，行列式不变. 数k乘行列式的一行相当于数k乘此行列式. 若行列式中有两行相同，那么行列式为零. 若行列式中两行成比例，那么行列式为零.
(5) 若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之 和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列 式分别以这两组数作为该行（列）元素，其余各行 （列）与原行列式相同. (6) 把行列式中一行的倍数加到另一行，行列式不变. (7) 对换行列式中两行的位置，行列式反号.
D 1 A BD C A
D 1 故，D CA B A BD C 。 A
1
6. 用幂级数变换计算行列式 把一类n阶行列式转化为差分方程，再利用幂级数变 换求解差分方程，即可求出行列式的值. 任给一个数列 { a n } ,则可相应地作出一个幂级数 F(x) a x ,将 F ( x ) 叫做数列 { a } 的幂级数变换.给定一个幂级 n 数 F(x) a x 唯一确定数列 { a n } 数列与幂级数有对应关系.
,其中
和
为特征方程
2 x ax b 0的两根。
4. 用升阶法计算行列式 升阶法指的是在原行列式中再添加一行一列， 使原来的n阶成n+1阶，且往往让n+1阶行列式的 值与原n阶行列式的值相等.一般来说,阶数高的 比阶数低的计算更复杂些.但如果合理地选择所 添加的行，列元素，使新的行列式更便于“消零” 的话，则升阶后有利于计算行列式的值. 凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是： 除主对角线上的元素外，其余元素都相同，或任 两行（列）对应元素成比例.升阶时，新行（列） 由哪些元素组成？添加在哪个位置？要根据原行 列式的特点作适当的选择.
2 2 3 n F ( x )( 1 x x ) D x ( D D ) x ( D D D ) x ... ( D D D ) x .. 1 2 1 3 2 1 n n 1 n 2
D D 0 .( n 3 , 4 , 5 ...) 又D D 1 ,D n n 1 n 2 1 2
关键词：n阶行列式；递推关系式；升阶；幂级数变
换；换元
一、引言
行列式的计算是高等代数的重要内容之一, 也是学习中的一个难点.对于阶数较低的行列 式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算 出结果.对于一般的n阶行列式,特别是当n较大 时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐 的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必 要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使 计算大大简化，从而得出结果.本文介绍了几 种计算方法，只要将各种方法综合地应用起来， 就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.
1 1 2 所以 1 1
2 x x 1 F ( x ) 1 2 2 1 x x 1 x x
x x 方程1
2
1 5 1 5 x ,x 1 2 0的两根为： 2 2 且有
x . x 1 , x x 5 1 2 2 1
1 1 1 1 1 F ( x ) 2 1 1 ( ) 1 ( x x )( x x ) ( x x ) x x x x 1 x x 1 2 2 1 1 2
1 A B A 0 E A B E 0 1 1 CA E C D 0 D CA B 0 E
1 . P D A BD C 则
由于
1 E A B 1， 1 CA E 0 E
例1.计算行列式D
n

0 0 ... 0 0 0
1 0 ... 0. 0 0
1 1 ... ... 0 0
1 1 ... 0 ... ...
0 1 ... 1 0 ...
... 0 ... 1 1 0
... ... ... 1 1 1
0 0 ... 0 1 1
将按第1列展开得： D D D ① 此行列式序列是斐波那契 n n 1 n 2 数列，开始项为1,2，以后各项均为前两项之和. D D D 0 ( n 3 , 4 , 5 ...) ①式变形为， n n 1 n 2 2 3 n ( x ) D x D x D x ... D x ... 设 F ② 1 2 3 n
1 2
1 ,D 解：D 1 1
1 2 1
用-x乘②式得: 2 ( x )乘②式得: 用 ②+③+④，得:
2 3 4 n 1 ③ xF ( x ) D x D x D x ... D x ... 1 2 3 n
2 3 4 5 n 2 ④ x F ( x ) D x D x D x ... D x ... 1 2 3 n
aD bD 文章给出了一类可化为 D n n 1 n 2 的递归行列式. n 1 的计算方法。 当b等于0 时，易得 D a D n 1 n 1 n 1 C C 当b不等于0时， D n 1 2
D D D D 2 1 2 1 C , C 1 2
.
三、行列式的计算方法
利用行列式的定义来计算 对于含零元素较多的行列式可用定义来计算. 因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值 就为零，故只须求出所有非零项即可. 1
（法一）求出位于不同行，不同列的非零元素乘积的 所有项. 当行列式中含大量零元素，尤其是行列式的非零 元素乘积项只有一项时，用此法计算非常简便.
a n1
则 D1 D xAij
i, j 1
其中 A ij 是元素 a ij 的代数余子式.
an2
a1
x a2 ... x
... ... ... ...
x x ... an
a1 x 0 ... 0 0 ... 0 ... 0 0
例2
计算行列式
Dn
x ... x
解：把D n 的所有元素都加上-x，得 D
a2 x ...
... ... ... an x
D的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元 素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，所以
D ( a x )( a x ) ( a x ) x ( a x ) ( a x )( a x ) ( a x ) n 1 2 n 1 i 1 i 1 n
D
n
1 1 5n 1 5n 1 1 [( ) ( ) ] 2 5 2
a 11 a 21 ...
a 12 a 22 ...
... a 1 n ... a 2 n ... ... ... a nn
a11 x a12 x ... a1n x
D 1
a21 x a22 x ... a2n x ... ... ... ... an1 x an2 x ... ann x
n 1 2...
0
0 ... ...
...
n
2 ... ...
=
...
n
2 ... ...
=
0 ...
n
2 ... ...
1 ) = (
n (n 1 ) 2
1 2... n
(1)箭形行列式;(2)可化为箭形行列式的行式
(3)行（列）的和相等的行列式 这几种类型的行列式均可化为三角形行列式. 3. 用递推法计算行列式 :利用行列式的性质,把某一行列 式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式(称 为递推关系式），根据所得递推关系式及低阶某初始 行列式的值便可递推求得所需的结果.
5.
用降阶定理计算行列式 ,将行列式与矩阵联系在 一起，用行列式的降阶定理计算n阶行列式，以 使方法简单化. 设
A B P ,其中Aຫໍສະໝຸດ 年n阶，D为m阶方阵。 C D
1 PA D CA B
定理2
（1）若A可逆， 则
（2）若D可逆， 证明： （1）若A可逆，由分块矩阵的乘法，有
E
0
所以两边取行列式，
A B 1 P A D CA B CD
，同理可证（2）。
定理3 设A与D分别为n阶与m阶可逆阵，B与C分
别为n×m阵与m×n阵，则
1 D CA B
A B P ,由定理2 证明：设 C D A B 1 1 P A D CA B D A BD C CD
a 1 ja 2j ... nj 的列下标 （法二）求出非零元素乘积 a
1 2 n
j1, j2,..., jn
的所有n元排列，即可求出行列式的所有非零项.
2 化三角形法 :把已知行列式通过行列式的性质化为下 列三角形行列式中的某一种形式，则其值就可求出.
1 0 ... 0
0 0 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 ...