沪科版-数学-八年级上册-13.2一次函数与方案设计问题

一次函数与方案设计问题
在日常生活中会经常遇到一些问题需要我们设计方案，作出决策，这些方案的设计当然少不了要建立一次函数模型，然后再运用一次函数的知识来加以决策.为了说明这一点，现举例说明.
例1某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元.
（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元.该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元.试问该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？
分析（1）由购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元，可以直接列出二元一次方程组求解.（2）若设该业主计划购进空调t台，则购进电风扇(70－t)台，则由购买这两种电器的资金不超过30000元，利润不少于3500元，可以列出一元一次不等式组求出采购挂式空调和电风扇的台数的方案，进而利用一次函数的性质求出最大利润.
解（1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为x元和y元.
则根据题意，得
82017400, 103022500.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1800,
150.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：挂式空调和电风扇每台的采购价分别为1800元和150元. （2）设该业主计划购进空调t台，则购进电风扇(70－t)台.
则根据题意，得
1800150(70)30000,
20030(70)3500.
t t
t t
+-
⎧
⎨
+-
⎩
≤
≥
解得8
4
17
≤t≤11
9
11
.
因为t为整数，所以t的取值为9，10，11.
故有三种进货方案，分别是：方案一：购进空调9台，电风扇61台；方案二：购进空调10台，电风扇60台；方案三：购进空调11台，电风扇59台.
设这两种电器销售完后，所获得的利润为W，则W＝200t+30(70－t)＝170t+2100.
由于W随t的增大而增大.故当t＝11时，W有最大值，W最大＝170×11+2100＝3970.
即选择第3种进货方案获利最大，最大利润为3970元.
说明要解决此类问题首先要利用方程秒等式确定出进货的方案，才能进一步利用一次函数求解.
例2我市某乡A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，A，B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y A元和y B元.
（1）请填写下表，并求出y
（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；
（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.
分析依题意可以知道从A村运往C仓库的柑桔重量、从A村运往D仓库的柑桔重量、从B村运往C仓库的柑桔重量和从B村运往D仓库的柑桔重量，这样就可以求得y A、y B与x之间的函数关系式，进而利用不等式和一次函数的性质求解.
解（1）依题意，从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，则从A村运往D仓库的柑桔重量应为(200－x)吨，同样从B村运往C仓库的柑桔重量为(240－x)吨，从B村运往D仓库的柑桔重量应为(300－240+x)吨，即(60+x)吨.所以表中C栏中填上(240－x)吨，D栏中人上到下依次填(200－x)吨、(60+x)吨.从而可以分别求得y A＝－5x+5000(0≤x≤200)，y B＝3x+4680(0≤x≤200).
（2）当y A＝y B时，－5x+5000＝3x+4680，即x＝40；当y A＞y B时，－5x+5000＞3x+4680，即x＜40；当y A＜y B时，－5x+5000＜3x+4680，即x＞40；所以当x＝40时，y A＝y B即两村运费相等；当0≤x≤40时，y A＞y B即B村运费较少；当40＜x≤200时，y A＜y B即A村费用较少.
（3）由y B≤4830，得3x+4680≤4830，所以x≤50.设两村运费之和为y，所以y＝y A+y B，即y＝－2x+9680，又0≤x≤时，y随x增大而减小，即当x＝50时，y有最小值为9580y（元）.所以当A村调往C仓库的柑桔重量为50吨，调往D仓库为150吨，B村调往C仓库为190吨，调往D仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元.
说明一次函数的重点内容之一就是利用一次函数图象的特征来解决解决实际应用问题，所以同学们一定要在应用上下功夫.另外，一次函数的应用问题是近年来中考的热点，其试题的形式活泼，题型新颖，情景生动，富有时代气息，体现新课程的理念，同学们应注意巩固和运用.。