等比数列及求和

第六节：等比数列及求和
一．知识讲解
等比数列的性质
等比数列求和：错位相减，分组求和，裂项相消，倒叙相加。

二．例题讲解
1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＋a 6＝4，则a 10＋a 11＋a 12等于( )
A ．32
B ．16
C ．12
D ．8
2．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n
等于( ) A.32
B.32或23
C.23
D ．以上都不对
3．等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12
.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为________．
4．在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )
A ．10n
B ．n 10
C ．100n
D ．n 100
5．等比数列{a n }中，a n ∈R *
，a 4·a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8的值为( )
A ．10
B ．20
C ．36
D ．128
6．等比数列{a n }中，a 1＜0，{a n }是递增数列，则满足条件的q 的取值范围是______________．
7．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝______________．
8．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．
9．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
10．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于712
，求这三个数．
11．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13
(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )
A ．－15
B ．－5
C ．5 D.15
12．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *
，则a 1＝________，S 5＝________．
综合题（等比数列求和）
1．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *
.
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n n 是等差数列；
(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
2．数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2
＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( )
A.13
B.512
C.12
D.712
3．数列{a n }的通项公式a n ＝1
n ＋n ＋1，则该数列的前________项之和等于9.(
) A ．99 B ．98 C ．97 D ．96
4．数列12×5，15×8，18×11，…，1（3n －1）·（3n ＋2）
，…的前n 项和为( ) A.n 3n ＋2
B.n 6n ＋4
C.3n 6n ＋4
D.n ＋1n ＋2
5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2
n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的正整数n ( )
A ．有最大值63
B ．有最小值63
C ．有最大值31
D ．有最小值31
6．数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1（n 为正奇数）2n －1（n 为正偶数），则它的前n 项和S n ＝________．
7．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数
列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明
三、课后练习
1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于( )
A．(2n－1)2 B.1
3
(2n－1)2
C．4n－1 D.1
3
(4n－1)
2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．
3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2(n 2
＋3)－2，那么log 23是这个数列的第________项．
4．下列命题中正确命题为________(填序号)． ①常数列一定是等比数列；②等比数列前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q
(其中a 1为首项，q 为公比)；③前n 项和S n 为n 的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．
5．已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝a n (n ∈N *
)，求{b n }的通项公式b n .
6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －5（n 为奇数），
4n （n 为偶数），求S n .
7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n
B ．2＋(n －1)ln n
C ．2＋n ln n
D ．1＋n ＋ln n
8．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n .。