[合集3份试卷]2020黑龙江省七台河市高二数学下学期期末学业质量监测试题

提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使不等式1
10x
+>成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．0x >
B ．1x >-
C ．1x <-或0x >
D ．10x -<<
2．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球
体积相等.现将椭圆22149
x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三）
，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．32π
3．如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是( )
A ．2π
B ．4π
C ．6π
D ．8π
4．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ①若//,m n n α⊂则//m α;②若,//m n αα⊥则m n ⊥; ③若//,//m n αα,则//m n ;④若,m m αβ⊥⊥则//αβ A ．①②④
B ．②③
C ．①④
D ．②④
5．已知向量a 与b 的夹角为3
π
，(2,0)a =，||1b =，则2a b -=（ ） A 3B ．3
C ．2
D ．4
6．已知()()()sin 0,0f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是x ，将()f x 图象向左平移3
π
个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则()()sin f x x ωϕ=+（ ）
A ．在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递减 B ．在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 C ．在区间,36ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递减 D ．在区间,36ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 7．函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：
①－3是函数y ＝f(x)的极值点； ②－1是函数y ＝f(x)的最小值点； ③y ＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增； ④y ＝f(x)在x ＝0处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是( ) A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
8．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知，，，成等差数列，，，
成等比数列，则（ ）
A ．
B ．
C ．
或
D ．
或
10．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2
212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值
D ．既无最大值也无最小值
11．某批零件的尺寸X 服从正态分布(
)2
10,N σ
，且满足()198
P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
12．若复数()()2
11 i z a a a R =-++∈是纯虚数，则a =（ ） A ．0
B ．1
C ．1-
D ．±1
二、填空题：本题共4小题
13．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x ＋1)＝
()()
11f x f x +-，则f(2018)= ________.
14．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为60︒的概率为________ 15．出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有8个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相
互独立的，并且概率都是1.3则这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望为____ .（用分数表示）
16．已知△ABC 中，角A ，3
2
B ，
C 成等差数列，且△ABC 的面积为2＋则AC 边长的最小值是________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2
ln f x mx x =-，m R ∈.
（1）若()0f x ≥恒成立，试求实数m 的取值范围； （2）若函数()()1
g x f x x
=
⋅的图像在点()00,A x y 处的切线为直线y m =，试求实数0x 的值. 18．已知函数()ln f x x x x =+ ，
(1)求()f x 的图象在1x = 处的切线方程并求函数()f x 的单调区间； (2)求证：()x
e f x >' .
19．（6分）ABC ∆三个内角A,B,C 对应的三条边长分别是,,a b c ，且满足sin cos c A C =．
（1）求角C 的大小；
（2）若2b =，c =
a ．
20．（6分）已知复数()()
2
1312i i z i
-++=
-，z ai ω=-(其中i 是虚数单位).
(1)当ω为实数时，求实数a 的值； (2)当03a ≤≤时，求ω的取值范围.
21．（6分）选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x t
C y t
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数），以
坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
2cos 3πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6
π
θ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点
为Q ，求MPQ ∆的面积. 22．（8分）已知函数3211
()(1)()32
f x x a x ax a R =
+-+∈. （1）若()f x 在13
x =-处取得极值，求()f x 的单调递减区间； （2）若()f x 在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
首先解出不等式110x +
>，因为是不等式1
10x
+>成立的一个充分不必要条件，所以满足是不等式1
10x
+
>的真子集即可． 【详解】 因为()1110010x x x x x ++
>⇒>⇒+>，所以0x >或1x <-，需要是不等式110x
+>成立的一个充分不必要条件，则需要满足是()(),10,-∞-+∞的真子集的只有A,所以选择A
【点睛】
本题主要考查了解不等式以及命题之间的关系，属于基础题． 2．C 【解析】 【分析】
根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积. 【详解】
由椭圆方程22
149
x y +=,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥
当截面与底面距离为()03h h ≤≤时，截圆锥得到的截面小圆半径为r 则
132h r =，即23
h r = 所以截面面积为22
4449
h r ππππ-=-
把y h =代入椭圆方程22149x y +=，可求得x =±
所以橄榄球形状几何体的截面面积为22
449
h x π
ππ=-
由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为()
12=24343=163
V V V πππ⎛⎫=-⨯-⨯⨯ ⎪⎝
⎭
圆柱圆锥 故选:C 【点睛】
本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题. 3．C 【解析】 【分析】
由三视图还原可知原图形是圆柱，再由全面积公式求得全面积。

【详解】
由三视图还原可知原图形是圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，所以2S S S 全底侧=+246πππ=+=，选C. 【点睛】
本题考查三视图还原及圆柱的全面积公式，需要熟练运用公式，难度较低。

4．D 【解析】 【分析】
根据选项利用判定定理、性质定理以及定义、举例逐项分析. 【详解】
①当,m n 都在平面α内时，显然不成立，故错误；②因为//n α，则过n 的平面与平面α的交线必然与n 平行；又因为m α⊥，所以m 垂直于平面α内的所有直线，所以m ⊥交线，又因为//n 交线，则m n ⊥，故正确；③正方体上底面的两条对角线平行于下底面，但是两条对角线不平行，故错误；④因为垂直于同一平面的两条直线互相平行，故正确； 故选：D.
【点睛】
本题考查判断立体几何中的符号语言表述的命题的真假，难度一般.处理立体几何中符号语言问题，一般可采用以下方法：（1）根据判定、性质定理分析；（2）根据定义分析；（3）举例说明或者作图说明. 5．C 【解析】 【分析】 利用()2
|2|2a b a b -=-即可解决．
【详解】
由题意得(
)
2
22
|2|244a b a b
a a
b b -=-=-⋅+，因为向量a 与b 的夹角为3
π
，(2,0)a =，1b ||=，
所以222a ==，2
2
24424a a b b -⋅+=-=，
所以|2|42a b -==，所以选择C 【点睛】
本题主要考查了向量模的计算，在解决向量模的问题时通常先计算出平方的值，再开根号即可，属于基础题． 6．B 【解析】 由题设22T π
πωω
==
⇒=，则()sin(2)f x x ϕ=+，向左平移3
π
后可得2()sin(2)3
g x x π
ϕ=+
+经过点(0,1)P ，即2sin(
)13πϕ+=，解之得6
π
ϕ=-，所以()sin(2)6f x x π=-，由
2()sin[2()]1,()sin()1666336f f ππππππ-=⨯--=-=-=可知函数()sin(2)6f x x π=-在[,]63
ππ-上单
调递增，应选答案B 。

7．C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
根据导函数图象可知：当x ∈（-∞，-3）时，f'（x ）＜0，在x ∈（-3，1）时，()0f x '≥ ∴函数y=f （x ）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确； 则-3是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确；
∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确；
∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确. 故选C.
考点：利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定. 8．C 【解析】 【分析】
根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】
因为()ln f x x x =
所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项， 而()ln ln f x x x x x -=--=-， 所以()()f x f x -=-
即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项， 故选C 项. 【点睛】
本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题. 9．D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质可得出
的值，利用等比中项的性质求出的值，于此可得出
的值。

【详解】 由于、、、成等差数列，则
， 又、、
成等比数列，则
，
， 当
时，
；当
时，
，因此，
或
，
故选：D 。

【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，在处理等差数列和等比数列相关问题时，可以充分利用与下标相关的性质，可以简化计算，考查计算能力，属于中等题。

10．C
【分析】
数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】
对()2
212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为
()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.
此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：
又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题. 11．D 【解析】 【分析】
计算()39114P X <<=，根据题意得到1
01131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，设()()1314n
f n n ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，判
断数列单调递减，又()40.1f <，()30.1f >，得到答案.
因为()210,X
N σ，且()198P X <=，所以()3
9114
P X <<=，
即每个零件合格的概率为
3
4
. 合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.
合格零件个数为零个或一个的概率为1
01131C C 444n n n
n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
由1
01131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，得()1310.14n
n ⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
①，
令()()()1314n
f n n n *⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
N .因为()()1341124f n n f n n ++=<+， 所以()f n 单调递减，又因为()40.1f <，()30.1f >， 所以不等式①的解集为4n ≥. 【点睛】
本题考查了正态分布，概率的计算，数列的单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 12．B 【解析】 【分析】
根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】
因为复数()()2
11 i z a a a R =-++∈是纯虚数,故210
10a a ⎧-=⎨+≠⎩
,解得1a =.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．-1 【解析】 【分析】
由已知分析出函数f （x ）的值以4为周期，呈周期性变化，可得答案． 【详解】
∵函数f （x ）满足：f （1）=2，f （x +1）=
()()
11f x f x +-，
∴f
（2）=﹣1， f （1）=﹣12
， f （4）=
13
， f （5）=2， ……
即函数f （x ）的值以4为周期，呈周期性变化， ∵2018=504×4+2，
故f （2018）=f （2）=﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】
本题考查的知识点是函数求值，函数的周期性，难度不大，属于中档题． 14．
8
11
【解析】 【分析】
正方体的面对角线共有12条，能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60°，得共有12×8对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，得正方体的所有对角线中，所成角是60°的有48对，根据古典概型概率公式求解即可． 【详解】
如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，与上平面A 1B 1C 1D 1中一条对角线A 1C 1成60°的直线有：
A 1D ，
B 1
C ，A 1B ，
D 1C ，BC 1，AD 1，C 1D ，B 1A 共八对直线，总共12条对角线； ∴共有12×8＝96对面对角线所成角为60°，而有一半是重复的；
∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对． 而正方体的面对角线共有12条， 所以概率为：
212488C 11
故答案为
811
【点睛】
本题考查正方体面对角线的关系，考查了古典概型的概率问题，而对于本题知道96对直线中有一半是重复的是求解本题的关键． 15．83
【解析】 【分析】
遇到红灯相互独立且概率相同可知18,3B ξ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据二项分布数学期望求解公式求得结果. 【详解】
由题意可知，司机在途中遇到红灯数ξ服从于二项分布，即18,3B ξ
⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴期望()18
833
E ξ=⨯=
本题正确结果：8
3
【点睛】
本题考查服从于二项分布的随机变量的数学期望的求解，考查对于二项分布数学期望计算公式的掌握，属于基础题.
16．【解析】 【详解】
分析：由已知及等差数列的性质可得3A C B +=，结合三角形内角和定理可求B 的值，利用三角形面积公
式可得(42ac =+，利用余弦定理及基本不等式可解得AC 边的最小值. 详解：
3
,,2
A B C 成等差数列， 3A C B ∴+=，
又
,4
A B C B π
π+++=∴=
，
∴由(1
sin 212
ABC S ac B ∆=
=，得(42ac =，
222222cos b a c ac B a c =+==+，
因为222a c ac +≥，
(
228b ac ∴≥=
，解得b ≥，
b ∴
的最小值为
点睛：本题主要考查了等差数列的性质、三角形内角和定理、三角形面积公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化与划归思想，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）1
[,)2m e
∈+∞；（2）01x = 【解析】 【分析】
（1）由()0f x ≥恒成立，分离参数可得2ln x
m x ≥恒成立，设2
ln (),(0)x h x x x
=>，对其求导，可得()h x 的最大值，可得m 的取值范围；
（2）求出()g x ，对其求导，可得切在00(,)A x y 的切线方程，又切线方程为y m =，可得0x 与m 的方程组，可得()00021ln 10x x x --+=，设()(21)ln 1,(0)F x x x x x =--+>，对其求导可得()F x 的单调性与最小值，可得0x 的值唯一，可得答案. 【详解】
解：（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+
2()ln 0f x mx x =-≥，2
ln x
m x ∴≥
恒成立. 设2
ln (),(0)x h x x x =
>，则312ln ()x
h x x -'=，
x ∴∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，
)x ∴∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， ∴
函数max 1
()2h x h e ==
，所以1[,)2m e
∈+∞. （2）
1ln ()()x g x f x mx x x =
⋅=-，21ln ()x g x m x
-'∴=-. 因为切点为00(,)A x y ，则切线方程为00
00200
ln 1ln ()()()x x y mx m x x x x ---
=--， 整理得：00
200
1ln 12ln ()x x y m x x x --=-
+，又切线方程为y m =， 所以()020000001ln 021ln 1012ln x m x x x x x m
x -⎧
-=⎪⎪
⇒--+=⎨
-⎪=⎪⎩
，
设()()()21ln 1,0F x x x x x =--+>，则1
()2ln 1F x x x
'=-
+，
因为()F x '
在(0,)+∞单调递增，且(1)0F '=，所以()F x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增，所以
min ()(1)0F x F ==，
所以00()01F x x =⇒=，所以0x 的值唯一，为01x =. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值及利用导数求切线等问题，关键是能够利用导数的几何意义确定曲线的切线方程，从而构造方程求得结果.综合性大，属于难题.
18．（1）切线方程为：21y x =- ，单调增区间为2(,)e -+∞，单调减区间是2(0,)e -（2）见解析
【解析】 试题分析：
(1)由函数的导函数可得切线的斜率为2，据此可得切线方程为：21y x =- ，单调增区间为(
)
2
,e -+∞，单调减区间是(
)2
0,e
-；
(2)构造新函数()()'ln 2x
x
g x e f x e x =-=--，结合函数的性质即可证得题中的结论. 试题解析：
(1) ()ln 2f x x ='+，∴，
所以切线方程为：
单调增区间为(
)
2
,e -+∞，单调减区间是(
)2
0,e -
(2)设，
.
∵
在
上单调递增，且
，
.
∴存在唯一的零点，使得，
即
∴在
上单调递减，在
单调递增，
∴
=，
又，∴上式等号不成立，∴，即
19．⑴3
C π
= (2) 3a =
【解析】 【分析】
⑴由正弦定理及sin cos c A C =，得tan C =0C π<<，所以3
C π
=；
⑵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，解得a 【详解】 ⑴由正弦定理
sin sin a c A C
= 得sin sin c A a C =，
由已知得sin cos a C C =，tan C = 因为0C π<<，所以3
C π
=
⑵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，
得
2
2224cos
3
a a π
=+-⨯
即2230a a --=，解得3a =或1a =-，负值舍去， 所以3a = 【点睛】
解三角形问题，常要求正确选择正弦定理或余弦定理对三角形中的边、角进行转换，再进行求解，同时注意三角形当中的边角关系，如内角和为180度等
20． (1)1；(2)1ω≤≤.
【解析】 试题分析：
(1)整理计算()11a i ω=+-，满足题意时，10a -=，即1a =.
(2)由题意结合复数的模的定义和二次函数的性质可得ω的取值范围是1ω≤≤.
试题解析：
(1)()()()()
32233312222i i i i i z i i i i i ++-+++=
===+---+， 所以()111z ai i ai a i ω=-=+-=+-， 当ω为实数时，10a -=，即1a =.
(2)因为()11a i ω=+-，所以ω=
又因为03a ≤≤，所以当1a =时，min 1ω=，当3a =时，max ω=
所以1ω≤
≤.
21．（1）1:2sin C ρθ=（2）1
【解析】 【分析】
（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线1C 的极坐标方程；
（2）分别联立1C 与l 的极坐标方程、2C 与l 的极坐标方程，得到P 、Q 两点的极坐标，即可求出PQ 的长，再计算出M 到直线l 的距离，由此即可得到MPQ ∆的面积． 【详解】 解：（1）1cos :1sin x t
C y t =⎧⎨
=+⎩
，
其普通方程为()2
211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=
（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθ
πθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
联立2C 与l
的极坐标方程：2cos 36πρθπθ⎧⎛
⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎪=
⎪⎩
，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2PQ =，又点M
到直线l 的距离2sin 16
d π
==，
故MPQ ∆的面积1
12
S PQ d =⋅=. 【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．
22．（1）1(,2)3
-；（2
）03a <<- 【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）由1'03f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，可得2
3a =-，利用()'0f x <，即()1203x x ⎛
⎫+-< ⎪⎝
⎭，可得123x -<<，
从而可得结果；（2）()f x 在()0,1内有极大值和极小值，等价于
()'0f x =在()0,1内有两不等实根，结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可.
详解：()()2
'1f x x a x a =+-+，
（1）∵()f x 在13
x =-处取得极值， ∴1'03f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴
()111093a a --+=，∴23
a =-， ∴()()2
521'2333f x x x x x ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，令()'0f x <，则()1203x x ⎛⎫+-< ⎪⎝
⎭， ∴1
23
x -
<<， ∴函数()f x 的单调递减区间为1,23
⎛⎫- ⎪⎝⎭
. （2）∵()f x 在()0,1内有极大值和极小值， ∴()'0f x =在()0,1内有两不等实根，对称轴1
2
a x -=-
， ∴()()01012'00'10
a f f ∆>⎧⎪-⎪<-<⎪
⎨⎪>⎪>⎪⎩，
即2(1)40
110110
a a a a a a ⎧∆=-->⎪
-<<⎪
⎨>⎪⎪+-+>
⎩33110a a a a ⎧>+<-⎪⇒-<<⎨
⎪>⎩，
∴03a <<-点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上(),m n 的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、()(),f m f n 的符号）的方法解答.
同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量~(,)B n p ξ，若() 4.8,() 2.88E D ξξ==，则实数n p ，的值分别为( ) A ．4，0.6
B ．12，0.4
C ．8，0.3
D ．24，0.2
2．i 是虚数单位，则12i
i
-的虚部是（ ） A ．-2
B ．-1
C ．i -
D ．2i -
3．在ABC ∆中，0CA CB ⋅=，2BC BA ⋅=，则BC =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
4．已知角α的终边经过点()2,1P -，则
sin cos sin cos αα
αα
-=+（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．
12
D ．
34
5．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{5,8,9}B =，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ） A ．8 B ．12
C ．14
D ．15
6．双曲线
的焦点到渐近线的距离为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ） A ．二升 B ．三升
C ．四升
D ．五升 8．已知圆
，平面区域
，若圆心
，且圆C 与x 轴相切，则
圆心与点连线斜率的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、 二辩、三辩、 四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（ ） A ．14种
B ．16种
C ．20种
D ．24种
10．若当x θ=时,函数()3sin 4cos f x x x =+取得最大值,则cos θ=( ) A ．
35
B ．
45
C ．
35
D ．45
-
11．()4
2x y -的展开式的中间项为（ ） A ．24
B ．-8
C ．2224x y
D ．38xy -
12．在一组样本数据()()()(112212,,,,,,2,,,
,n n n x y x y x y n x x x ≥不全相等)的散点图中，若所有样本
点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线31y =x+上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A ．3
B ．0
C ．1-
D ．1
二、填空题：本题共4小题
13． “2x x >”是“1x >”的_______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个）
14．正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2
375150a a a +-+=且3n S =，则n =__________.
15．已知等腰直角ABC 的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC 折起，使二面角B AD C --的大小为
3
π
，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________． 16．在极坐标系中A(2,)3
π
-
，2B(4,
)3
π
两点间的距离______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）请根据上面的数据分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关吗
18．《基础教育课程改革纲要(试行)》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标．为加强心理健康教育工作的开展，不断提高学生的心理素质，九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课，学分为2分．学校根据学生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价，获得“合格”评价的学生给予41分的平时分，获得“不合格”评价的学生给予31分的平时分，另外还将进行一次测验．学生将以“平时分×41%+测验分×81%”
作为“最终得分”，“最终得分”不少于51分者获得学分．
该校高二(1)班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下：
（1）根据表中数据完成如下2×2列联表，并分析是否有94%的把握认为这些学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联？
（2）用样本估计总体，若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取4人，设获得学分人数为ξ，求ξ的期望．
附：2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++
19．（6分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群
体的人均通勤时间为()300301800
29030100x f x x x x <≤⎧⎪
=⎨+-<<⎪⎩
，
，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义． 20．（6分）在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.
经计算样本的平均值81μ≈，标准差 6.2σ≈. 为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X ，并根据以下不等式进行评判
① ()0.6828P X μσμσ-<<+≥；
② (22)0.9544P X μσμσ-<<+≥；
③ (33)0.9974P X μσμσ-<<+≥
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.
（1）试判断该份试卷被评为哪种等级；
（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量ξ表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
21．（6分）已知复数26(2)2(1)1m z i m i i
=+-
---，其中i 是虚数单位，根据下列条件分别求实数m 的值. （Ⅰ）复数z 是纯虚数；
（Ⅱ）复数z 在复平面内对应的点在直线0x y +=上.
22．（8分）2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
【解析】
【分析】
由~(,)B n p ξ，可得(),()(1)E np D np p ξξ==-，由此列出关于n p ，的方程组，从而得出结果。

【详解】
解：据题意，
得 4.8(1) 2.88np np p =⎧⎨-=⎩
, 解得120.4
n p =⎧⎨=⎩， 故选B 。

【点睛】
本题考查了二项分布的数学期望和方差，熟记离散型随机变量的数学期望和方差的性质是关键。

2．B
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．
【详解】 由题意得2
21222i i i i i i
--==--， 所以复数12i i
-的虚部是1-． 故选B ．
【点睛】
本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．
3．B
【解析】
【分析】
由向量的数量积公式直接求解即可
【详解】
因为0BC AC ⋅=，所以ABC ∆为直角三角形，
所以2|cos |2BC BA AB BC ABC BC ⋅=⋅⋅∠==，所以2BC =.
故选B
【点睛】
本题考查平面向量的夹角与模，以及平面向量数量积的运算，考查运算求解能力.
4．B
【解析】
【分析】
根据角的终边上一点的坐标，求得tan α的值，对所求表达式分子分母同时除以cos α，转化为只含tan α的形式，由此求得表达式的值.
【详解】
依题意可知1tan 2α=-，11sin cos tan 1231sin sin tan 112
αααααα----===-++-+．故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理计算即可，注意5这个特殊元素的处理.
【详解】
已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}5,8,9B =，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，分为2类：含5，不含5；则可以组成这样的新集合的个数为34214⨯+=个.
故选C.
6．A
【解析】
试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为，所以距离为
.
考点：双曲线与渐近线．
7．B
【解析】
【分析】
由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案．
【详解】
由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，
则中三节容量为42
3
2
+
=，故选B．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8．A
【解析】
【分析】
【详解】
分析：画出可行域，由可行域结合圆与轴相切，得到且，从而可得结果.
详解：
画出可行域如图，
由圆的标准方程可得圆心，半径为，
因为圆与轴相切，
所以，直线分别与直线与交于点，
所以，
圆心与点连线斜率为
时，；
时，
所以圆心与点连线斜率的取值范围是，故选A.
点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索
问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.
9．D
【解析】
五人选四人有455C =种选择方法，分类讨论：
若所选四人为甲乙丙丁，有22224A A ⨯=种；
若所选四人为甲乙丙戊，有1122228C C A ⨯⨯=种；
若所选四人为甲乙丁戊，有1122228C C A ⨯⨯=种；
若所选四人为甲丙丁戊，有12
2C =种； 若所选四人为乙丙丁戊，有12
2C =种； 由加法原理：不同组队方式有4882224++++=种.
10．B
【解析】
【分析】
函数()f x 解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.
【详解】
()()345sin cos 555f x x x sin x α⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，其中43,cos 55sin αα==, 当2,2x k k Z π
απ+=+∈，即22x k π
πα=+-时，()f x 取得最大值5 ,
22k π
παθ∴+-=， 则4cos cos 225k sin πθπαα⎛
⎫=+
-== ⎪⎝⎭
，故选B. 【点睛】 此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.
11．C
【解析】
【分析】
由二项式展开式通项公式()()12n r r r r n T C x y -+=-，再由展开式的中间项为展开式的第3项，代入求解即。