北邮数字信号处理期末考试试题范本

丢掉每一段的前 2 个样本后拼接在一起，得到输出 y(n) 为
y ( n ) = {1, 0, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 1}
四、研究 DFT 和 FFT
(1) 直接计算 4 点 DFT X(k)
(13 分)
设有一个离散信号 x(n)=[2,-1,1,1]
(2) 画出上述 4 点 FFT 的频率抽选法信号流图，并在每个节点上标注每一级计算结果。
三、线性卷积 (12 分)
设信号 x(n) = [1,1,1,1,3,3,3,3,1] 通过 LTI 离散系统 h(n) = [1,-1,1]，分别按 下列方法计算此离散系统的输出 y(n)。 (1) 采用时域线性卷积 (2) 采用 N = 6 的重叠保留(舍去)法
解：
(1) y ( n ) =
k = −∞
3 1+2j 3 1-2j
W4 = 1 W4 = − j
1
0
1 2j
五、系统函数和结构（10 分）
(1) 设滤波器差分方程为
y ( n) = x ( n ) +
1 5 1 x(n − 1) + y (n − 1) − y (n − 2) 6 6 2
试用正准型及一阶节的级联型、并联型结构实现此差分方程。 (2) 写出下图所示结构的系统函数和差分方程
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(2)
1 z > 2 x(n) = [( ) n − 2n ]u (n); 3 1 1 < z < 2 x(n)=( ) n u (n) + 2n u (− n − 1); 3 3 1 1 z < x(n)=[2n − ( ) n ]u (−n − 1) 3 3
差分方程：
y (n) = x(n) + 3x(n − 1) + x(n − 2) + 4 y (n − 1) − 2 y (n − 2) − 4 y (n − 3)
六、IIR 滤波器设计（20 分） s +1 （1） 设 H a (s ) = 2 ， T = 0.1 ，试用脉冲响应不变法将此模拟滤波器系统函数 s + 5s + 6 转化为数字系统函数 H ( z ) 。
j
π
3
是一个线性相位 FIR 滤波器 (h(n)为实数) 的系统函数 H(z)的零点，
−j
π
3
则 H(z)的零点一定还有 0.5e
, 2e
-j
π
3
, 2e 3 。
j
π
二、z 正、反变换（12 分）
(1) 求如下序列的 Z 变换，注明收敛域：
x(n) = cos nϖ 0 × cos nϖ 1 × u (n) 5z (2) 已知 X ( z ) = ，求出所有可能的 x(n)。 7 z − 3z 2 − 2
−1 2 −2 −2
4 f s 1 − z −1 + 4 2 f s 1 − z −1 1 + z −1 + 4 f s 1 + z −1
2
(
)
4 f s 1 + z −1
2
2
(
(
)(
)
2
)
2
(
)
2
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2
（2）此数字滤波器的截止频率
ω c = Ω cT =
2πf c 2π × 400 π = = fs 1600 2
用双线性变换法，相应的模拟滤波器的截止频率为
π ′ 2 ω Ω c = tg c = 2 f s tg = 2 f s T 2 4
该模拟滤波器的系统函数为
H a (s ) =
′
′2 Ωc (s − s0 )(s − s1 )
π π + 2π 4
即：
H a (s ) =
Ωc
′2
′ ′2 s 2 + 2Ω c s + Ω c
将双线性变换公式带入上式便得数字滤波器系统函数
H ( z ) = H a (s )
s=2 f s
1− z −1 1+ z −1 2
=
(1 − z ) = 2(1 + z ) + 2 (1 − z )
x(n) 5/6 -1/6
z z
−1
y(n)
1 2
−1
正 准 型
x(n)
1 2
6
z −1
y(n)
-5
1 3
z −1
并联型
x(n)
1 1 ( ) 2 3
y(n)
z −1
1 2Leabharlann Baidu
1 1 ( ) 3 2
z −1
级联型
(2) 系统函数：
1 1 + 3z −1 + z −2 H ( z) = • 1 − 2 z −1 1 − 2 z −1 − 2 z − 2 1 + 3z −1 + z − 2 = 1 − 4 z −1 + 2 z − 2 + 4 z −3
n =0 n =0 3 n =0 3 n =0 3
1⋅n
X ( 2) = ∑ x ( n )W4 X (3) = ∑ x ( n )W4
n =0 n =0 3
2⋅n
3⋅n
故 X(k) = [3, 1+2j, 3, 1-2j]
(2) 4 点频率抽选法信号流图如图
2 -1 1 1 -1 -1 3 0 1 -2 3 0 -1 3 3 1+2j -1 1-2j
∑ h(k ) x(n − k ) = {1, 0, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 1}
∞
(2）由于 M =3，必须使每一段与前一段重叠 2 个样本，x(n) 为 9 点序列，需要在开头
加 (M-1) = 2 个零。因为 N = 6，则可划分为三部分：
x1 ( n ) = {0,0,1,1,1,1} x 2 ( n ) = {1,1,3,3,3,3} x 3 ( n ) = {3,3,1,0,0,0}
（2） 用双线性变换法设计一个二阶 Butterworth 数字低通滤波器，要求其 3dB 带宽(截 止频率) f c = 400 Hz ，采样频率 f s = 1.6kHz 。
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3 3
X (0) = ∑ x ( n )W4 X (1) = ∑ x ( n )W4
n =0 3 n =0 3
0⋅ n
= ∑ x ( n ) = x (0) + x (1) + x ( 2) + x (3) = 2 − 1 + 1 + 1 = 3 = ∑ x ( n )( − j ) n = 2 + j − 1 + j = 1 + 2 j = ∑ x ( n )( −1) n = 2 + 1 + 1 − 1 = 3 = ∑ x ( n )( j ) n = 2 − j − 1 − j = 1 − 2 j
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1 −1 1 1 + z −1 z 2 2 H ( z) = = 1 5 −1 1 − 2 1 −1 1− z + z (1 − z )(1 − z −1 ) 3 6 6 2 6 5 = − 1 1 1 − z −1 1 − z −1 2 3 1+
π π j + 2 4 3π 2 2 ′ j ′ = Ωc e 4 = Ωc − 2 + j 2 5π 2 2 ′ j ′ = Ωc e 4 = Ωc − − j 2 2
s0 = Ω c e
其中：
′ j + s1 = Ω c e 2
解：
（1） 用部分分式展开 H a (s ) ：
2 1 s +1 = − s + 5s + 6 s + 3 s + 2 极点为 s1 = −3, s 2 = −2 ，相应 A1 = 2, A2 = −1 N Ai H (z ) = ∑ 根据 和 T = 0 .1 siT −1 z i =1 1 − e 2 1 H (z ) = − − 3T −1 − 2T −1 1− e z 1− e z 1 − 0.8966 z −1 = 1 − 1.5595 z −1 + 0.6065 z − 2 H a (s ) =
解:
x(n) = cos nϖ 0 × cos nϖ 1 × u (n) 1 1 = (e jnϖ 0 + e − jnϖ 0 ) (e jnϖ1 + e − jnϖ1 )u (n) 2 2 1 = (e jn (ϖ 0 +ϖ1 ) + e jn (ϖ1 −ϖ 0 ) + e jn (ϖ 0 −ϖ1 ) + e − jn (ϖ 0 +ϖ1 ) )u (n) 4 z z z z 1 ) ∴ X(z)= ( + + + j (ϖ 0 +ϖ 1 ) j (ϖ 1 −ϖ 0 ) j (ϖ 0 −ϖ 1 ) − j (ϖ 0 +ϖ 1 ) z−e z−e z−e 4 z −e z >1
因为 x(n) 在 n>8 时无值，因此在 x3(n) 中必须填 3 个零。现在计算每一部分与 h(n) 循环卷积。
y1 ( n ) = x1 ( n ) ⊗ h ( n ) = {0,1,1,0,1,1} y 2 ( n ) = x 2 ( n ) ⊗ h( n ) = {1,3,3,1,3,3} y 3 ( n ) = x 3 ( n ) ⊗ h( n ) = {3,0,1,2,1,0}
n = −∞
∑ h( n) < ∞ 。
∞
(2) 设 x(n)是一实序列，X(k)=DFT[x(n)], 则 X(k)的模是周期性偶序列, X(k)的幅角是周 期性奇序列。 (3) 用脉冲响应不变法设计 IIR 数字滤波器，S 平面的 s= jπ/T 点映射为 Z 平面的 z=-1 点。 (4) 线性非移变因果系统是稳定系统的充分必要条件是其系统函数 H(z)的所有极点都在 z 平面的单位园内。 (5) FIR 数字滤波器的单位取样响应为 h(n), 0≤n≤N-1, 则其系统函数 H(z)的极点在 z=0，是 N-1 阶的。 (6) 线性相位 FIR 滤波器的单位取样响应 h(n)是 偶 对称或 奇 对称的。设 h(n)之长度为 N(0≤n≤N-1), 则当 N 为奇数时，对称中心位于(N-1)/2; 当 N 为偶数时，对称中心位 于(N-1)/2。 (7) 已知序列：x(n),0≤n≤15; g(n),0≤n≤19. X(k)、G(k)分别是它们的 32 点 DFT.令 y(n)=IDFT[X(k)G(k)],0≤n≤31,则 y(n)中相等于 x(n)与 g(n)线性卷积中的点有 29 点，其序号从 3 到 31。 (8) 已知 z 0 = 0.5e
七、FIR 滤波器设计（15 分）
利用窗函数法完成数字带通滤波器的设计，并画出其线性相位结构的示意图。 该数字带通滤波器的性能指标如下： 低端阻带边缘： ϖ s1 = 0.25π , A s = 20dB ； 低端通带边缘： ϖ p1 = 0.36π , R p = 1dB ； 高端通带边缘： ϖ p 2 = 0.64π , R p = 1dB ； 高端阻带边缘： ϖ s 2 = 0.75π , A s = 20dB ；
窗函数 旁瓣峰值衰 减（dB） 矩形窗 汉宁窗 汉明窗 布莱克曼窗 过渡带 （△w） 阻带最小衰 减（dB）
解：
(1) 由 DFT 的定义有：
X ( k ) = ∑ x ( n )W4
n =0
3
kn
而 则
W4 = e
1
−2π / N
= e −π / 2 = − j
W 4 = e − π = −1
2
W4 = j
3
W 4 = W4 = 1
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<<数字信号处理>>
班级 ______ 姓名 _______ 学号 ________ 成绩 ______ 一、填空 (18分, 请直接写在此试题纸的空格处)
(1) 设 h(n)是一个线性非移变系统的单位取样响应。若该系统又是因果的，则 h(n)应满足 当当 n<0 时，h(n)=0；若该系统又是稳定的，则 h(n)应满足
x(n) 2
z −1
y(n) 3
z −1
2 2
z −1
解：
(1)
1 −1 1 1 + z −1 z 2 2 H ( z) = = 5 −1 1 − 2 1 −1 1 1− z + z (1 − z )(1 − z −1 ) 6 6 2 3 1+
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