著名机构初中数学培优讲义一元一次方程的应用题(一).第03讲(A级).教师版

内容 基本要求 略高要求
较高要求
一元一次方程
了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程
能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题
一元一次方程的解
法 理解一元一次方程解法中的各个步骤
能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解
会运用一元一次方程解决简单的实际问题
应用题是中学数学中的一类重要问题，一般通过对问题中量的关系进行分析，适当的设未知数，找出等量关系列出方程加以解决.很多同学见到应用题就发怵，觉得题目长，文字多，关系复杂，难以把握.其实应用题关键在于读题，弄懂题意.一些常见的问题，比如行程问题、工程问题、利率问题、浓度问题等等，其中的基本关系一定要深刻理解.
设未知数的方法一般来讲，有以下几种： 直接设未知数解应用题：
直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况； 间接设未知数解应用题：
设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用； 引入辅助未知数解应用题：
设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程.辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去.
解应用题的方法多种多样，除此之外，还有运用逆推法解应用题、运用整体思想解应用题、运用图形图表法解应用题等等，单纯的背这些方法是没有意义的，关键还在于提高理解能力，大量练习，从而学会快速读懂题意，综合运用各种方法去求解问题.
列方程解应用题的步骤：
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
例题精讲
中考要求
一元一次方程的应用题(一)
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
模块一 和差倍分问题
【例1】 玻璃缸里养了三个品种的金鱼，分别是“水泡”“朝天龙”“珍珠”．“水泡”的条数是“珍珠”的3倍；“朝
天龙”的条数是“珍珠”的2倍，且“朝天龙”比“水泡”少1条，这三种金鱼各有几条呢? 【解析】设“珍珠”的条数为x 条，则“水泡”“朝天龙”的条数分别为3x 条、2x 条．
依题意得：321x x -=，1x =，从而33x =，22x =.
【答案】3,2,1
【巩固】甲队有32人，乙队有28人，现从乙队抽x 人到甲队，使甲队是乙队人数的2倍，依题意，列出
方程为 . 【解析】略
【答案】322(28)x x +=-
【巩固】汽车若干辆装运货物一批，若每辆汽车装3.5吨货物，这批货物就有2吨运不走；若每辆汽车装4
吨货物，那么装完这批货物后，还可以装其他货物1吨，问汽车有多少辆?这批货物有多少吨？ 【解析】设有汽车x 辆．依题意得：3.5241x x +=-，解之得：6x =，4123x -=，故汽车有6辆，货物
有23吨．
【答案】6；23
【例2】 ⑴ 甲仓库有粮120吨．乙仓库有粮90吨．从甲仓库调运 吨到乙仓库，调剂后甲仓库存粮
是乙仓库的一半．
⑵ 甲乙两个圆柱体容器，底面积比为53∶，甲容器水深20cm ，乙容器水深10cm ，再往两个容器注入同样多的水，使两个容器的水深相等，这时水深多少厘米?
【解析】⑴ 从甲仓库调运x 吨到乙仓库，依题意得1
120(90)2
x x -=+，解得50x =．
⑵ 设这时水深cm x ，依题意得5(20)3(10)x x -=-，解得35x =．若学生不好理解，不妨多设一
个底面积比为53a a ∶．方程为5(20)3(10)a x a x -=-即可．
【答案】50；35
【巩固】某公司有甲乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的
2
3
多28人．现因任务需要，从乙队调走20人到甲队，这时甲队人数是乙队人数的2倍，则甲乙两队原来的人数分别是多少人？
【解析】设乙队原来有x 人，则甲队有2
283
x +人．依题意可列：
()2
22028203
x x -=++，解得：66x =
【答案】72,66
【巩固】甲、乙、丙三条铁路共长1191千米，甲铁路长比乙铁路的2倍少189千米，乙铁路长比丙铁路少8
千米，求甲铁路的长．
【解析】设丙铁路长为x 千米，则乙铁路长8x -千米，甲铁路长()28189x --千米．
依题意可列：()()8281891191x x x +-+--=
【答案】499,344,352
【巩固】如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的1
3
，
另一根露出水面的长度是它的1
5
．两根铁棒长度之和为55cm ，此时木桶中水的深度是 cm ．
【解析】设此时木桶中水的深度为cm x ，依题意得，两根铁棒的长度为1[(1)]cm 3x ÷-和1
[(1)]cm 5
x ÷-，
故11
[(1)][(1)]5535
x x ÷-+÷-=，解得20x =．
【答案】20
【例3】 牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对
牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?
【解析】设这群羊共有x 只，依题意，有11
2110024
x x x +++=，解之得36x =.
【答案】36
模块二 行程问题
☞追击问题
解决追击问题的一个最基本的公式：追击时间⨯速度差=追击的路程．于此相关的问题都可以应用这一公式进行解答．
【例4】 敌我两军相距32千米，敌军以每小时6千米的速度逃窜，我军同时以每小时16千米
的速度追击在相距2千米的地方发生战斗，问战斗是从开始追击后几小时发生的？
【解析】根据追击问题的基本公式：追击时间⨯速度差=追击的路程．
设战斗是从开始追击后x 小时发生的．则依题意可列：()166322x -=-，解得：3x =．
【答案】3
【巩固】环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的
3
2
倍，环城一周是20千米，求两个人的速度。

【解析】设最慢的人的速度为x ，则最快的人的速度为32x ，依题意可列：432052x x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
．
解得：50x =
【答案】慢人的速度为50，快人的速度为65．
【巩固】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车，汽车的速度是每小时28千米，摩托车的速度是每
小时42千米，通讯员出发4小时后追上汽车，求部队比通讯员早出发几小时？
【解析】设部队比通讯员早出发x 小时．则依题可列：
()42284
28x
-=，解得：2x =．
【答案】2
【例5】 某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每
小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？
【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为x 小时，则1515
30()18()6060
x x -=+，解得1x =，
此人打算在火车开车前10分钟到达，
骑摩托车的速度应为
15
30(1)
602710160⨯-=-（千米/时） 【答案】27
【巩固】甲乙两列火车，甲车长160m ，乙车长120m ，甲车速度为20/m s ，乙车速度为40/m s ；若乙
车从后面追赶甲车，问从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间是多少？ 【解析】本题解题的关键是要注意“乙车追上甲车到乙车超过甲车”所以，追击路程为两车的车长之和．
设从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间为x ，则依题意可列：()1601204020x +=- 解得：14x =
【答案】14
☞相遇问题
解决相遇问题的基本公式为：速度和⨯相遇时间=路程．
【例6】 乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，
每小时行驶48千米．两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？ 【解析】设经过x 小时相遇，则依题意可列：()7248360x +=，解得：3x =．
【答案】3
【巩固】甲、乙两人从相距75km 的A 、B 两地相向而行，甲每小时行7.5km ,乙每小时行5km ，问：（1）
两人同时出发，多少小时相遇？（2）甲先走2小时后乙出发，问乙出发几小时后两人相遇 【解析】（1）设x 小时相遇．依题意可列：()7.5575x +=，解得：6x =
（2）设乙出发x 小时后两人相遇．则依题意可列：()757.527.55x -⨯=+，解得：4x =．
【答案】6；4
【巩固】甲、乙两人从相距73km 的A 、B 两地相向而行，甲每小时行7km ,乙每小时行2km ，问：两人
同时出发，多少小时相距1km ？ 【解析】设x 小时后相距1km ．依题意可列：()73172x -=+，解得：8x =． 【答案】8
☞变速问题
【例7】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行525米，预计40分钟到达，但行到一半路程时，机器发生
故障，用5分钟修理完毕，如果仍在预计的时间内到达，行驶余下的路程，每分钟比原来速度快多少米？
【解析】设比原来的速度快x 米．则依题意可列：52520
205525x
⨯=-+，解得：175x =．
【答案】175
【巩固】某人以每小时8千米的速度上山，以每小时12千米的速度下山，共用5小时。

问上山需要用多
少时间？ 【解析】设上山需要用x 小时，下山需要5x -小时．则依题可列：()8125x x =-，解得：3x =． 【答案】3
【巩固】Cenrrie 带着宠物狗“旺财”去玩接“飞盘”的游戏，Cenrrie 站一个小山坡的脚下，当Cenrrie 扔出“飞
盘”，“旺财”从Cenrrie 身边同时跑出去速度为6/m s ，接到“飞盘”后以9/m s 的速度跑回Cenrrie 身边，问整个过程中“旺财”的平均速度是多少？
【解析】设“旺财”从身边跑出去接到飞盘所用的时间为x ，=整个路程
平均速度全程所用的时间
，则整个过程中的
平均速度为：267.26
9x
x x =+g 【答案】7.2
【点评】这题切记利用两个速度和的一半来求平均速度，这样做是错误的．
【例8】 某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A 地赶往B 地．实际上，他乘小货车行了三分之一路程后
改乘一辆小轿车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达．已知小货车的车速是36千米／小时，求两地间路程.
【解析】列方程解应用题的基本思想是通过对实际问题中数量关系的分析，列出相关的代数式，进而建立
方程，转化为纯数学问题来解决．这一过程的关键是要透过纷繁多变问题的表象，住数量关系的
实质；不能机械的记忆、套用某些题型而忽略了问题的本质．常有貌似相像，实质不同的问题；
也有面目迥异而实质相同的问题．本题与上题具有相同的数量关系：后23程中时间节约了1
12
小
时．所以设行驶了全程的13
还余x 千米．根据题意，同样可列出方程，1
136722x x -=，解得
108x =．这时两地间路程是2
1081623
÷=(千米)．
【答案】162
【巩固】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，
水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？ 【解析】设小船在静水中的速度为a ，原来的水速为b ，则2()3(2)a b a b -=-，解得4a b =，故所求时间
为2()1(2)a b a b -=+（小时）. 【答案】1
☞流水问题
流水问题的常用公式：=逆水时的速度船速-静水速度
=+顺水时的速度船速静水速度
()1
=+2
船速逆水时的速度顺水时的速度
()1
=2
静水速度顺水时的速度-逆水时的速度
【例8】 一小船由A 港到B 港顺流需行6小时，由B 港到A 港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点
由A 港出发顺流行至B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈.问：
⑴若小船按水流速度由A 港漂流到B 港需多少小时？ ⑵救生圈是何时掉入水中的？ 【解析】⑴设小船在静水中的速度为a ，水流速度为b ，则6()8()a b a b +=-，解得7a b =，故小船按水流
速度由A 港漂流到B 港所需时间为6()
48a b b
+=（小时）
； ⑵设小船行驶x 小时后，救生圈掉入水中，则(61)()1(6)()x b a b x a b -++-⨯=-+，将7a b =代
入上式，得到5x =，故救生圈是上午11点掉入水中的.
【答案】48；5
【巩固】甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时，现
有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，问这机帆船往返两港要多少小时？ 【解析】解答本题需要两大步骤：首先求出水流的速度，其次，利用已求的水流速度求出帆船往返所需要
的时间．
设轮船顺流航行需要x 小时，依题意可列：535x x ++=，解得：15x =． 可求得水速为：1360360321520⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（千米∕时）
则帆船往返两港所需要的时间为：
360360
64123123
+=+-（小时） 【答案】64
模块三 工程问题
【例9】 某车间原计划每周装配42台机床，预计若干周完成任务．在装配了三分之一以后，改进操作技术，
工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配机床总台数．
【解析】设装配了机床总量的13
还余x 台．根据题意可列方程1
1424222x x -=⨯，解得126x =．这时总任务
是2
1261893
÷=(台)．
【答案】189
【巩固】某工程，甲工程队单独做40天完成，乙工程队单独做需要60天完成，若乙工程队单独做30天后，
甲、乙两工程队再合作x 天完成．列方程为 ． 【解析】111
30()1603060
x ⨯++=．
【答案】1
【例10】 一水池，装有甲、乙两个进水管和一个出水管丙，如果单独开发甲管4小时注满水池；单独开放
乙管3小时可注满水池；单独开放丙管8小时可以把满池水放完。

问三管一齐开放，几小时注满水池？
【解析】设三管一齐开放，x 小时可以注满水池．则由题意可列：1111438x ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
，解得：7117x =（小时）
【答案】7
117
【巩固】有一个水池，用甲抽水机抽水8小时可以把全池水的
31抽完，用乙抽水机6小时可以把全池水的5
1
抽完，若两台抽水机同时工作，几小时可将全池的水抽完？
【解析】根据题意可知甲抽水机每小时可以完成总量的
124，乙抽水机每小时可以完成总量的130
， 则依题意可列：1
112430x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得：403x =（小时）
【答案】40
3
1. 甲乙两人从相距1000米的两地同时相对而行，甲每分钟行60米，乙每分钟行40米．几分钟后，甲乙二人相遇？如果甲带了一只狗和甲同时出发，狗以每分钟150米的速度向乙跑去，遇到乙后立刻回头向甲跑去。

这样，狗在甲乙二人之间来回奔跑，直到两人相遇时为止。

求这只狗跑了多少路？ 【解析】设两人的相遇时间为x ，则根据相遇问题的基本公式可列：()60401000x +=，解得：10x =，第
二问读起来学生可能觉得很难，但仔细想想这个题很简单，只要能够想到，这只狗一共跑了多长时间就可以，这只狗不管跑了多少趟，所跑的时间都是两个人的相遇时间也就是十分钟，所以这只狗所跑的路程为：150101500⨯=（米）．
【答案】10；1500
1. 一个两位数，十位数字是个位数字的3倍，如果把十位数字与各位数字交换，所成的新数比原数少54，求原数. 【解析】设原来两位数的个位数字是x ，则十位数字为3x ，这个两位数是：30x x +，根据题意得：
(30)(103)54x x x x +-+= ，解这个方程得3x =．
故原数为：93．
【答案】93
2. 一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1．将两个数字调换位置后，所得的数比原数小63，求原来的两位数． 【解析】设原来两位数的个位数字是x ，则十位数字为41x +，这个两位数是：10(41)x x ++，
根据题意得：[10(41)][10(41)]63x x x x ++-++= ，解这个方程得2x =． 故原数为：10(41)92x x ++=．
【答案】92
3. 船在静水中的速度为每小时15千米，水流速是每小时3千米，船从上游乙港到下游甲港航行了12小时，
从甲港返回乙港需要多少小时？ 【解析】设从甲港返回乙港需要x 小时，则依题意可列：()()12153153x +=-，解得：18x =（小时）． 【答案】18
课堂检测
课后作业。