高二下学期数学苏教版选择性必修第二册7.3.1组合课件

而上标为与两个上标中大的相同的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算．
例 2 (1) 计算：C37＋C47＋C58＋C69； 【解析】 原式＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C610＝C410＝140××39××28××17＝210. (2) 求证：Cnm＋2＝Cnm＋2Cnm－1＋Cnm－2.
解析
检测反馈
1. 下列等式中，不正确的是( )
A. Cmn ＝m！nn！ －m！
B. Cmn ＝Cnn－m
C. Cmn＋1＝Cnm＋Cmn －1
D. Cmn ＝Cmn＋＋11
【解析】 A 是组合数公式；B，C 是组合数性质；D 中，Cmn ＝m！nn！ －m！，Cmn＋＋11＝
m＋1n＋ ！1n－！m！，两者不相等，故 D 错误．
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 C12C25－C15种
【解析】 对于 A，显然有 C37种选法，故 A 正确；对于 B，在物理、化学中选一门，
其他选两门，有 C12C25种，物理、化学都选，其他选一门，有 C22C15种，共有 C12C25＋C22C15种
选法，故 B 错误；对于 C，在任选 3 门的 C37种选法中，排除物理、历史同时选的 C15种
7．3 组合 7.3.1 组合(2)
目 录
Contents
学习目标 活动方案 检测反馈
学习目标
1. 掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简． 2. 熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题．
活动方案
活动一组合数性质的推导 例 1 一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球． (1) 从口袋内取出 3 个球，共有多少种不同的取法？ (2) 从口袋内取出 5 个球，共有多少种不同的取法？ (3) 从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种不同的取法？ (4) 从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种不同的取法？
解析
变式 例 5 中，抽出的 3 件中至多有 1 件是次品的抽法有多少种？ 【解析】 C12C298＋C398＝9 506＋983××927××196＝161 602(种)．
解析
“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解．
按下列条件，从 12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？ (1) 甲、乙、丙三人必须当选； (2) 甲、乙、丙三人不能当选； (3) 甲必须当选，乙、丙不能当选； (4) 甲、乙、丙三人只有 1 人当选； (5) 甲、乙、丙三人至多 2 人当选； (6) 甲、乙、丙三人至少 1 人当选．
Cnm＋Cmn －1＝m！nn！－m！＋m－1！nn！－m＋1！
＝m！n＋n1－－mm＋·n1！！＋m！nm－·nm！＋1！
＝m！nn＋－1m·＋n！1！＝m！nn＋＋11－！m！
＝Cnm＋1.
解析
活动二 组合数的性质及应用
组合数的性质 1：Cnm＝Cnn－m. 说明：①规定：C0n＝1； ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
解析 答案
3. (多选)高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术这
七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法中正确的有( )
A. 若任意选择三门课程，则选法总数为 C37种
B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C12C26
C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为 C37－C15种
例 3 证明：Cnm·Cpn＝Cpm·Cnm－－pp. 【解析】 左边＝n！mm！ －n！·p！nn！－p！ ＝p！n－pm！！m－n！， 右边＝p！mm！ －p！·n－pm！－pm！ －n！ ＝p！n－pm！！m－n！， 所以 Cnm·Cpn＝Cpm·Cnm－－pp.
解析
活动三 简单的实际问题 例 4 在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从 5 个试题中任意选答 3 题，问： (1) 有几种不同的选题方法？ 【解析】 C35＝53× ×42× ×31＝10(种)． (2) 若有一道题是必答×31＝6(种)．
【解析】 右边＝n！mm！ －n！＋2·n－1！mm！－n＋1！＋n－2！mm！－n＋2！
＝n！m－m！n＋2！[(m－n＋2)(m－n＋1)＋2n(m－n＋2)＋n(n－1)]
＝n！m－m！n＋2！(m2＋3m＋2)
＝mn！！mm＋－1n＋m2＋！2＝n！mm＋＋22－！n！
＝Cnm＋2＝左边．
解析
解析 答案
2. (2020·北京通州期末)从 2 名教师和 5 名学生中，选出 3 人参加“我爱我的祖国”
主题活动．要求入选的 3 人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是( )
A. 20
B. 25
C. 30
D. 55
【解析】 所求分成两种情况：①当入选 1 名教师，2 名学生时，有 C12·C25＝20(种)； ②当入选 2 名教师，1 名学生时，有 C22·C15＝5(种)，20＋5＝25(种)．
③此性质作用：当 m>n2时，计算 Cmn 可变为计算 Cnn－m，能够使运算简化．
例如
C22
000012＝C22
002－2 002
001＝C12
002＝2
002；
④Cnx＝Cny⇒x＝y 或 x＋y＝n.
组合数的性质 2：Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
说明：①公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合数之和等于下标比原下标多 1
解析
解析 答案
5. 要从 6 名男生 4 名女生中选出 5 人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不 同的选法？
(1) 甲当选且乙不当选； (2) 至多有 3 名男生当选． 【解析】 (1) 甲当选且乙不当选，只需从余下的 8 人中任选 4 人，有 C48＝70(种) 选法． (2) 至多有 3 名男生当选时，应分三类： 第一类是 3 男 2 女，有 C36C24种选法； 第二类是 2 男 3 女，有 C26C34种选法； 第三类是 1 男 4 女，有 C16C44种选法． 由分类加法计数原理知，共有 C36C24＋C26C34＋C16C44＝186(种)选法．
解析
结论：Cnm＝Cnn－m，Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1. 规定：C0n＝1. 思考 2►►►
如何证明这两个结论？(试从实际问题模型和组合数公式两个角度给出证明)
【解析】 实际问题模型证明如例 1.
组合数公式角度证明如下：Cnm＝m！nn！－m！＝n－m！[nn！－n－m]！＝Cnn－m.
【解析】 (1) C38＝83× ×72× ×61＝56(种)． (2) C58＝85× ×74× ×63× ×52× ×41＝56(种)． (3) C27＝72× ×61＝21(种)． (4) C37＝73× ×62× ×51＝35(种)．
解析
思考 1►►► (1) 例 1 中(1)和(2)中的组合数有什么关系？由此你能得出什么结论？能推广到一 般情形吗？ 【解析】 例 1 中(1)和(2)中的组合数相等，从 8 个球中取出 3 个球和从 8 个球中取 出 5 个球的不同取法种数相等，即 C38＝C58，一般情形为 Cnm＝Cnn－m. (2) 例 1 中(1)与(3)(4)有何联系？由此你能得出什么结论？能推广到一般情形吗？ 【解析】 例 1 中(1)的组合数与问题(3)(4)的组合数之和相等，从口袋中取出 3 个球 包含 2 个白球 1 个黑球和 3 个白球两种情况，即 C38＝C27＋C37，一般情形为 Cnm＋1＝Cmn －1＋ Cnm.
【解析】 (1) C29＝92× ×81＝36(种)． (2) C59＝95× ×84× ×73× ×62× ×51＝126(种)． (3) C49＝94× ×83× ×72× ×61＝126(种)． (4) C13C49＝3×94× ×83× ×72× ×61＝378(种)． (5) C512－C29＝125××141××31×0×2×9×1 8－36＝756(种)． (6) C512－C59＝125××141××31×0×2×9×1 8－126＝666(种)．
解析
例 5 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件．
(1) 有多少种不同的抽法？ (2) 抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3) 抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 【解析】 (1) C3100＝1003× ×929××198＝161 700(种)． (2) C12C298＝2×982× ×917＝9 506(种)． (3) C12C298＋C22C198＝2×982× ×917＋22× ×11×918＝9 506＋98＝9 604(种)．
选法，即 C37－C15种，故 C 正确；对于 D，应分三种情况：①只选物理，则有 C24种选法；
②只选化学，则有 C25种选法；③若物理与化学都选，则有 C14种选法，即共有 C24＋C25＋
C14＝20(种)选法，故 D 错误．故选 AC.
解析 答案
4. C34＋C35＋C36＋…＋C312＝________. 【解析】 原式＝C34＋C44＋C35＋C36＋…＋C312－1＝C45＋C35＋C36＋…＋C312－1＝C413－1 ＝134××132××211××110－1＝714. 【答案】 714