2019年湖北名校联盟高三第三次模拟考试卷 文科数学押题第一套 教师版

2019年湖北名校联盟高三第三次模拟考试卷
文 科 数 学押题第一套
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．[2019·深圳期末]已知集合(){}
2
2log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B =∅，则a 的取值范
围是（ ） A ．(],3-∞ B ．(],4-∞ C ．()3,4 D ．[]3,4
【答案】D
【解析】由题意，集合(){}{
}
{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或， {}1B x a x a =<<+；
若A B =∅，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ．
2．[2019·广安期末]已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i --
C ．2i -
D ．23i -+
【答案】A
【解析】由5z z ⋅=可得()2
215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-， ∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ．
3．[2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1
996
分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长
度为（ ）
A ．1
9533
分
B ．1
10522
分
C ．2
11513
分
D ．5
12506
分
【答案】B
【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1
996
分，
且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分． ∴135012160d +=，解得1190
12
d =-
， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫
+-⨯= ⎪
⎝⎭
（分）．故选B ． 4．[2019·恩施质检]在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ）
A ．1
3
B ．59
C ．
79 D ．89
【答案】B
【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=；由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈， 区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是5
9
P =
．故选B ． 5．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为
（ ） A ．2 B
C
D
【答案】B
【解析】设双曲线()2
2
10mx y m -=>为2221x y a -=，它的一条渐近线方程为1
y x a
=，
直线2y x =-的斜率为2-，
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
∵直线1y x a =与2y x =-垂直，∴()1
21a
⨯-=-，即2a =
，∴c e a ===．故选B ．
6．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ）
A ．
π
4
B ．
π2
C ．
3π4
D ．
3π2
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的3
4
， ∴该几何体的体积为233π
π1242
⨯⨯⨯=．故选D ．
7．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=，∴()f x 为偶函数，选项B 错误，()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0g x x ='+≥恒成立，
∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'，
即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ．
8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
【答案】C
【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ． 9．[2019·汕尾质检]如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“
”中应填的执行语句是（ ）
A ．100i n =+
B ．99i n =-
C ．100i n =-
D ．99i n =+
【答案】C
【解析】由题意，n 的值为多项式的系数，由100，99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“
”处应该填入100i n =-．故选C ．
10．[2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线
l 于点C
，若BC =
，且1AF =，则此抛物线的方程为（ ）
A
．2y =
B ．22y x =
C
．2y =
D ．23y x =
【答案】A
【解析】如图，过A 作AD 垂直于抛物线的准线，垂足为D ， 过B 作BE 垂直于抛物线的准线，垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，
由抛物线的定义，BF BE =
，1AF AD ==，
∵BC =
，∴BC =，∴45DCA ∠=︒，
∴2AC ==
211CF ==，
∴PF =
=
，即p PF ==
2y =，故选A ． 11．[2019·陕西联考]将函数πsin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到()g x
的图象
若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ） A ．
9π2
B ．
7π2
C ．
5π2
D ．
3π2
【答案】D
【解析】将函数πsin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，
得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛
⎫=-++=-+ ⎪⎝
⎭的图象，故()g x 的最大值为2，最小值为0，
若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==，或()()122g x g x ==-（舍去）． 故有()()122g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，
又1x ，[]22π,2πx ∈-，则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为
π3π
π22
+=
．故选D ． 12．[2019·菏泽期末]如图所示，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '、DD '交于M ，N ，设BM x =，[]0,1x ∈，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''；
②当且仅当1
2
x =
时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[]0,1x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题的序号为（ ）
A ．①④
B ．②
C ．③
D ．③④
【答案】C
【解析】①连结BD ，B D ''，则由正方体的性质可知，EF ⊥平面BDD B ''，
∴平面MENF ⊥平面BDD B ''，∴①正确；
②连结MN ，∵EF ⊥平面BDD B ''，∴EF MN ⊥，四边形MENF 的对角线EF 是固定的， ∴要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时， 即1
2
x =
时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小，∴②正确； ③∵EF MN ⊥，∴四边形MENF 是菱形，当10,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，EM 的长度由大变小，
当1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，EM 的长度由小变大，∴函数()L f x =不单调，∴③错误；
④连结C E '，C M '，C N '，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，
它们以C EF '为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥，
∵三角形'C EF 的面积是个常数，M ，N 到平面'C EF 的距离是个常数， ∴四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数，∴④正确， ∴四个命题中③假命题，故选C ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a
，+=a b ，则=b _____． 【答案】1
【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32
t ⋅=a b ，
又由+=a b ，则()2
22229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ， 变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1， 又由0t >，则1t =；故答案为1．
14．[2019·醴陵一中]某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为__________． 【答案】12
【解析】设男学生人生为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，且x ，y ，*
z ∈N ， 则2z x y z >>>，当1z =时，21x y >>>不成立；当2z =时，42x y >>>不成立； 当3z =时，63x y >>>，则5x =，4y =，此时该小组的人数最小为12．
15．[2019·广安一诊]某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________
元
【答案】3800
【解析】设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+，
甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为4550
3540,x y x y x y +≥⎧⎪
+≥⎨⎪∈∈⎩
N N ，做出不等式表示的平面区域，
由45503540
x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2， 当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800．
16．[2019·哈三中]设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，22a <，且2019n S =，则n 的最大值为
___________．
【答案】63
【解析】数列{}n a n -是以1-为公比，以11a -为首项的等比数列， 数列{}n a n -的前n 项和为()()()()11111212
2
n
n n n n S n S a +---++⋯+=-
=-⋅
，
()()()111112
2
n
n n n S a --+=-⋅
+
，
当n 为偶数时，()
120192
n n n S +=
=，无解；
当n 为奇数时，由()()11120192n n n S a +=+-=，可得()
1120202
n n a +=-
， 由121n n a a n ++=+可得213a a +=，123a a =-， ∵22a <，∴11a >，即()()1120201140382
n n a n n +=-
>⇒+<，
结合n ∈N ，可得63n ≤，∴使得2019n S =的n 的最大值为63，故答案为63．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·濮阳期末]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(
)1c
o s c A C
+=．
（1）求角A 的大小；
（2
）若a，1
b=，求ABC
△的面积．
【答案】（1）
π
3
A=；（2
）S=．
【解析】（1）∵(
)
1cos sin
c A C
+，
由正弦定理可得(
)
sin1cos sin
C A A C
+=
cos1
A A
-=，
∴
π1
sin
62
A
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，A是ABC
△的内角，∴
ππ
66
A-=，∴
π
3
A=．
（2
）∵a，1
b=．
由余弦定理可得2222cos
a b c bc A
=+-，即2
17
c c
+-=，可得260
c c
--=，
又0
c>，∴3
c=，∴ABC
△
的面积
11
sin13
22
S bc A
==⨯⨯=．
18．（12分）[2019·揭阳一模]如图，在四边形ABED中，AB DE
∥，AB BE
⊥，点C在AB上，且AB CD
⊥，
2
AC BC CD
===，现将ACD
△沿CD折起，使点A到达点P
的位置，且PE=．
（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；
（2）求三棱锥P EBC
-的体积．
【答案】（1）见解析；（2
【解析】（1）证明：∵AB BE
⊥，AB CD
⊥，∴BE CD
∥，∵AC CD
⊥，∴PC CD
⊥，∴PC BE
⊥，
又BC BE
⊥，PC BC C
=，∴EB⊥平面PBC，
又∵EB⊂平面DEBC，∴平面PBC⊥平面DEBC；
（2）解法1：∵AB DE
∥，结合CD EB
∥得2
BE CD
==，
由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB PB
⊥
，由PE=
得2
PB==，
∴PBC
△
为等边三角形，∴22
PBC
S
△
∴
11
2
33
P EBC E PBC PBC
V V S EB
--
==⋅==
△
，
解法2：∵AB DE
∥，结合CD EB
∥得2
BE CD
==，
由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB PB
⊥，
由PE=
，得2
PB==，∴PBC
△为等边三角形，
取BC的中点O，连结OP
，则PO=
∵PO BC
⊥，∴PO⊥平面EBCD，
∴2
111
2
332
P EBC EBC
V S PO
-
=⋅=⨯⨯
△
．
19．（12分）[2019·合肥质检]为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
（
1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.751
r
≤≤，则认为
y与x线性相关性很强；0.30.75
r
≤<，则认为y与x线性相关性一般；0.25
r≤，则认为y与x线性相关性较
弱）；
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）
参考公式：
n x x y y
r
--
=，()2
1
10
n
i
i
x x
=
-=
∑，()2
1
1.3
n
i
i
y y
=
-=
∑ 3.6056，
()()
()
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
--
=
-
∑
∑，
ˆ
ˆa y bx
=-．
【答案】（1）相关性很强；（2）0.36 4.6
ˆ727
y x
=-，208个．
【解析】（1）2016
x=
，1
y=，
()()
n x x y y
r
--36
0.75
36056
==>
．
．
，
∴y与x线性相关性很强．
（2）
()()
()
()()()()
1
2
1
20.710.410.420.7
0.36
41014
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
---⨯-+-⨯-+⨯+⨯
===
++++
-
∑
∑，
120160.36724.7
ˆ6
ˆ
a y bx
=-=-⨯=-，
∴y关于x的线性回归方程是0.36 4.6
ˆ727
y x
=-．
当2019
x=时，0.36724.76
ˆ 2.08
y x
=-=（百个），
即A 地区2019年足球特色学校的个数为208个．
20．（12分）[2019·鹰潭期末]已知椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，1F ，2F 为椭圆C 的左右焦点，离心
，短轴长为2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F ，2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值． 【答案】（1）
2
212
x
y +=；
（2
） 【解析】（1）依题意得22b =
，c e a ==
，解得a =1b c ==， ∴椭圆C 的方程为
2
212
x
y +=． （2）当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =，
联立2212
x y +=
，解得y =，此时平行四边形ABCD
的面积S =
当AD 所在的直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，
联立2
212
x y +=，得()
2222124220k x k x k +-+-=，
设()11,A x y ，()22,D x y ，则2122412k x x k +=+，2122
22
12k x x k
-=+， 则
)2
2112k AD k +==+，
两条平行线间的距离d =，
则平行四边形ABCD 的面积
)
22
112k S k +==+
令212t k =+，
1t >，
则S ==，()10,1t ∈，
开口向下，关于1
t
单调递减，则(S
=，
综上所述，平行四边形ABCD 的面积的最大值为
21．（12分）[2019·豫西名校]已知函数()()2ln f x a x x ax a =+-∈R ． （1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）求()()2g x f x x =-在区间[]1,e 上的最小值()h a ．
【答案】（1）()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
（2）()()2min
2
1,2
1ln ,22e 241e e 2e,2e
a a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪-+-≥⎩．
【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222a x ax a
f x x a x x
-+=+-='，
∵3x =是()f x 的极值点，∴()183303
a a
f '-+==，解得9a =，
∴()()()2233299x x x x f x x x ---+==
'， 当302x <<或3x >时，()0f x '>；当3
32
x <<时，()0f x '<．
∴()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫
⎪⎝⎭
．
（2）()2
ln 2g x a x x ax x =+--，则()()()22122x a x x ax a
g x x x
---+=
'=-， 令()0g x '=，得2
a
x =或1x =．
①当
12a
≤，即2a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()min 11h a g a ==--； ②当1e 2a <<，即22e a <<时，()g x 在1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增，
∴()2min 1ln 224a a h a g a a a ⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
；
③当e 2
a
≥，即2e a ≥时，()g x 在[]1,e 上为减函数，∴()()()2min e 1e e 2e h a g a ==-+-．
综上，()()2min
2
1,21ln ,22e 241e e 2e,2e
a a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪-+-≥⎩．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·哈三中]
已知曲线1:C x +=
2:x C y ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程；
（2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ．若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．
【答案】（1
）1π:sin 6C ρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭2226:12sin C ρθ=+；（2）1．
【解析】（1）∵2C
的参数方程为x y ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数），
∴其普通方程为22
162
x y +=，
又1:C x +=
∴可得极坐标方程分别为1π:sin 6C ρθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭222
6:12sin C ρθ=+． （2
）∵)
M
，()0,1N
，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭
，∴OP 的极坐标方程为π6θ=， 把π6θ=
代入πsin 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，π1,6P ⎛⎫
⎪⎝⎭，
把π6θ=
代入22612sin ρθ=+得22ρ=，π2,6Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴211PQ ρρ=-=，即P ，Q 两点间的距离为1． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·江南十校]设函数()()lg 2121f x x x a =-++-． （1）当4a =时，求函数()f x 的定义域；
（2）若函数()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围． 【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（2）3a <．
【解析】（1）当4a =时，()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5
122244
x x x --->⇒<-；
当1
12
x -<<时，12224x x -++>，无解； 当12x ≥
时，3212244
x x x -++>⇒>， 综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++，
()
()()min
2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=，
∴3a <．。