2021年山东省烟台市海阳第二中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2020-2021学年山东省烟台市海阳第二中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
2. 在△ABC中，则
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
由题意结合正弦定理首先求得b的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.
【详解】由正弦定理可得，
且，
由余弦定理可得：.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
3. 在△ABC中，已知，且，则的值是（）A. 2 B. C. －2 D.
参考答案：
C
【分析】
在中，根据正弦定理，可以把转化为边之间比的关系，可以进一步判断三角形的形状，利用和三角形的形状，可以求出三角形的三条边，最后利用平面向量的数量积公式求出的值.
【详解】在中，设内角所对边，根据正弦定理，
可知,已知，所以，显然是等腰直角三角形，即，，因此有，所以
，故本题选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式、三角形形状的识别，以及平面向量的数量积运算，平面向量的夹角是解题的关键也是易错点.
4. 下列命题中不正确的是（）.
A．存在这样的和的值，使得
B．不存在无穷多个和的值，使得
C．对于任意的和，都有
D．不存在这样的和值，使得
参考答案：
B
略
5. 对于函数，下列选项中正确的是( ) A．内是递增的B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为1
参考答案：
B
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】函数f（x）解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性，对称性，周期性，以及值域，即可做出判断．
【解答】解：函数f（x）=﹣1
=（cos2x+sin2x﹣cos2x+sin2x）
=sin2x，
令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x）的递增区间为，k∈Z，
当x∈（，）时，2x∈（，π），此时函数为减函数，选项A错误；
当x=0时，f（x）=0，且正弦函数关于原点对称，选项B正确；
∵ω=2，∴最小正周期T==π，选项C错误；
∵﹣1≤sin2x≤1，
∴f（x）=sin2x的最大值为，选项D错误，
故选：B．
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．
6. 已知平面平面，，点，，直线，直线，直线
，，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D 【分析】
平面外的一条直线平行平面内的一条直线则这条直线平行平面，若两平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面，主要依据这两个定理进行判断即可得到答案。

【详解】如图所示：
由于，，，所以，又因为，所以，故A正确，
由于，，所以，故B正确，
由于，，在外，所以，故C正确；
对于D，虽然，当不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正确；
故答案选D
【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判断以及性质应用，要求熟练掌握定理是解题的关键。

7. （5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）
A．y=2x B．y=sinx C．y=log2x D．y=x|x|
参考答案：
D
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，得到A、C两项不符合题意；根据正弦函数
y=sinx在其定义域内既有增区间也有减区间，得到B项不符合题意；因此只有D项符合，再用函数奇偶性、单调性的定义加以证明，即可得到正确答案．
解答：对于A，因为指数函数在其定义域上是非奇非偶函数，
所以函数y=2x不符合题意，故A不正确；
对于B，因为函数y=sinx在其定义域内既有增区间也有减区间，
所以函数y=sinx不符合题意，故B不正确；
对于C，因为对数函数的定义域为（0，+∞），
所以函数y=log2x是非奇非偶函数，得C不正确；
对于D，设f（x）=x|x|，可得f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x）
所以函数y=x|x|是奇函数；
又∵当x≥0时，y=x|x|=x2，在（0，+∞）上是增函数，
且当x＜0时，y=x|x|=﹣x2，在（﹣∞，0）上是增函数
∴函数y=x|x|是R上的增函数
因此，函数y=x|x|是奇函数，且在其定义域内是函数，可得D正确
故选：D
点评：本题给出几何基本初等函数，要我们找出其中单调增的奇函数，着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性及其判断方法的知识，属于基础题．
8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．12+B．10+C．10D．11+
参考答案：
A
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，求出几何体的表面积即可．
【解答】解：由三视图知：原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，所以该几何体的表面积为
S==12+．
故选A．
9. 若sin（）=，则cos（）=（）
A．B．C． D．
参考答案：
A
【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式、二倍角公式，把要求的式子化为﹣[1﹣2]，再利用条件求得结果．
【解答】解：∵sin（）=，
∴cos（）
=﹣cos[π﹣（）]
=﹣cos（﹣2α）
=﹣[1﹣2]
=﹣（1﹣2×）
=﹣，
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．
10. 若（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设全集U=R，，则如图中阴影部分表示的集合为
．
参考答案：
[1，2）
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】根据题意，图中阴影部分表示的区域为只属于A 的部分，即A∩（?U B ），计算可得集合A 与?U B，对其求交集可得答案．
【解答】解：根据题意，图中阴影部分表示的区域为只属于A 的部分，即A∩（?U B ），
∵＜0，即x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，故A=（0，2）
∵|x+1|＜2，解得﹣3＜x＜1，故B=（﹣3，1），
∴?U B=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
则A∩（?U B）=[1，2），
故答案为：[1，2）．
12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是
A． B． C． D．
参考答案：
B 因函数的定义域是，则函数的定义域是
，解得定义域为,故选B
13. 已知向量，，且，则．
参考答案：
2
14. 设函数（是常数，）.若在区间上具有单调
性，且，则的最小正周期为_________.
参考答案：
π
【详解】由在区间上具有单调性，
且知，函数的对称中心为，
由知函数的对称轴为直线，
设函数的最小正周期为，
所以，，
即，所以，
解得，故答案为.
考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.
15. 已知集合，则集合M∩N为▲．
参考答案：
[，4]
16. 已知，则
.
参考答案：
17. （4分）已知向量、满足||=1，||=4，且?=2，则与的夹角为
．
参考答案：
考点： 平面向量数量积的运算．
分析： 直接应用数量积的运算，求出与的夹角．
解答： 设向量、的夹角为θ；因为?=2，所以
?
=||||cosθ=4cosθ=2，所以θ=
故答案为：．
点评： 正确应用平面向量的数量积的运算，是解好题题目的关键，本题是基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (l4分)已知
=
，=
，满足
=0．
(1)将y 表示为x 的函数，并求
的最小正周期；
(2)已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，的最大值是，且
a=2，求b+c 的取值范围．
参考答案：
（1）由
得
，………… 2分
即
，
所以，其最小正周期为.……………………… 7分
（2）由题意得
，所以，因为，所以． …9分
由正弦定理得
，，
， ……… 11分
,，，
所以
的取值范围为
. ……………………………………… 14分
19. ．(14分)一房产商竞标得一块扇形地皮，其圆心角，半径为，房
产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种
设计方案如图，方案一：矩形的一边
在半径上，在圆弧上，在半径；方案二：矩形EFGH 的顶点在圆弧上，顶点分别在两条半径上。

请你通过计算，为房产商
提供决策建议。

参考答案：
解：按方案一：如图，连，设，
在中，，则
在中，，得，
则，设矩形的面积为，则
由得。

所以当，即时。

…………………………5分按方案二：如图作的平分线分别交于点，连。

设，在中，
在中，，得，则
，设矩形的面积为，则
由，则，所以当，即时…10分
，即………………………………………12分
答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好。

………………………………………14分
20. 已知平面直角坐标系中，三点A（1，﹣1），B（5，2），C（4，m），满足AB⊥BC，
（1）求实数m的值；
（2）求过点C且与AB平行的直线的方程．
参考答案：
【考点】待定系数法求直线方程．
【专题】转化思想；直线与圆．
【分析】（1）由AB⊥BC，可得k AB?k BC=﹣1，解得m即可．
（2）由（1）可知：C，利用平行直线的斜率之间的关系可得斜率，再利用点斜式即可得出．
【解答】解：（1）k AB==，k BC==2﹣m，
∵AB⊥BC，
∴k AB?k BC=×（2﹣m）=﹣1，解得m=．
（2）由（1）可知：C，
∴要求的直线方程为：y﹣=（x﹣4），化为9x﹣12y+4=0．
【点评】本题考查了考查了相互平行与相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
21. (本小题满分12分)函数是定义在上的奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）用单调性定义证明函数在上是增函数.
参考答案：
（I）∵函数是定义在上的奇函数，……2分
故，所以，………4分
所以. (5)
分
（II）设，，………6分
则
………8分
∵ ∴ ，………10分
∴ 而∴ ………11分
∴在上是增函
数. ………12分
22. 已知
(I)判断f(x)的奇偶性并证明
(Ⅱ)若a>1,判断f(x)的单调性并用单调性定义证明;
(Ⅲ)若,求实数x的取值范围
参考答案：(I)由得，∴函数f(x)的定义域为(－1,1) 关于原点对称.
f(x)在(－1,1)上为奇函数，证明如下：
，
∴f(x)为(－1,1)上的奇函数．………………………………………………………………4分(II) 若，f(x)在(－1,1)上单调递增，证明如下：
设－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝log a －log a ＝log a .
又－1＜x1＜x2＜1，
∴(1＋x1)(1－x2)－(1－x1)(1＋x2)＝2(x1－x2)＜0，
即0＜(1＋x1)(1－x2)＜(1－x1)(1＋x2)，
∴0＜＜1，∴log a ＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－1,1)上单调递增．………………………………………………8分(III)∵f(x)为(－1,1)上的奇函数，
∴f(x－3) ≤－f(－)＝f()．
若，f(x)在(－1,1)上单调递增，
∴－1＜x－3≤，得2＜x≤ .
若，f(x)在(－1,1)上单调递减，
∴≤x－3＜1，得≤x＜4.
综上可知，当时，实数x的取值范围为；
当时，实数x的取值范围为…………………………………12分。