【数学】上海市杨浦区2014届高三高考模拟(文)试题

O 1
B
A
O
2014年杨浦区高考模拟（三模）
数学文试卷
考生注意：
1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号填写清楚.并在规定的区域内贴上条形码。

2. 本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟.
一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1． 设U R =,2{|20}M x x x =->，则U C M = [0,2]
2．（文科）从8人中选3人站成一排，其中甲不站在首位，有 294 种排法. 解 294;2942
7382717=-=P P P P
3． 二项展开式6
1
()x x
-中的常数项为 20- ．（用数字作答）
4．（文科）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 2 . 5.（文科）已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为
5
4
. 6.（文科）已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且(1i )1i m n +=+，则2
i i m n m n +⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
1- .
7. （文科）已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 的方向上的投影为___
5
12
____. 8. （文科）如果音叉发出的声波可以用函数x x f π420
sin 001.0)(=描述，那么音叉声波的频率是 210 .
9．（文科）若实数x y 、满足220
00x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
则22y x +的最大值为 4 .
10.． (文科) 把地球看作半径为R 的球，地球上的A 、B 两地都在北纬
45上，
A 、
B 两地的球面距离为3
R π，A 在东经 20，则B 点的位置 位于北纬 45
东经
110 的位置.
解 如图47-2所示，设α=∠AOB ，则
R R
απ=3
， 得3πα=， AOB ∆∴是等边三角形，
在A OO Rt 1∆中， 41π=
∠AO O ，R BO AO 2
2
11=
=, 故1ABO ∆是等腰直角三角形，
901=∠B AO ，即就是A 、B 两地的经度差为 90，因此B 位于北纬 45，东经 110（或西
经
70）的位置。

11.（文科）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*
n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =___1
2
n -_____.
12．（文科）对任意一个非零复数
z ，定义集合{}
*∈==N n z A n z ,ωω，设α是方程
012=+x 的一个根，若在αA 中任取两个数，则其和为零的概率为3
1
22
4==
C P 13．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0x <时，2()6f x x =-，则0x >时， 不等式()f x x <的解集为 ．(2,0)
(2,)-+∞
14． （文科）在△ABC 中，sin A
a =．如果2
b =,则△ABC 面积的最大值 ．
解：因为
sin sin a b A B =，sin A a =，所以sin B B =，tan B = 因为(0,)B ∈π，所以3B π
=． 所以2221cos 22
a c
b B a
c +-=
=．因为2b =，所以2242a c ac ac +=+≥．所以4ac ≤（当且仅当a c =时，等号成立）．
所以1
sin 2
ABC
S
ac B =≤ABC 二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 15．（文科）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为( C )
（A
）2 （B ）3 （C ）5 （D 16． 为了得到函数sin(23
y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象 ( D )
（A ）向左平移
3π个单位长度 （B ）向右平移3π
个单位长度 （C ）向左平移
6π个单位长度 （D ）向右平移6
π
个单位长度 17．等差数列{}n a 中，公差2=d ，且431,,a a a 成等比数列，则=2a （ B ） （A ）．4-
（B ）．6-
（C ）．8-
（D ）．10-
18．（文科）已知符号函数1,0,
sgn()0,0,1,0,x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数
为( B )
（A ）1 （B ）2
（C ）3 （D ）4
三、解答题 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，每小题满分各6分． （文科）如图，弧AEC 是半径为r 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，线段ED
与弧EC 交于点G ，且5
4
cos =∠CBG ，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ,r FC 2=。

⑴ 求异面直线ED 与FC 所成角的大小；
⑵ 将FCG ∆（及其内部）绕FC 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积。

解：⑴ FC ⊥平面BED ,⊂ED 平面BED ，
FC ED ⊥∴，…………4 ∴异面直线ED 与FC 所成角的大小为
090。

…………6分
⑵ 连结GC ，在BGC ∆中，由余弦定理得：
2
2225
2cos 2r CBG r r r r CG =
∠⋅-+=， …………8分 由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为2
2
5
2r CG ππ=
⋅ ，高为r FC 2=。

……10分 该圆锥的体积为3215
4
25231r r r V ππ=⨯⨯=。

……12分
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． （文科）如图，围建一个面积为2
360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修）,其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的一扇门,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,一扇门的造价为600元，设利用的旧墙的长度为x m ，总造价为y 元.
（1）将y 表示为x 的函数；
（2）试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m ，
则y =45x +180(x -2)+180·2a +600=225x +360a +240，由已知xa =360,得360
a x
=， 所以129600
225240(0)y x x x
=+
+> ………（7分）
(2)108003602252129600
225,02=⨯≥+
∴>x
x x 129600
22524011040y x x ∴=+
+≥. ………（10分） 当且仅当225x =x
2
360时，即x =24等号成立. ………（12分）
所以当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是11040元. ………（14分）
21． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．
（文科）已知双曲线()0,0122
22>>=-b a b y a x C ：，设P 是双曲线C 上任意一点, O 为坐标
原点，设F 为双曲线右焦点.
（1）若双曲线C 满足：无论点P 在右支的何处，总有PF PO >，求双曲线C 在第一、三
象限的那条渐近线的倾斜角的取值范围；
（2）过右焦点F 的动直线l 交双曲线于A 、B 两点，
是否存在这样的a ，b 的值，使得△OAB 为等边三角形.若存在，求出所有满足条件的a ，b 的值；若不存在，说明理由. （1）22
2
2222
22b x a
b a b x a
c OP -+=-=
（a x -≤或a x ≥）； ------2分
2
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a x a c PF ，FP OP >c x FP OP >⇔>⇔22
2，),[+∞∈a x 恒成立---4分
所以()a x c 22min =<，2224a b a <+，30<<a
b
， ------5分
设所求的倾斜角为θ，则3tan 0<<θ，得3
0π
θ<<. --6分
（2）由OB OA =及（1）得22B A x x =，所以2
2B A y y =，
于是A 、B 是关于x 轴或y 轴或原点对称的，
若关于原点对称，则A 、O 、B 、F 共线，这是不可能的； ----8分 若关于y 轴对称，则AB ∥x 轴，这也是不可能的； ---10分 若关于x 轴对称，则AB ∥y 轴，又A 、F 、B 共线，所以A 、B 都在右支上，
于是由Rt△OAF 的各边关系，得a b AF AB 222==且22
4
b a
c OA -=，所以2224244a b a c a b -=，即222224)(4b a b a b -+=，也即034
224=-+b b a a ， 12分
设0>=m b ，则22
2
131m a +-=
，所以存在这样的 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-=m b m a ,2
2132（其中m 为正常数）
，使△OAB 为等边三角形. ------14分
22.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题①满分4分，②满分6分；第2小题满
分6分．
（文科）等比数列．．．．{}n c 满足1
1410-+⋅=+n n n c c ，*N n ∈，数列{}n a 满足n a n c 2= （1）求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足1
1
n n n b a a +=
⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；
（3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n
的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）解：40,103221=+=+c c c c ，所以公比4=q
10411=+c c 计算出21=c 121242--=⋅=n n n c
12-=∴n a n -------4分
（2）11122121n b n n ⎛⎫
=
- ⎪-+⎝⎭
于是11111
112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
n n T ∞→lim =
2
1
……… 10分
（3）假设否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T
成等比数列，则
2
121321
m n
m n ⎛⎫=⋅
⎪++⎝⎭， 可得22
3241
0m m n m
-++=>， 由分子为正，解得1122
m -<<+
， 由,1m N m *
∈>，得2m =，此时12n =，
当且仅当2m =，12n =时，1,,m n T T T 成等比数列。

……… 16分
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
(文科）设函数)(x f y =的定义域为D ，值域为B ，如果存在函数()x g t =，使得函数
(())y f g t =的值域仍然是B ，那么，称函数()x g t =是函数)(x f y =的一个Γ变换.
（1）判断函数223,x t t t R =-+∈是不是()2,f x x b x R =+∈，的一个Γ变换？ 说明你的理由；
（2）设2()l o g f x x =的值域[1,3]B =，已知22
3()1
mt t n
x g t t -+==+是)(x f y =的一个Γ 变换，且函数(())f g t 的定义域为R ，求实数,m n 的值；
（3）设函数)(x f y =的定义域为D ，值域为B ，函数()g t 的定义域为1D ，值域为1B ，写出()x g t =是)(x f y =的一个Γ变换的充分非必要条件（不必证明）． 【解】（1）函数()2,f x x b x R =+∈的值域为R ，
2223(1)22x t t t =-+=-+≥，…………2分
2(())2[(1)2]4y f g t t b b ==-++≥+，…………4分
所以，()x g t =不是()f x 的一个Γ变换； …………5分 （2）2()log f x x =的值域为]3,1[，由3log 12≤≤x 知82≤≤x ，
即2()log f x x =定义域为[2,8]， …………6分 因为()x g t =是()f x 的一个Γ变换，且函数(())f g t 的定义域为R ，
所以，22
3(),1mt t n
x g t t R t -+==∈+的值域为[2,8]， …………8分 22222
3282(1)38(1)1
mt t n t mt t n t t -+≤≤⇔+≤-+≤++， 所以，恒有22
(2)3(2)0
(8)3(8)0m t t n m t t n ⎧--+-≥⎨--+-≤⎩
，且存在12,t t R ∈使两个等号分别成立，………10分
于是
⎪⎩⎪
⎨⎧=---=∆=---=∆<<0)8)(8(490)2)(2(49822
1n m n m m ， 解得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=23352335n m 或
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=-=233523
35n m …………14分 （3）设函数()f x 的定义域为D ，值域为B ，函数()g t 的定义域为1D ，值域为1B ，则
()x g t =是()f x 的一个Γ变换的充分非必要条件是“D =1B ”． …………18分
条件的不必要性的一个例子是．
2)(x x f =，R D =，),0[+∞=B 12)(-=t t g ，R D =1，),1(1+∞-=B
此时1B D ⊃，但2)12())((-=t t g f 的值域仍为),0[+∞=B ，
即12)(-=t t g )(R x ∈是2)(x x f =)(R x ∈的一个等值域变换。

（反例不唯一）。