广东省揭阳市两校2016-2017学年高一数学下学期期末联考试题 文(含解析)

2016～2017学年度高一级第二学期期末联考
文数试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1. 已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q=
A. （﹣1，2）
B. （0，1）
C. （﹣1，0）
D. （1，2）
【答案】A
【解析】集合，那么故选.
2. 点在直线：ax﹣y+2=0上，则直线的倾斜角为
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 120°
【答案】C
3. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则的值分别为
A. 3，5
B. 5，5
C. 3，7
D. 5，7
【答案】A
【解析】由已知中甲组数据的中位数为，故乙数据的中位数为，即，可得乙数据的
平均数为，即甲数据的平均数为，故，故选.
4. 若a=，b=30.5，c=0.53，则a，b，c三个数的大小关系是
A. a＜b＜c
B. b＜c＜a
C. a＜c＜b
D. c＜a＜b
【答案】C
【解析】因为所以故选 .
5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A. 60
B. 30
C. 20
D. 10
【答案】D
【解析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，图中长方体的长宽高分别是
，
该三棱锥的体积，故选 .
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将
其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
6. 设α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是
A. 垂直
B. 相交
C. 异面
D. 平行
【答案】D
【解析】是一个平面，是两条直线，是一个点，，，是
和平面相交的点，与平面相交，又在平面内，和异面或相交，一定不平行，故选.
7. 某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填
A. k＞3？
B. k＞4？
C. k＞5？
D. k＞6？
【答案】A
【解析】程序在运行过程中，各变量的值变化如下表：
可得,当时，此时应该结束循环体，并输出为，所以判断框应该填入的条件为，故选.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
8. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为A. 17石 B. 166石 C. 387石 D. 1310石
【答案】B
【解析】因为数得270粒内夹谷30粒，可推测批米内夹谷的概率为，所以这批米内谷约为石，故选 .
9. 为了得到函数y=sin（2x﹣），x∈R的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R的图象上所有的点
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】为了得到函数的图象上所有点
向平行移动个单位，故选 .
10. 方程e x=2﹣x的根位于区间
A. （﹣1，0）内
B. （0，1）内
C. （1，2）内
D. （2，3）内
【答案】B
【解析】设，则在上递增，又因为
所以根据零存在性定理，在区间上函数
存在一个零点，即程的根位于，故选 .
11. 在平面直角坐标系xOy中，以（﹣2，0）为圆心且与直线（∈R）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是
A. （x+2）2+y2=16
B. （x+2）2+y2=20
C. （x+2）2+y2=25
D. （x+2）2+y2=36 【答案】C
【解析】根据题意，设圆心为，则点的坐标为对于直线，变形可得，即直线过定点，在以点为圆心且与直线
，面积最大的圆的半径长为，则，则其标准方程为
；故选.
【题文】
12. 将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的函数的图象，
得由得，
，当时，函数的增区间为，当时，
函数的增区间为要使函数在区间和上均单调递减，则，解得，故选
第Ⅱ卷
二．填空题：本题共4小题，每小题5分。

13. 函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是__________.
【答案】（4，+∞）
【解析】由得，，令，则，时，
为减函数；时，为增函数；为增函数，故函数
的单调区间是，答案为.
【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.
14. 已知与均为单位向量，它们的夹角为120°，那么||=__________.
【答案】
【解析】均为单位向量，它们的夹角为可得，即有
，则有，故答案为.
15. 某校高一（1）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个调查小组，调查该校学生对2017年1月1日起执行的新交规的知晓情况，已知某男生被抽中的概率为，则抽取的女生人数为__________.
【答案】3
【解析】因为某男生被抽中的概率为，所以女生被抽中的概率为，抽取的女生人数为：
，故答案为 .
16. 已知则=__________.
【答案】
【解析】
而，
，
，故答案为.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知平面内三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）．
（Ⅰ）若（+k）∥（2﹣），求实数k的值；
（Ⅱ）设向量=（x，y），且满足（+）⊥（﹣），|﹣|=，求．
【答案】（1）（2）（6，0）或者（2，2）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，由向量的坐标运算分别求出向量与对应的坐标，再根据向量的共线定理，从而可求出实数的值；（Ⅱ）由题设，可根据向量加、减、模的运算法则，及两个向量垂直的坐标表示，建立方程组，再对方程组进行求解，即可求向量.
试题解析：（Ⅰ）因为，，
又，
所以
（Ⅱ）因为，
所以.
故或
考点：平面向量的垂直、平行及其坐标运算.
18. 某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：
组号第一组第二组第三组第四组第五组
分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．
【答案】（1）0.005．（2）74.5 (3)
【解析】试题分析：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解
试题解析：（1）由题意得，
所以．
（2）由直方图分数在的频率为0．05，的频率为0．35, 的频率为0．30,的频率为0．20, 的频率为0．10, 所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：
（3）由直方图，得：
第3组人数为，
第4组人数为人，
第5组人数为人．
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：第3组:人，第4组:人，第5组:人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为，第4组的2位同学为，第5组的1位同学为，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:
其中恰有1人的分数不低于90分的情形有：
，，，，，共5种．
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为
考点：1．分层抽样方法；2．频率分布直方图；3．古典概型
19. 已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）利用正弦、余弦的二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得的值，进而可得函数的解析式；（2）利用正弦函数的单调性，解不等式可求得函数的单调递增区间.
试题解析：（Ⅰ）由题得，
f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1=sin（2ωx+）+1，
因为f（x）的最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，
所以f（x）=sin（2x+）+1.
则f（）=sin（+）+1=（sin cos+cos sin）+1=．
（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，得 kπ﹣≤x≤kπ+，
所以函数f（x）的单调递增区间为．
20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．
（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，
∴PD∥OE，
∵O是BD中点，∴E是PB中点．
取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．
∴
==．
21. 已知点P（2，0），且圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．
（Ⅰ）当直线过点P且与圆心C的距离为1时，求直线的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，若|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．【答案】（1）直线的方程为3x+4y﹣6=0或x=2．（2）（x﹣2）2+y2=4．
【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用。

以及圆的方程的求解问题。

（1）因为设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y－0=k(x－2)
又⊙C的圆心为(3,－2) ，r=3，利用线与圆的位置关系可知直线的方程。

（2）根据设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|=4，利用半径长和半弦长，弦心距的勾股定理得到结论。

解：（1）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y－0=k(x－2) …………………1分
又⊙C的圆心为(3,－2) ，r=3
由……………………4分
所以直线方程为……………………6分
当k不存在时，l的方程为x=2. ……………………8分
（2）由弦心距，……………………11分
知P为AB的中点，故以AB为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2=4. …………………14分
22. 某产品生产厂家根据以往销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为g（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足
假设该产品产销平衡，试根据上述资料分析：
（Ⅰ）要使工厂有盈利，产量x应控制在什么范围内；
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
（Ⅲ）当盈利最多时，求每台产品的售价．
【答案】（1）要使工厂有盈利，产量x应控制在100台到820台内．（2）当工厂生产400台产品时，可使盈利最多为3.6万元．（3）盈利最多时，每台产品的售价为240元．
【解析】试题分析：（1）由题意，设利润函数为
解即可；（2）分别求各段上的最大值，比较大小从而求最高盈利；（3）当时， (万元)，（万元∕百台），从而得结果.
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意，得g（x）=x+2，
设利润函数为f（x），
则f（x）=R（x）﹣g（x）=，
由f（x）＞0，解得1＜x≤5或5＜x＜8.2，
即1＜x＜8.2，
故要使工厂有盈利，产量x应控制在100台到820台内．
（Ⅱ）当0≤x≤5时，f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，
即当x=4时有最大值3.6；
当x＞5时，f（x）＜8.2﹣5=3.2．
故当工厂生产400台产品时，可使盈利最多为3.6万元．
（Ⅲ）当x=4时，
R（4）=9.6（万元），=2.4（万元/百台），
故盈利最多时，每台产品的售价为240元．
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学
模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)。