2013年海南卷文科数学高考试卷(原卷 答案)

绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)
文科数学
本试卷共24题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M ∩N= （A ）｛-2，-1，0,1｝ （B ）｛-3，-2，-1，0｝ （C ）{-2，-1，0} （D ）{-3，-2，-1 } （2）|
21+i
|=
（A ）2√2
（B ）2
（C ）√2
（D ）1
（3）设x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0,
x +y −1≥0x ≤3，
，则z=2x-3y 的最小值是
（A ） −7
（B ）-6
（C ）−5
（D ）-
（4）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=π6
，C=π4
，则△ABC 的面积为
（A ）2√3+2
（B ）√3+1 （C ）2√3−2
（D ）√3-1
（5）设椭圆C ： x 2a 2+y 2
b
2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P 是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30。

，则C 的离心率为
（A ）
√36 （B ）13 （C ）12 （D ）√3
3
（6）已知sin2α=23
，则cos2(α+π
4
)=
（A ）16
（B ）13
（C ）12
（D ）23
（7）执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=
（A ）1+12
+13+
14
（B ）1+
1
2+1
3×2+
1
4×3×2
（C ）1+12+13+14+1
5 （D ）1+12+13×2+
1
4×3×2+
1
5×4×3×2
（8）设a=log32,b=log52,c=log23,则
（A ）a ＞c ＞b （B ） b ＞c ＞a （C ）c ＞b ＞a （D ）c ＞a ＞b （9）一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可为
（A ） （B ） （C ） （D ）
( 10)设抛物线C:y2=4x 的焦点为F ，直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|，则L 的方程为 （A ） y=x-1或y=-x+1 （B ）y=√33
（X-1）或y=-√33
（x-1） （C ）y=√3（x-1）或y=-√3（x-1） （D ）y=√22
（x-1）或y=-√22
（x-1） （11）已知函数f （x ）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）
（B ）函数y=f （x ）的图像是中心对称图形
（C ）若x0是f （x ）的极小值点，则f （x ）在区间（-∞，x0）单调递减 （D ）若x0是f(x)的极值点，则f ’（ x0）=0
（12）若存在正数x 使2x （x-a ）＜1成立，则a 的取值范围是 （A ）（-∞，+∞） （B ）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________. （14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的 中点，则=________.
(15)已知正四棱锥O-ABCD 的体积为3√2
2
，底面边长为√3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.
(16)函数的图像向右平移π2
个单位后，与函数y=sin （2x+π3
）的图像重合，
则
=___________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知等差数列｛an ｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列。

（Ⅰ）求｛an ｝的通项公式； （Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.
（18）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.
（1）证明： BC1//平面A1CD;
（2）设AA1= AC=CB=2，AB=√2，求三棱锥C一A1DE的体积.
（19）（本小题满分12分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出It该产品获利润500元，
未售
出的产品，每It亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X（单位：t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
（20） (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2√2，在Y轴上截得线段长为2√3.
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程;
（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程.
（21）(本小题满分12分)
己知函数f(X) = x2e-x
(I)求f(x)的极小值和极大值；
(II)当曲线y = f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围.
请从下面所给的22,23,24三题中选定一题作答.并用2 B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。

(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D， E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF，B, E, F,C四点共圆。

(I)证明：CA是△ABC外接圆的直径;
(II)若DB=BE=EA.求过B, E, F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
（23）(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知动点P. Q 都在曲线C:{
x =2cost
y =2sint
（t 为参数）上，对应参数分别为t=a 与t=2a （0<a<2π），M 为PQ
的中点。

(I)求M 的轨迹的今数方程:
(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的26数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设a ，b ， c 均为正数，且a+b+c=1。

证明: （Ⅰ）ab+bc+ca ≤1
3；
（Ⅱ）a ²b
+
b ²
c
+
c ²a
≥1。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)
文科数学(参考答案)
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、【答案】C 【解析】因为，,所以，选C.
2、【答案】C 【解析】
，所以
C. 3、【答案】B
【解析】由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即。

作出可行域如图,平移直线，由图象可知当直线经过点B 时，直线的截距最大，此时取得最小值，由得，
即,代入直线z=2x-3y 得，选B. 4、【答案】B 【解析】因为,所以.由正弦定理得，解得。

所以三角形的面积为.因为，所以，选B. 5、【答案】D
【解析】因为
,所以。

又，所以，即椭圆的离心率为，选D. 6、【答案】A
{31}M x x =−<<{3,2,1,0,1}N =−−−M N {2,1,0}=−−22(1)2(1)
11(1)(1)
2
i i i i i i −−==
=−+−+21i =+233
z
y
x =−
233
z
y x =
−233z
y x =
−233z
y x =−z 103x y x −+=⎧⎨=⎩
34x y =⎧⎨=⎩(3,4)B 32346z =⨯−
⨯=−
,6
4
B C
π
π
=
=
712A
π=
sin sin 64
b c
ππ=c =117sin 222
12bc A π=⨯
⨯711
sin sin()()
1234222
2222πππ=+=⨯+⨯
=+11sin ()12222
bc A =+=+21212,30
PF F F PF F ⊥∠=2122tan 30,33
PF c c PF c ==
=1223PF PF c a +=
=3c a ==3
【解析】因为
，所以
，选A. 7、【答案】B
【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，第四次循环，，此时满足条件输出，选B. 8、【答案】D 【解析】因为，，又，所以最大。

又，所以，即，所以，选D. 9、【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中
红色部分),所以选A.
10、【答案】C
【解析】抛物线y 2
=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则因为|AF|=3|BF|，所以x 1+1=3（x 2+1），所以x 1=3x 2+2 因为|y 1|=3|y 2|，x 1=9x 2，所以x 1=3，x 2=
，当x 1=3时，，所以此时，若
,此时,此时直线
方程为。

若，
则
,此时,此时直线方程为。

所以的方程是或
，选C.
11、【答案】C
【解析】若则有，所以A 正确。

由得
，因为函数
2
1
cos 2()1cos(2)1sin 24
2cos ()4222
ππ
α
απαα+++
+−+===
22
11sin 213cos
()4226
παα
−
−+===1,1,2T S k =
==11
,1,322
T S k =
=+=111,1,423223T S k =
=++=⨯⨯1111
,1,5234223234
T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯111
1223234
S =+
++⨯⨯⨯321log 21log 3=
<521
log 21log 5
=<2log 31>c 221log 3log 5<<2211
log 3log 5
>a b >c a b >>O ABC −13
2
112y =1y ==±1y =1(,33A B −AB k =1)y x =−1y =−1(3,(,33
A B −AB k =1)y x =−l 1)y x =−1)y x =−0c =(0)0f =3
2
()f x x ax bx c =+++32
()f x c x ax bx −=++
的对称中心为（0,0）
，所以的对称中心为,所以B 正确。

由三次函数的图象可知，若是f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-∞, ）单调递减是错误的，D 正确。

选C.
12、【答案】D
【解析】因为，所以由得，在坐标系中，作出函数的图象，当时，，所以如果存在，使，则有，即，所以选 D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）【答案】
【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有种，若取出的两数之和等于5，则有，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为。

（14）【答案】 【
解
析
】
在
正
方
形
中
，
,
,所以。

（15）【答案】
【解析】设正四棱锥的高为，则，解得高。

所以,所以球的表面积为. （16）【答案】
【解析】函数，向右平移
个单位，得到，即向左平移个单位3
2y x ax bx
=++32
()f x x ax bx c =+++(0,)c 0
x 0x 0x 20x >2()1x
x a −<1
22
x x x a −−<=(),()2x f x x a g x −=−=0x >()2
1x
g x −=<0x >2()1x x a −<1a −<1a >−1
5
2
510C =(1,4),(2,3)21
105
=21
2
AE AD DC
=+BD BA AD AD DC
=+=−2222111
()()222222
AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅−=−=−⨯=24πh 2
1
3
2h ⨯=
2
h ==OA ==2424ππ=56
πcos(2)y x ϕ=+2
π
sin(2)3y x π
=+
sin(2)3y x π=+2
π
得到函数，向左平移
个单位，得
，即。

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）
【答案】见解析
【解析】本题考查等差数列的基本性质及数列分组求和，属于简单题。

（18）【答案】见解析
【解析】考查空间几何点、线、面关系。

cos(2)y x ϕ=+sin(2)3
y x π
=+
2
π
sin[2()]sin(2)233
y x x π
ππ
π=+
+=++sin(2)cos(2)323x x πππ
=−+=++5cos(2)6x π=+
56
πϕ
=
（19）【答案】见解析
【解析】考查统计与概率，找到已知条件和看懂图形就能轻易解决该题。

（20）【答案】见解析
【解析】考查圆的基本知识，直线到圆的距离公式，方程思想。

（21）【答案】见解析
【解析】考查导数解决函数单调性、极值，以导数为工具解决参数问题。

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

（22）【答案】见解析
【解析】考查圆的性质及应用。

（23）【答案】见解析
【解析】考查极坐标、参数方程、平面坐标之间的转化，两点间距离公式。

（24）【答案】见解析
【解析】均值不等式、放缩法在不等式证明中应用。