2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题

1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕

对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为

k x x k =⊗

问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.

2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为

),(112211y x y x y x y x +++=⊕

对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为

)2

)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.

3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .

4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,

)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=

证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .

5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有

j i i T +=)( j i j T -=2)(

1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;

2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.

6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有

k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;

2)求T 的零空间和像空间的维数.

7.在线性空间)(3R P 中

321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++= 讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.

8.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 31211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭

41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵. 9.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基.

10.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为

⎰=1

0)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组标准正交基.

11. 在2[]P x 中，内积定义为：1

20,()(),,[].f g f x g x dx f g P x <>=∀∈⎰ （1）如果()612+-=x x x f ，计算f ；

（2）证明：任一线性多项式()bx a x g +=，都正交于()6

12+

-=x x x f . 12.设A 是n n C ⨯上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：22||||||||||||F Ax A x ≤⋅.

13.设n n C A ⨯∈,并且满足E A A H =,计算2||||A 和F A ||||.

14. 设 101202011A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

，求A 的秩分解.

15.已知122112012422A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，求A 的最大秩分解。

16. 求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭

的奇异值分解. 17.设m n A C ⨯∈，1）证明：()()H rank A A rank A =;

2) 证明：H A A 是半正定矩阵或正定矩阵。

18.求下列矩阵的谱阵和谱分解

400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 332112310A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭

19.设s λλλ,,,21 是n 阶单纯矩阵A 的重数为s r r r ,,,21 的特征值,∑==s

i i n r 1

i E 是A 的对应于i λ的谱阵,证明

1)0=j i E E ,(j i ≠ ),,2,1,s j i =

2) ∑==s

i i E E 1

20.设函数矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=t t t t A cos sin sin cos , 求)(t A dt d , ))((det t A dt d 和))(det(t A dt d . 21.证明 1))()()())((111t A t A dt

d t A t A dt d ---⋅⋅-= 2)A

e Ae e dt

d At At At == 22.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=73487612i A , ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=845x , 求111||||,||||,||||,||||,||||,||||x x Ax Ax A A ∞∞∞ 23.设a ||||∙是n n C ⨯的一种矩阵范数,B 和D 是n 阶可逆矩阵,且,1||||1≤-a B 1||||1≤-a D ,证明对任意的n n C A ⨯∈，a b BAD A ||||||||=也是n n C ⨯的一种矩阵范数.