【单元练】青海高中物理必修2第八章【机械能守恒定律】经典复习题(含解析)

一、选择题
1．如图所示，运动员把质量为m 的足球从水平地面踢出，足球在空中达到的最高点高度为h ，在最高点时的速度为v ，不计空气阻力，重力加速度为g 。

下列说法正确的是（ ）
A ．运动员踢球时对足球做功1
2
mv 2 B ．足球上升过程重力做功mgh C ．运动员踢球时对足球做功mgh +1
2mv 2 D ．足球上升过程克服重力做功mgh +
1
2
mv 2C 解析：C
AC ．对于足球，根据动能定理
2
102
W mgh mv -=
- 解得运动员对足球做功
21
2
W mgh mv =+
A 错误C 正确；
BD ．足球上升过程重力做功
G W mgh =-
足球上升过程中克服重力做功
W mgh =克
BD 错误。

故选C 。

2．从同一高度以相同的速率分别抛出质量相等的三个小球，一个竖直上抛，一个竖直下抛，另一个平抛，则它们从抛出到落地（不计空气阻力），以下说法正确的是（ ） ①运行的时间相等②重力的平均功率相等 ③落地时重力的瞬时功率相等④落地时的动能相等 A ．④ B ．②③
C ．③④
D ．②③④A
解析：A
①运动时间取决于竖直方向的运动，可知竖直上抛运动时间最长，竖直下抛的运动时间最短，①错误；
②由于小球是从同一高度抛出，则重力做的功相同，但由①知运动的时间不同，则平均功率不同，②错误； ③重力的瞬时功率为
P = mgv y
由于平抛的小球在竖直方向的初速度为零，而竖直上抛、竖直下抛的竖直方向初速度不为零，则小球在竖直方向末速度v y 不相同，则重力的瞬时功率不相同，③错误； ④由动能定理可知
mgh = E k -
1
2
mv 02 由于下落的高度，抛出的速率相同，则末动能E k 相同，④正确。

故选A 。

3．如图为嘉兴七一广场音乐喷泉喷出水柱的场景。

喷泉喷出的最高水柱约50m ，喷管的直径约为10cm ，已知水的密度ρ=1×103kg/m 3.据此估计喷管喷水的电动机的输出功率约为（ ）
A ．6.5×104W
B ．1.3×105W
C ．2.6×105W
D ．5.2×105W B
解析：B
喷泉喷水的初速度为
021010m/s gh ν==
t 时间喷水的质量为
2
04
d
m V v t ρρπ==
则喷水消耗的功率大约为
20
512 1.310W
mv P t
==⨯
故选B 。

4．小球在距地面h 高处，以初速度v 0沿水平方向抛出一个物体，若忽略空气阻力，它运动的轨迹如图所示，那么下面说法错误的是（ ）
A ．物体在c 点的动能比在a 点时大
B ．若选抛出点为零势点，物体在a 点的重力势能比在c 点时小
C ．物体在a 、b 、c 三点的机械能相等
D ．物体在a 点时重力的瞬时功率比c 点时小B 解析：B
A ．沿水平方向抛出的物体，不计空气阻力，物体在下落过程中，只有重力做功，机械能守恒。

物体的高度不断下降，重力势能不断减小，所以物体在c 点时的动能比在a 点时大，故A 正确；
B ．因a 点位置高于b 点，故无论选择何处为参考点物体在a 点时的重力势能都比在c 点时的大，故B 错误；
C ．沿水平方向抛出的物体，不计空气阻力，物体在下落过程中，只有重力做功，机械能守恒，所以物体在a 、b 、c 三点具有的机械能相等，故C 正确；
D ．重力的瞬时功率
G y =P mgv
由以上分析知，物体在a 点时重力方向上的分速度y v 比在c 点时小，故物体在a 点时重力的瞬时功率比c 点时小，故D 正确。

故选B 。

5．物体从某一高度做初速为0v 的平抛运动，p E 为物体重力势能，k E 为物体动能，h 为下落高度，t 为飞行时间，v 为物体的速度大小。

以水平地面为零势能面，不计空气阻力，下列图象中反映p E 与各物理量之间关系可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． D
解析：D
A ．平抛运动过程由机械能守恒定律，有
p k E E E =-
则p k E E -图像为倾斜直线，故A 错误；
B ．地面为零势能参考面，设抛出点的高度为0h ，则重力势能为
p 0E mgh mgh =-
则p E h -图像为倾斜直线且为减函数，故B 错误； C ．平抛的竖直分运动为自由落体运动，有
212
h gt =
故有
2p 001
2
E mgh mgh mgh mg gt =-=-⋅
则P E t -图像为开口向下的抛物线，二者为二次函数关系，故C 错误； D ．根据动能定理有
22
01122
mgh mv mv =-
则有
2222p 000001
1112222E mgh mgh mgh mv mv mgh mv mv ⎛⎫=-=--=+- ⎪
⎝⎭
则p E v -图像为开口向下的抛物线，二者为二次函数关系，故D 正确。

故选D 。

6．在圆轨道上运动的质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R ，地面重力加速度为g ，则（ ） A ．卫星运动的周期为g
R
2π4 B ．卫星运动的加速度为
12
g
C ．卫星的动能为18
mgR D 解析：A
A ．设地球质量为M ，卫星周期为T ，根据万有引力提供向心力，有
222
424GMm m R
R T π=
忽略地球自传的影响有
2
GMm
mg R = 联立解得
4T =故A 对；
B ．设卫星的加速度为a ，则
2
(2)GM
ma R = 联立解得
4
g a =
故B 错。

CD ．设卫星速度为v ，则
2
2(2)2GMm mv R R
= 联立解得
2
gR
v =
卫星的动能
2k 11
24
E mv mgR ==
故CD 错。

故选A 。

7．如图所示，一个可视为质点的小球，从H =6m 高度处由静止开始通过光滑弧形轨道AB 进入半径为r =2m 的竖直圆环轨道，圆环轨道部分的动摩擦因数处处相等，当到达环顶C 时，刚好对轨道无压力；沿CB 滑下后进入光滑轨道BD ，且到达高度为h 的D 点时速度为零，则h 的值可能为（ ）
A ．2.7m
B ．3.5m
C ．4.3m
D ．5.1m C
解析：C
小球到达C 时，刚好对轨道无压力，满足
2v mg m r
=
可得在C 点的速度v gr =
A 到C 过程，由动能定理可得
21
(2)2
f m
g H r W mv --=
从C 到D 过程，由动能定理可得
21
(2)02
f m
g
h r W mv '---=-
其中f W 为在竖直圆环轨道右侧上升时克服摩擦阻力所做的功，f W '为在竖直圆环轨道左侧下降时克服摩擦阻力所做的功，由于上升的速度总体较大，受到轨道的压力较大，摩擦阻力较大，故在上升阶段克服阻力做的功较多，即
0f f W W '<<
联立各式可得
4m<<5m h
只有4.3m 符合条件，C 正确。

故选C 。

8．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m = 0.5kg 的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ = 0.2。

以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x 轴，现对物块施加水平向右的外力F ，F 随x 轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x = 0.4m 处时速度为零，则此过程物块克服弹簧弹力做的功为（ ）
A ．2.0J
B ．3.5J
C ．1.8J
D ．3.1J D
解析：D
由图线与坐标轴围成的面积表示功，可得到力F 做的功
W =1
2
× (5 + 10) × 0.2 + 10 × (0.4 - 0.2)J = 3.5J 设克服弹簧弹力做的功为W F ，根据动能定理 W F - W 弹 - μmgx = 0
代入数据有
3.5 – W 弹 - 0.2 × 0.5 × 10 × 0.4 = 0
得
W 弹 = 3.1J
则弹簧的弹性势能为
E P = 3.1J
故选D 。

9．一辆玩具电动小车在平直路面上以6m/s 的速度做匀速直线运动，运动过程中牵引力的功率为9W 。

若某时刻牵引力的功率突然变为6W ，且之后保持不变，对之后的运动过程说法错误的是（整个过程小车受到的阻力不变）（ ） A ．小车最终的运动速度为4m/s B ．小车的牵引力最小为1.5N C ．小车的加速度越来越小，直至为零
D ．自牵引力的功率突变为6W ，到小车再次开始做匀速直线运动的过程中，小车的平均速度小于5m/s B 解析：B
A ．功率改变之前，由111P F v ，得阻力
f 1 1.5N F F ==
功率改变后，小车再次匀速运动时，由222P F v =得
2f 1.5N F F ==
得小车最终运动的速度大小为
2
2f
4m/s P v F =
= 选项A 正确，不符合题意；
B ．小车功率刚变为6W 时牵引力最小，由2min m P F v =，得牵引力最小值为
min 6
N 1N 6
F =
= 故B 错误，符合题意；
C ．功率改变后小车先做减速运动，由
P Fv = f F F
a m
-=
知，小车的加速度越来越小，直至为零，故C 正确，不符合题意；
D ．自牵引力的功率突变至小车再次开始匀速运动，小车做加速度减小的减速运动，通过小车的v t -图像与匀变速运动的v t -图像对比，可得平均速度小于5m/s ，选项D 正确，不符合题意。

故选B 。

10．如图，竖直光滑杆固定不动，套在杆上的轻弹簧下端固定，将套在杆上的滑块（滑块与弹簧不拴接），向下压缩弹簧至离地高度h =0.1m 处，由静止释放滑块，通过传感器测量出滑块的速度和离地高度h 并作出滑块的动能E -h 图像，其中h =0.18m 时对应图像的最顶点，高度从0.2m 上升到0.35m 范围内图像为直线，其余为曲线，取g =10m/s 2，由图像可知（ ）
A ．弹簧的原长为0.18m
B ．滑块的质量为0.2kg
C ．弹簧的弹性势能最大值为0.3J
D ．弹簧的弹性势能最大值为0.32J B 解析：B
A ．由高度从0.2m 上升到0.35m 范围内图像为直线可知，弹簧的原长为0.2m ，故A 错
误；
B ．由图像可知，滑块在0.2m 处动能为0.3J ，从0.2m 上升到0.35m 范围内，由机械能守恒可得
(0.350.2)0.3mg -=
解得
0.2kg m =
故B 正确；
CD ．从0.1m 到0.35m 的过程中，根据能量守恒可知，增加的重力势能即为弹簧的弹性势能的最大值，有
pm 0.210(0.350.1)J 0.5J E mg h =∆=⨯⨯-=
故CD 错误。

故选B 。

二、填空题
11．如图所示，一根轻绳左端固定在水平天花板上的M 点，依次穿过不计质量和摩擦的动滑轮和定滑轮，绳与水平方向夹角图中已标出，悬挂重物A 的重量为G ，则悬挂重物B 的重量为________，如果用外力将绳左端由M 缓慢地向左移到N 点，M 、N 间距离为3s ，则该过程中B 上升的距离为_____，外力F 做的功为_______。

G2s
解析：G 2s 32
Gs
[1]首先进行受力分析，如图
则根据
2sin30F G ︒=
B B F m g G ==
解得
B G G =
[2]由于慢慢移动，所以A 处于平衡状态，由于F 始终等于B 的重力，所以动滑轮两段的细绳与水平面的夹角不变，可知B 上升距离为2x ，由几何关系可得
2cos303x s ︒=
所以
22x s =
[3]A 下降的距离
sin 302
A s h x =︒=
所以外力F 做的功
3
22
F B A A W m g x m gh Gs =-=
12．质量为1kg 的物体从某一高度开始做自由落体运动，3s 后物体着地。

则该物体下落过程中重力的平均功率是_____W ；落地时重力的瞬时功率是_____W 。

解析：150 300 [1]物体在3s 内下落的高度为
2211
=103m 45m 22
h gt =
⨯⨯= 重力做功为
11045J 450J W mgh ==⨯⨯=
平均功率为
450
W 150W 3
W P t =
== [2]落地瞬时速度为
310m/s 30m/s v gt ==⨯=
落地时瞬时功率为
11030W 300W P mgv ==⨯⨯=
13．如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为M 的小车，小车跟绳一端相连，绳子另一端通过滑轮吊一个质量为m 的砖码，则当砝码着地的瞬间（小车未离开桌子）小车的速度大小为______在这过程中，绳的拉力对小车所做的功为________。

2mgh
M m +Mmgh M m
+
[1]选小车与砝码作为一系统，在小车滑动过程中仅有重力做功，则系统的机械能守恒，由机械能守恒定律可得
21
()2
mgh m M v =+
砝码着地的瞬时速度为
2mgh
v M m =
+ [2]选小车作为研究对象，则由动能定理可得
21
02
W Mv =
-拉 联立解得
mMgh
W m M
=
+拉 14．一辆动车组的总质量M =2.0×105kg ，额定输出功率为4800kW 。

假设该动车组在水平轨道上运动时的最大速度为270km/h ，受到的阻力f 与速度v 满足f =kv ，该动车组以最大速度匀速行驶时的牵引力为________N ，当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组的输出功率为________kW 。

解析：46.410⨯ 1200 [1]270km/h=75m/s 根据
P Fv =
可知最大速度时的牵引力
46.410N P
F v
=
=⨯ [2]当匀速行驶的速度为最大速度一半时，可得
411 3.210N F f kv ===⨯
此时的功率
1111200kW P F v ==
15．如图所示，轻质动滑轮下方悬挂质量为m 的物块A ，轻绳的左端绕过定滑轮连接质量为2m 的物块B ，开始时物块A 、B 处于静止状态，释放后A 、B 开始运动，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g ，当物块B 向右运动的位移为L 时，物块A 的速度大小为__________，物块A 减少的机械能为___________。

4
9mgL [1][2]由题意得
B A 2a a = B 2F ma = A 2mg F ma -=
2
B 12
L a t =
A v a t =
联立解得
v =
由
2B B 2v a L =
解得
2B 49
gL
v =
物块A 减少的机械能即为物块B 增加的动能，即
2
B 14229
mgL E m v ∆=⋅⋅=
16．汽车发动机的功率为150 kW ，若其总质量为5t ，在水平路面上行驶时，所受阻力恒定为5.0×103N ，求：
(1)汽车保持额定功率从静止启动后能达到的最大速度是 _______m/s ；
(2)若汽车保持0.5m/s 2的加速度做匀加速启动，这一过程能持续时间为______s 。

40 解析：40
(1)[1]最大速度时，牵引力与阻力相等，因此
3
m 3
1501030m/s 5.010
P v f ⨯===⨯ (2)[2]若加速度为0.5m/s 2，根据牛顿第二定律
F f ma -=
匀加速的最大速度为v ，则
P Fv =
解得
20m/s v =
因此持续的时间为
40s v
t a
=
=
17．从地面竖直上抛一物体，质量m =0.5kg ，上抛初速度v 0=10m/s ，物体上升的最大高度H =4m ，设物体在整个运动过程中所受的空气阻力大小不变，以地面为重力势能零点，重力加速度g 取10m/s 2．可得空气阻力f =__N ，在整个运动过程中物体离地面高度h =__m 处，其动能与重力势能相等．25或 解析：25
209或127
[1]．根据速度位移公式得，物体上升的加速度大小
2
220100m /s 12.5m /s 224
v a H ===⨯
根据牛顿第二定律得
mg+f=ma
解得
f=ma ﹣mg =0.5×（12.5﹣10）N=1.25N ．
[2]．设上升过程中离地面高度为h 时，动能和重力势能相等，有：
2
12
mv mgh = 根据速度位移公式有：
2202v v ah -=
代入数据联立解得
20
m 9
h =
． 设下降过程中离地面高度为h 时，动能和重力势能相等，有：
2
12
mv mgh = 下降时的加速度
25 1.25
7.5m /s 0.5
mg f a m '--=
== 根据速度位移公式得
v 2=2a ′（H ﹣h ）
代入数据联立解得
h =
12
7
m ． 18．质量50kg 的运动员在离水面10m 高的跳台以4m/s 的速度跳出，起跳时所做的功为________J ，运动员从起跳到入水重力做功为__________J ，运动员入水时的动能为_________J ．（g 取210m/s ）50005400 解析：5000 5400
[1]由功能关系可知，起跳时所做的功转化为人的动能即为
2211
504J 400J 22
W mv =
=⨯⨯=
[2]运动员从起跳到入水重力做功为
501010J 5000J G W mgh ==⨯⨯=
[3]由动能定理可得
2G k 1
2
W E mv =-
得
2
k G 15400J 2
E mv W =
+= 19．以0v 的速度竖直向上抛出一物体，忽略空气阻力影响，则物体上升的最大高度
max h =________；物体的重力势能为动能的一半时，物体离抛出点的高度1h =_______max h ；物体的重力势能和动能相等时，物体离抛出点的高度2h =________max h ；物体的动能是势能的一半时，物体离抛出点的高度
3h =_________max h ；物体的速度减为01
2v 时，物体离抛出点的高度
4h =_________max h ．
解析：
202v g 13 12 23 34
[1]．以0v 的速度竖直向上抛出一物体，忽略空气阻力影响，则物体上升的最大高度
20max
2v h g
=； [2]．物体的重力势能为动能的一半时，根据
21max 1
2mgh mv mgh +=
2111
=22
mgh mv ⋅
解得物体离抛出点的高度
1h =
max 1
3
h ； [3]．物体的重力势能和动能相等时，根据
'22max 1
2
mgh mv mgh +=
'221
=2
mgh mv
物体离抛出点的高度
2h =
max 1
2
h ； [4] ．物体的动能是势能的一半时，根据
''23max 1
2
mgh mv mgh +=
''2311
=22
mgh mv 物体离抛出点的高度
3h =
max 2
3
h ； [5]．物体的速度减为
01
2
v 时，根据 240max 11
()22
mgh m v mgh +=
2
0max 12
mv mgh = 解得物体离抛出点的高度
4h =
max 3
4
h ． 20．如图所示，两块三角形的木板B 、C 竖直放在水平桌面上，它们的顶点连接在A 处，底边向两侧分开。

将一个锥体在A 处由静止释放，发现锥体自动地沿木板滚上了较高的B 、C 一端。

不计摩擦损耗，此过程中锥体的机械能___（填“不变”或“变大”或“变小”），试解释这一现象：______。

不变锥体自动地沿木板滚上了BC 板的高处的过程中
只有重力做功锥体机械能守恒重力势能转化为动能
解析：不变 锥体自动地沿木板滚上了B 、C 板的高处的过程中只有重力做功，锥体机械能守恒，重力势能转化为动能
[1]锥体自动地沿木板滚上了较高的B 、C 一端，此过程中锥体的机械能不变；
[2]锥体自动地沿木板滚上了B 、C 板的高处的过程中只有重力做功，锥体机械能守恒，重力势能转化为动能。

三、解答题
21．2020年9月15日，中智行5GAI 无人驾驶汽车亮相上海5G 科普活动，活动现场，中智行展示了公司最新研发的、具有百分百自主知识产权的无人驾驶技术。

在一次性能测试中，质量1000m =kg 的无人驾驶汽车以恒定加速度启动，达到额定功率后保持额定功率继续行驶，在刚好达到最大速度时，突然发现前方有一行人要横穿马路而紧急刹车，车载速度传感器记下了整个过程中速度随时间变化图像如图所示。

已知汽车启动时所受阻力恒
定，且是汽车刹车时所受阻力的
1
5。

求： （1）该无人驾驶汽车发动机的额定功率P ； （2）汽车做匀加速直线运动的末速度； （3）在4s~14s 内汽车通过的路程。

解析：（1）60KW ；（2）12m/s ；（3）111m （1）由图像可知汽车刹车过程中的加速度大小为
222230m /s 10m /s 3
v a t ∆===∆
可知刹车时汽车所受阻力
422110N f F ma ==⨯
因此汽车启动时所受阻力
3121
210N 5
f f F F ==⨯
汽车达到最大速度时1f F F =牵，该汽车发动机的额定功率
max 60kW P F v ==牵
（2）在0~4s 内，根据牛顿第二定律可知
1f F F ma -=
且
1
P F v =
1
1
v a t =
联立解得
112m /s v =
（3）在4~14s 内，汽车功率恒定，阻力恒定，根据动能定理有
22212max 111
22
f Pt F x mv mv -=
- 解得汽车该段时间内的位移
2111m x =
22．如图所示，一长0.45m L =不可伸长的轻绳上端悬挂于M 点，下端系一质量
2.0kg m =的小球，CDE 是一竖直固定的圆弧形轨道，半径0.50m R =，OC 与竖直方
向的夹角60θ
=︒，现将小球拉到A 点（保持绳绷直且水平）由静止释放，当它经过B 点
时绳恰好被拉断，小球平抛后，从圆弧轨道的C 点沿切线方向进入轨道，刚好能到达圆弧轨道的最高点E ，重力加速度g 取210m/s ，求： （1）小球到B 点时的速度大小： （2）轻绳所受的最大拉力大小：
（3）小球在圆弧轨道上运动时克服阻力做的功。

解析：（1）3m/s ；（2）60N ；（3）16J （1）小球从A 到B 的过程，由动能定理得
2112
mgL mv =
解得
13m/s v =
（2）小球在B 点时由牛顿第二定律得
2
1 v F mg m L
-=
解得
60N F =
由牛顿第三定律可知，轻绳所受最大拉力大小为60N
（3）小球从B 到C 做平抛运动，从C 做点沿切线进入圆弧轨道，由平抛运动规律可得小球在C 做点的速度大小
1
2cos v v θ
=
解得
26m/s v =
小球刚好能到达E 点，则
2
3v mg m R
=
解得
35m/s v =
小球从C 点到E 点，由动能定理得
223211(cos )22
f m
g R R m v m v W θ-+-=
- 代入数据解得
16J f W =
23．如图所示，不光滑．．．
的实验轨道ABCD ，AB 与CD 段均为1
4
圆弧，半径R =0.5m ，BC 段水平，B 、C 为切点。

质量m =0.8kg 的滑块（可视为质点），在该轨道的A 点由静止下滑，最后静止在水平轨道上（g 取10 m/s 2）。

问：
(1)滑块能否滑上与A 点等高的D 点？（只需答“能”或“不能”） (2)以BC 面为零势能面，滑块在A 处的重力势能E P 为多少？ (3)滑块在全过程中克服摩擦力做功W f 为多少？
解析：(1)不能；(2) E P =4J ；(3) W f =4J
(1)由于滑块在运动过程中，要克服摩擦力做功，机械能不断减少，所以滑块不能滑上与A 点等高的D 点；
(2)以BC 面为零势能面，滑块在A 处的高度为
h =R =0.5m
在A 处的重力势能为
E P =mgh =0.8×10×0.5J=4J
(3)对整个过程，由动能定理得
mgh -W f =0
解得克服摩擦力做功
W f =mgh =4J
24．图示为修建高层建筑常用的塔式起重机。

在起重机将质量3510kg m =⨯的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上作匀加速直线运动，加速度20.2m/s a =，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做m 1.02m/s v =的匀速运动。

取
210m/s g =，不计额外功。

求：
(1)起重机允许输出的最大功率；
(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第4秒末的输出功率。

解析：(1)5.1×104W ；(2)5s ；4.08×104W
(1)设起重机允许输出的最大功率为P 0，重物达到最大速度时
00m P F v = ①
0F mg = ②
代入数据，有
40 5.110W P =⨯ ③
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F ，速度为v 1，匀加速运动经历时间为t 1，有
011P F v = ④
F mg ma -= ⑤ 11v at = ⑥
由③④⑤⑥，代入数据，得
15s t = ⑦
4s t =时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v 2，输出功率为P ，则
2v at = ⑧ 2P Fv = ⑨
由⑤⑧⑨，代入数据，得
44.0810W P =⨯
25．一质量为m ＝2kg 的小球从光滑的斜面上高h ＝2.4m 处由静止滑下，经光滑水平面滑上一个半径R ＝0.8m 的光滑圆环，直接落在水平面上的Q 点(图中未画出)如图所示，求： (1)小球滑到圆环顶点B 时对圆环的压力： (2)QA 的距离；
(3)小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点？(g 取10m/s 2)
解析：(1)20N ；(2)
82
m 5
；(3)2m (1)由动能定理，列方程得
2()122
mg h R mv -=
当小球到达在圆环最高点时，有
2
mv N mg R
+= 解得
=20N N
根据牛顿第三定律可得，小球滑到圆环顶点B 时对圆环的压力为20N 。

(2)从B 点出来做平抛运动，有
2
122
R gt =
，x vt = 代入数据解得
82
m 5
x =
(3)由动能定理，列方程
21(2)2
mg h R mv ''-=
当小球到达在圆环最高点时，有
2
mv mg R
'= 解得
5
2m 2
h R '=
= 26．如图所示，质量m =0.lkg 的小球（可视为质点）用长L =1.25m 的轻质细线悬于O′点。

将小球向左拉起使悬线呈水平伸直状态后，无初速地释放小球，小球运动到最低点О时细线恰好被拉断，B 为О点正下方地面上的点，且OB 高度h =5m 。

取g=10m/s 2，求： (1)细线所能承受的最大拉力； (2)小球落地点与B 点距离。

解析：(1)3N ；(2)5m
(1)小球从A 到O ，根据动能定理得
212
mgL mv =
在O 点，由牛顿第二定律得
2
v T mg m L
-=
联立两式解得细线所能承受的最大拉力
3T =N
(2)细线拉断后，小球做平抛运动，在竖直方向上，有
212
h gt =
在水平方向上，有
s vt =
解得
5m s =
27．在水平面上有一宽度为0.8m d =的深坑，在坑的右边缘正上方有一悬点，长度为
0.8m l =，能承受最大拉力为m 9N F =的细线系在悬点，另一端拴接可视为质点的钢球。

将钢球拉到与悬点等高的位置，且使细线刚好处于绷紧的状态，使钢球无初速度释放，当钢球运动到悬点正下方时，细线与悬点正下方0.6m x =处的光滑钉子相碰，细线断裂，
210m/s g =。

问：
(1)欲使钢球恰好不落入坑中，悬点到水平面的高度应为多少？ (2)在满足(1)的情况下，钢球的质量至少为多少？
解析：(1)1m ；(2)0.1kg
(1)设悬点到水平面的高度为H ，钢球从与悬点等高的位置运动到正下方时速度为，钢球质量为m ，根据动能定理
212
mgl mv =
解得速度
4m/s v =
细线断裂后钢球做平抛运动，由水平方向匀速可得运动时间
0.2s d
t v
=
= 竖直方向自由落体运动下落高度为
212H l gt -=
代入数据可解得 1m H =
(2) 当钢球运动到悬点正下方时细线刚好断裂，由牛顿第二定律
2
m v F mg m r
-= 又
r l x =-
带入数据解得钢球质量
0.1kg m =
28．如图所示，水平放置的轻质弹簧左端固定在竖直挡板上的O 点，右端自然伸长到A 点，OA 之间水平面光滑。

传送带BC 与左边的水平面AB 等高，并平滑连接，始终以v 0=1m/s 的速度顺时针转动。

右边与足够高的光滑曲面相切与C 点。

已知AB =BC =L =1m ，它们与滑块之间的动摩擦因数均为μ=0.2，弹簧始终处在弹性限度内，g 取10m/s 2。

质量m=2kg 的小滑块被压缩不同程度的弹簧弹出并向右运动，
(1)要使滑块能滑上传送带，求释放滑块前弹簧应具有的最小弹性势能。

(2)滑块被弹出经A 点时的速度v =2.5m/s ，求弹出后滑块经多长时间第一次到达C 点。

(3)若释放滑块前弹簧的弹性势能E p =30J ，通过计算说明滑块最终停止的位置。

解析：（1）4J ；（2）1.44s ；（3）0.5m
(1)滑块A →B ，由功能关系
Ep mgL μ==4J
(2)滑块从A →B 点，设B 点速度为v 1
mg ma μ=
解得
22m/s a =
2212v v aL =--
代入数据得
1 1.5m/s v =
此过程时间为
110.5s v v t a
-=
= 滑块在传送带上经t 2减至共速
012v v at =-
代入数据得
20.25s t =
此过程
10122
v v x t +=
此后匀速 130L x t v -=
代入数据得
311s 16
t =
所以滑块第一次达C 点用时 123 1.44s t t t t =++=
(3)滑块从A 点向右运动再回到A 点，克服摩擦力做功为
2416J W mg L μ=⋅=
当压缩弹簧的弹性势E p =30J 时，则滑块最后应在B 向A 运动的过程中停止运动。

设停止时离A 点的位移为x ，根据功能关系有
(8)p mg L x E μ--=
代入数据得
0.5m x =。