高考理科数学(北师大版)一轮复习课件97抛物线

(1-|cos |)
2
1
,解得|cos α|=3.
方法一:由抛物线焦点弦长公式|AB|=
2
si n 2
8
可得|AB|= 1=9,故选 B.
1
1-
9
方法二:由|cos α|=3得 tan α=±2√2,得直线方程,与抛物线联立进而
可解得 xA+xB=5,于是|AB|=xA+xB+4=9,故选 B.
1
1


1

|DM|=3|MF|=3 0 + 2 .所以 x0-2 = 3 0 + 2 ,解得 x0=p②.
由①②,解得 x0=p=-2(舍去)或 x0=p=2.故抛物线 C 的方程是 y2=4x.
故选 C.
-23-
考点1
考点2
考点3
(2)点 F 的坐标为
考点4
考点5


,0 ,所以 AF 中点 B 的坐标为
9.7
抛物线
知识梳理
考点自诊
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 距离相等 的
点的轨迹称为抛物线.点F称为抛物线的 焦点 ,直线l称为抛物线
的 准线 .
注意若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一
条直线.
-2-
知识梳理
考点自诊
2.抛物线的几何性质
y2=2px
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
抛物线的定义及其应用
例1(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为
坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( C )
√2
A. 2
B.√2
3√2
C.
2
D.2√2
(2)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线E于A,B
两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为( B )
个公共点,则抛物线C的标准方程为( D )
1
A.x2= y
B.x2=4y 或 y2=-16x
C.y2=-16x
D.x2= y 或 y2=-16x
4
1
4
-19-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
解析:(1)由于点 P(4,-2)在第四象限,故抛物线可能开口向右,也可能
开口向下.
故可设抛物线的标准方程为 y2=2px,或 x2=-2my,把点 P(4,-2)代入方
时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).
2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦
点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.
-21-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练 2(1)(2019 河南名校联考,5)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的
1
1
3√2
坐标为2,纵坐标为-√2,S△AOB=2 ×1×(2√2 + √2)=
(2)
2
.
如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1,即x+1=0,分别过A,B
作准线的垂线,垂足分别为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,
过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中
在抛物线上,则|BF|=( D )
5
A.
4
5
B.
2
√2
2
C.
3√2
D.
4
-22-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
解析:(1)
画出图形如图所示,作 MD⊥EG,垂足为点 D.

由题意得点 M(x0,2√2) 0 > 2 在抛物线上,则 8=2px0,得 px0=4①.

1
由抛物线的性质,可知|DM|=x0-2 ,因为 sin ∠MFG=3,所以
( × )
(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).
( × )
(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( × )
(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦

点坐标是 4 ,0 . ( × )
-8-
知识梳理
考点自诊
A
1
解析:由题意知,3+6a=5,a= ,∴抛物线方程为 y2=8x.故选 A.
1
则|OB|= |AF|,所以|OB|=|BF|,所以点 B 的横坐标为 1,所以点 B 的坐
2
标为(1,2√2),
同理可得点 A(4,4√2),所以点 A 到抛物线准线的距离为 4+2=6,故选
A.
-14-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?
解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转
化为到准线距离处理.

2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+ 2 ;
若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为
|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标
准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.
3
3. M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐
标原点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKO=( C)
°°°°
解析:由题意,得点 M 的坐标为


,
2
.
∵K - 2 ,0 ,∴kKM=1.∴∠MKO=45°,故选 C.
-9-
知识梳理
考点自诊
5
4
1
程可得 p= 或 m=4,故抛物线的标准方程 y2=x 或 x2=-8y,故选 D.
2
(2)∵过点 P 恰存在两条直线与抛物线 C 有且只有一个公共点,
∴P 一定在抛物线 C 上,
若抛物线焦点在 x 轴上,设抛物线方程为 y2=2px,
将 P(-1,4)代入方程可得 2p=-16,
故抛物线 C 的标准方程为 y2=-16x;
2
4
,1 ,因为 B 在抛
2
物线上,所以将 B 的坐标代入抛物线方程可得 1= ,解得 p=√2或
2
-√2(舍),
则点 F 坐标为
√2
,0
2
,点 B 的坐标为
√2
,1
4
,由两点间距离公式可得
|BF|=3√2.故选 D.
4
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
与抛物线相关的最值问题
例 3(1)(2019 山东烟台联考,9)已知圆 C1:(x-3)2+(y-2√2)2=1 和焦点
1
位线,则|MN|= 2 ·
(|AC|+|BD|)=4,即M到准线x=-1的距离为4.故选B.
-13-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(3)
由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点
(-2,0),如图过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,连接OB,
由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点,因为点O是PF的中点,
C
解析:设 PQ 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 PQ 中点的横坐标为
1 + 2
3,则
2

5
=3,|PQ|=x1+x2+p=6+ 2 = 4m,由此解得 m=8.
-10-
知识梳理
考点自诊
√15

解析:由于焦点 F(1,0),故2 =1,p=2,抛物线方程为 y2=4x.设
A(x1,y1),B(x2,y2),由于直线 l 的斜率存在且不为零,设 l:y-1=k(x-1),由
考点自诊
标准方程
范 围
开口方向
焦半径(其
中 P(x0,y0))
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
向右
向左
向上
向下
|PF|=
|PF|=
|PF|=
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
标准方程
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图 形
顶 点
对称轴
(0,0)
y=0
p
焦 点
F
离心率
e= 1
p
x=-
准线方程
2
,0
2
x=0
p
F -2 ,0
p
x=
2
p
F 0,2
p
y=-
2
p
F 0,-2
p
y=
2
-3-
知识梳理
|PF|=




x0+2
-x0+2
y0+2
-y0+2
-4-
知识梳理
考点自诊
-5-
知识梳理
考点自诊
பைடு நூலகம்-6-
知识梳理
考点自诊
-7-
知识梳理
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一
定是抛物线. ( × )
(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.
直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小
值为(
A)
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
解析:由已知得:C1(3,2 √2 ),F(2,0),记C2的准线为l,如图,过点M作l的
垂线,垂足为D,过点C1作l的垂线,垂足为D1,则
|MF|+|MN|=|MD|+|MN|≥|MD|+|MC1|-1≥|C1D1|-1,

焦点为 F,点 M(x0,2√2) 0 > 2 是抛物线 C 上的一点,以点 M 为圆

1
2
3
心的圆与直线 x= 交于 E,G 两点,若 sin ∠MFG= ,则抛物线 C 的方
程是( C )
A.y2=x
B.y2=2x
C.y2=4x
D.y2=8x
(2)抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2),若线段 AF 的中点 B
若抛物线焦点在 y 轴上,设抛物线方程为 x2=2py,将 P(-1,4)代入方程
1
可得 2p= ,故抛物线 C 的标准方程为
4
1
2
x = y,故选
4
D.
-20-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?
解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物
线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要
7
A.
2
5
B.
2
C.3
D.2
-16-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
解析:
(1)如图,设A,B在准线上的射影分别为D,E,且设AB=BC=m,直线l的
倾斜角为α.则|BE|=m|cos α|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB||BE|=m(1-|cos α|),
||
所以|cos α|=|| =
-17-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)∵=4,∴||=4||.
||
3
∴|| = 4.过 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',设 l 与 x 轴的交点为 A(图略),则
||
|AF|=4,∴|| =
|'|
||
3
= 4,
∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选 C.
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
抛物线的方程及几何性质
例2(1)(2019黑龙江牡丹江模拟,4)经过点P(4,-2)的抛物线的标准
方程是( D )
A.y2=x或x2=y B.y2=x或x2=8y
C.x2=y或y2=-8x D.y2=x或x2=-8y
(2)已知点P(-1,4),过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一
A
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
解析:(1)焦点 F(1,0),设 A,B 分别在第一、第四象限,则点 A 到准线
l:x=-1 的距离为 3,得点 A 的横坐标为 2,纵坐标为 2√2,直线 AB 的方
程为 y=2√2(x-1),与抛物线方程联立可得 2x2-5x+2=0,所以点 B 的横
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练1(1)(2019河南豫北豫南联考)如图,过抛物线y2=8x的焦
点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线准线交于C点,若B是AC
的中点,则|AB|=( B )
(2)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直
线 PF 与抛物线 C 的一个交点,若=4,则|QF|=( C )
当且仅当M,C1,D三点共线,且点N在线段MC1上时等
号成立,此时|MF|+|MN|取得最小值,则点M1的坐标
为(1,2 √2 ),
|MF|-|MN|≤|MF|-(|MC1|-1)=|MF|-|MC1|+1≤|FC1|+1,
当且仅当M为线段FC1的延长线与抛物线的交点,且点N在线段MC1
-1 = (-1),
2-4y+4-4k=0,由 P 为线段 AB 的中点可
消去
x,得
ky
2 = 4,
4
知,y1+y2= =2,所以 k=2,所以直线 l 的方程为 y=2x-1,y1y2=-2,所以
|AB|= 1 +
1 2

· (1 + 2 )2 -41 2 = √15.
-11-
为 F 的抛物线 C2:y2=8x,N 是 C1 上一点,M 是 C2 上一点,当点 M 在
M1 时,|MF|+|MN|取得最小值,当点 M 在 M2 时,|MF|-|MN|取得最大值,
则|M1M2|=( D )
A.2√2
B.3√2
C.4√2
D.√17