新教材2022年高中数学苏教版必修第一册课件：2.2 充分条件、必要条件、充要条件

因为p是q的充分条件,所以A⊆B.
当A=⌀时,满足题意,此时2a-1≥3a+1,解得a≤-2;
当A≠⌀时,要使A⊆B成立,
2-1 ≥ -1,
2
的取值范围是[3,+∞).
6.(2020吉林洮南第一中学高一月考)已知命题p:A={x|2a-1<x<3a+1},命题
q:B={x|-1<x<4}.
(1)若p是q的充分条件,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使得p是q的充要条件?若存在,求a的值;若不存在,请说
明理由.
解 (1)集合A={x|2a-1<x<3a+1},集合B={x|-1<x<4}.
一封没注明日期;⑥未作记号的信都是用黑墨水写的;⑦用蓝纸写的信都收
藏起来了;⑧一页以上信纸的信中,没有一封是做记号的;⑨以“亲爱的”开
头的信,没有一封是查理写的.
请判断:我是否可以看玛丽的信?
结论是什么呢?学习了本节内容后,运用充分、必要条件的知识进行逻辑
推理就容易判断结果了.
知识点拨
一、充分条件与必要条件
现象来说明“条件”和“结论”之间的关系,更容易理解和接受.用“条件”和“结
论”之间的关系来解释生活中的现象,更加明白、透彻.
典例如图所示的电路图中,“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件?
解 如题图1,闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.反之,若要灯泡B
亮,不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条
2.“x2-4x-5=0”是“x=5”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 B
解析 由x2-4x-5=0得x=5或x=-1,则当x=5时,x2-4x-5=0成立,但x2-4x-5=0
时,x=5不一定成立,故选B.
3.下列条件中,是x2<4的必要不充分条件的是(
二、充要条件
1.如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q充要条件,也
称q的充要条件是p.
2.如果p是q的充要条件,就记作p⇔q,称为“p与q等价”,或“p等价于q”.
3.“⇒”和“⇔”都具有传递性,即如果p⇒q,q⇒s,那么p⇒s;如果p⇔q,q⇔s,那么
p⇔s.
名师点析 (1)若p⇒q,但q
“p⇒q”的含义是:一旦p成立,q一定也成立.即p对q的成立是充分的.也可以
这样说:如果q不成立,那么p一定不成立.即q对p的成立是必要的.一般地,如
果“p⇒q”,那么称p是q的充分条件,也称q是p的必要条件.
名师点析 1.对充分条件的理解
(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可
要条件,则实数m的取值范围是
1
2
<x<3”是“0≤x≤m”的充分不必
.
答案 [3,+∞)
1
“
解析 若 <x<3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件,则
2
1
“ <x<3”⇒“0≤x≤m”,“0≤x≤m”
2
1
“ <x<3”,
2
1
A=
x
<x<3 ,B={x|0≤x≤m},则 A⫋B,即 3≤m,故实数 m
所以由题意可设
{x|1-m≤x≤1+m,m>0}⫋{x|-2≤x≤10},
> 0,
> 0,
所以 1- > -2, 或 1- ≥ -2, 解得 0<m≤3.
1 + ≤ 10,
1 + < 10,
即 m 的取值范围是(0,3].
反思感悟利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
(1)化简p,q两命题;
= 2 -4 ≥ 0,

≥
2
或
≤
-2,
所以
即
> 0,
1 + 2 = - < 0,
所以m≥2,即x2+mx+1=0有两个负实根的必要条件是m≥2,故p⇒q.
综上可知,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.
素养形成
实际问题中的充要关系的判断
“充分”的含义是“有它即可”,“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的
A.-2≤x≤2
B.-2<x<0
C.0<x≤2
D.1<x<3
)
答案 A
解析 由x2<4得-2<x<2,因为{x|-2<x<2}⫋{x|-2≤x≤2},所以-2≤x≤2是x2<4
的必要不充分条件,故选A.
4.(2020重庆十八中高一月考)设集合A={-1,-2},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若
的必要条件,“a=4n”是“a是偶数”的充分条件.
探究二
充分条件、必要条件、充要条件的应用
例2已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),且p是q的充分不必要条件,求实
数m的取值范围.
解 因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 p⇒q 且 q p.
即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m,m>0}的真子集,
q;
由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要不充分条件.

(4)由于 a<b,当 b<0 时, >1;


当 b>0 时,<1.故 p
q.

当 a>0,b>0,<1 时,可以推出 a<b;

当 a<0,b<0,<1 时,可以推出 a>b.故 q
因此 p 是 q 的既不充分又不必要条件.
因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,
所以方程x2+mx+1=0有实根,
设两根为x1,x2,由根与系数的关系知,x1x2=1>0,所以x1,x2同号.
又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1,x2同为负数.
即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2,故q⇒p.
因为x2+mx+1=0有两个负实根,设其为x1,x2,且x1x2=1,
(2)若q⇒p,但p
p,则称p是q的充分不必要条件.
q,则称p是q的必要不充分条件.
(3)若p⇔q,则称p与q互为充要条件.
(4)若p
q,且q
p,则称p是q的既不充分又不必要条件.
微思考
若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题,这种说法对吗?
提示 正确.若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q.
关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件.
点评实际问题中的充要条件要从实际含义去理解其是否成立,从而确定充
要条件,主要考查逻辑推理的核心素养.
当堂检测
1.“|x|=|y|”是“x=y”的(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若x=1,y=-1,则|x|=|y|,但x≠y;若x=y,则|x|=|y|,故选B.
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系;
(3)利用集合间的关系建立不等关系;
(4)求解参数范围.
1
2
变式训练2已知命题p: ≤x≤1,q:a≤x≤a+1,若q是p的必要不充分条件,则
实数a的取值范围是
答案
.
0,1
2
解析 因为 q 是 p 的必要不充分条件,
1
≤ 2,
所以
B.
反思感悟 充要条件的证明
(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.
(2)证明p的充要条件是q,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证
明的是必要性,后者证明的是充分性.
变式训练3求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实数根的充要条件是
m≥2.
证明 假设p:方程x2+mx+1=0有两个负实数根,q:m≥2.
以得出此结论或使此结论成立.
(2)只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立,
例如x=6⇒x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”
的充分条件.
2.对必要条件的理解
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充
分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充
第2章
2.2 充分条件、必要条件、充要条件
内
容
索
引
01
课前篇
课标阐释
1.结合具体实例,理解充分条件、必
要条件、充要条件的意义.(数学抽
象)
2.会求(判断)某些问题成立的充分
条件、必要条件、充要条件.(数学
运算)
3.能够利用命题之间的关系判定充
要关系或进行充要条件的证明.(逻
>0
<0
ac>bc,所以 ac>bc 既不是 a>b 的充分条件,也不是必要条件,故 A,C 都不对;
= ,
= ,
又
⇒a=b,
a=b,所以由 ac=bc a=b,而由 a=b⇒ac=bc.所
≠0
=0
以 ac=bc 是 a=b 的必要条件,故选 B.
(2)命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”是真命题,所以“a是偶数”是“a=4n”
课堂篇 探究学习
探究一
充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条
件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答).
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;
(2)对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
(2)命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”中,“a是偶数”是“a=4n”的
件,“a=4n”是“a是偶数”的
条件(用“充分”或“必要”填空).
条
答案 (1)B
(2)必要
充分
> ,
> ,
解析 (1)因为
⇒a>b,
⇒a<b,所以 ac>bc a>b,而由 a>b
> 0,
1- ≤ -2,
所以 1- < -2, 或 > 0,
解得 m≥9.
1 + > 10,
1 + ≥ 10
所以实数 m 的取值范围为{m|m≥9}.
延伸探究本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”,
其他条件不变,试求m的取值范围.
解 因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 q⇒p,且 p q.则
p.
反思感悟充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)等价法:将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题.
变式训练1(1)对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是(
)
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
(2)“p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,不一定有q.
微思考
p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同?
提示 相同,都是p⇒q.
微练习
“x=2”是“x2-3x+2=0”成立的
条件.
答案 充分
解析 由x2-3x+2=0得x=2或x=1,故“x=2”是“x2-3x+2=0”成立的充分条件.
x∈B是x∈A的充分条件,则实数m的值为
答案 1或2
解析 方程x2+(m+1)x+m=0,
即为(x+1)(x+m)=0,解得x=-1或x=-m.
因为x∈B是x∈A的充分条件,所以B⊆A,
当m=1时,B={-1},满足B⊆A,
当m=2时,B={-1,-2},满足B⊆A,
综上,实数m的值为1或2.
.
5.(2020安徽太和中学高二开学考试)若“
1
解得 0≤a≤ ,
2
+ 1 ≥ 1,
1
,a=0,a=
经检验
均成立,
2
1
所以实数 a 的取值范围是 0, .
2
探究三
充要关系的探求与证明
例3“x2-4x<0”的一个充分不必要条件为(
A.0<x<4
B.0<x<2
C.x>0
D.x<4
)
答案 B
解析 由x2-4x<0得0<x<4,则充分不必要条件是集合{x|0<x<4}的子集,故选
(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;

(4)p:a<b,q: <1.

解 (1)在△ABC中,显然有∠A>∠B⇔BC>AC,所以p是q的必要条件.
(2)由题得x+y≠8⇒x≠2或y≠6,但x≠2或y≠6
x+y≠8,所以p是q的充分不必要
条件.
(3)由(a-2)(a-3)=0可得a=2或a=3,则p
辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
情境导入
著名童话《爱丽丝漫游奇境记》的作者,英国牛津大学数学讲师卡罗尔曾
提出如下趣题:如果已经知道以下信息:①室内所有有日期的信都是用蓝纸
写的;②玛丽写的信都是以“亲爱的”开头的;③除了查理以外没有人用黑墨
水写信;④我可以看到的信都没有收藏起来;⑤只有一页信纸的信中,没有
件.如题图2,闭合开关A而不闭合开关C,灯泡B不亮.反之,若要灯泡B亮,则
开关A必须闭合,说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.如题图
3,闭合开关A可使灯泡B亮,而灯泡B亮,开关A一定是闭合的,因此“闭合开
关A”是“灯泡B亮”的充要条件.如题图4,闭合开关A但不闭合开关C,灯泡B
不亮.反之,灯泡B亮也可不必闭合开关A,只要闭合开关C即可,说明“闭合开