(人教版)南京市必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(答案解析)

一、选择题
1．若对(0,)t ∀∈+∞，都有22
(1)3x t x t
+<
+成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,6-
B ．(,3)
(2,6)-∞--
C ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞
D ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞
2．若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A ．222a b ab +>
B ．a b +≥
C ．
11
a b +>D ．
2b a
a b
+≥ 3．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值12
B ．224a b +有最小值12
C ．ab 有最小值
18 D ．224a b +有最大值
14
4．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy
z
取得最大值时，212x y z +-
的最大值为（ ） A ．0
B ．3
C ．
9
4
D ．1
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A ．
y =的最小值为2；
B ．当a ＞0，b ＞0时，
11
4a b
++； C ．若a 2+b 2=2，则a +b 的最大值为2；
D ．若正数a ，b 满足2,a b +=则
11+4+22
a b +的最小值为1
2.
6．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧
⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭
，则a b -=（ ） A ．4-
B ．14
C ．10-
D ．10
7．如图，在ABC 中，2
3
BD BC =
，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13
x y
+的最小值为（ ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．10
8．若对于任意的x ＞0，不等式231
x
a x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥
15 B ．a ＞15 C ．a ＜15 D ．a ≤
15
9．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( )
A ．若22ac bc >，则a b >
B ．若0a b <<，则22a b <
C ．若0a b >>，则
11a b
< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd < 10．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．
11a b
< B ．55a b > C ．22ac bc >
D ．a b >
11．若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则
ab 的最大值为（ ）
A ．
32
B ．
98
C ．
94
D ．
32
4
12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6
B π
=
且1ABC S =△，则
2
a c ac a c
+-+的最小值（ ） A ．
1
2
B ．2
C ．
14 D ．4
二、填空题
13．若对(,1]x ∈-∞-时，不等式2
1()2()12
x
x
m m --<恒成立，则实数m 的取值范围是
____________.. 14．已知函数2
2
()(32)(2)1
f x m m x m x =-++-+的定义域为R ，则实数m 的取值范
围是________.
15．已知0,0x y >>，且1x y ⋅=，则
11422x y x y
+++的最小值为
______________________
16．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是______． 17．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 18．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23
a b
+的最小值为__________.
19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠=︒∠的平分线交
AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为________．
参考答案
20．已知0a >，0b >，且22a b +=，那么
21
a b
+的最小值为________． 三、解答题
21．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值；
（2）求11
x y
+的最小值.
22．已知不等式()()2
330,ax a x b a b R +--<∈的解集为{}
31A x x =-<<．
（1）求实数a ，b 的值；
（2）设()22
()2
ax bx f x x A x +-=∈-，当x 为何值时()f x 取得最大值，并求出其最大值．
23．已知函数()2
2f x x ax =-，x ∈R ，a R ∈.
()1当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围； ()2解关于x 的不等式()23f x a <；
()3若对于任意的()2,x ∈+∞，()1f x >均成立，求a 的取值范围．
24．已知二次函数()f x 满足()01f =，()()125f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；
（2）若[]
3,1x ∈-，若()2
5f x m m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.
25．已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围；
（Ⅱ）求证：
3bc ac ab a b c
++≥.
26．已知函数22()56()f x x ax a a R =-+∈. （1）解关于x 的不等式()0f x <；
（2）若关于x 的不等式()2f x a ≥的解集为{|41}x x x ≥≤或，求实数a 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
首先利用基本不等式得到2(1)4t t +≥，再根据题意得到2
43
x x <+，解不等式即可.
【详解】
令()2
(1)t t t f +=，()0,t ∈+∞，
()2)2(11t t f t t t
==+++，
因为()0,t ∈+∞，所以()1
224f t t t
=++≥=， 当1t t
=即1t =时取等号，
又因为(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t +<+，所以2
43x x <+即可.
由243x x <+得()243033x x x x +-<++，即2412
03
x x x --<+， ()()2
41230x
x x --+<，所以()()()6230x x x -++<，
解得3x <-或26x -<<. 故选：B. 【点睛】
易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大
值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．D
解析：D 【分析】
利用基本不等式的性质来逐一判断正误即可. 【详解】
对于A ，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，故A 错误；
对于B 、C ，虽然0ab >，只能说明,a b 同号，若,a b 都小于0时，则不等式不成立，故B ，C 错误；
对于D ，0ab >，,0b a a b
∴>，2b a
a b ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立，故D 正
确； 故选：D. 【点睛】
易错点睛：本题考查基本不等式的相关性质，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
3．B
解析：B 【分析】
利用基本不等式分析2
2
,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果. 【详解】
因为21a b +=，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11
,24
a b ==， 所以ab 有最大值
1
8
，所以A ，C 错误； 又因为()2
2
2
11241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24
a b ==， 所以224a b +有最小值1
2
，所以B 正确，D 错误， 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．D
解析：D 【分析】
利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =
+-，根据基本不等式最值成立的条件可得2
2,2x y z y ==，代入212
x y z
++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.
【详解】
由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，
2234z x xy y ∴=-+．
∴2211
434432?xy xy x y z
x xy y x y y x
==
=-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时2
2z y =．
∴
222122121(1)1122x y z y y y y
+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即
212
x y z
+-的最大值是
1． 故选：D
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.
5．B
解析：BCD 【分析】
利用基本不等式分别判断A 、B 、D 选项，C
选项可设,
a b αα==，利用三角
函数的值域求范围. 【详解】 A 选项，
2
22x +≥
>，
∴
2y =≥==
，即
2
21x +=±时成立，又
222x
≥+，故A 错；
B 选项，当a ＞0，b ＞0
时，
1124a b +++≥⨯=，
当且仅当1a b =⎧=，即1a b ==时等号成立，B 正确；
C
选项，设,a b αα=
=
，则
2sin 24a b πααα⎛
⎫+==+≤ ⎪⎝
⎭，
C 正确；
D 选项，2a b +=，()212192
a b ⎡⎤
⎛⎫∴+++= ⎪⎢⎥⎝
⎭
⎣⎦
，
则
()121252229291111++4+22442+2242a b a b a b a b a b ⎛
⎫+ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=⨯++ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥++⎝⎭⎝=+⎣+⎭⎦ ⎪
⎝
⎭
251942
⎛ ≥⨯+= ⎝⎭
，当且仅当122422a b a b ++=++且2a b +=时等号成立，解得1a b ==，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围，注意取等号的条件，属于中档题.
6．C
解析：C 【分析】
由题意可知方程220ax bx ++=的根为11
,23
-
，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而得出-a b 的值.
【详解】
由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23
- 由根与系数的关系可知，11112,2323b a a
-+=--⨯= 解得12,2a b =-=- 即12210a b -=-+=- 故选：C 【点睛】
本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.
7．A
解析：A 【分析】
由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 解：∵2
3
BD BC =
， ∴3CB CD =，
3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，
因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=， 则
(
)3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即1
4
x y ==时取等号， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．A
解析：A 【分析】
由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】
由题：对于任意的x ＞0，不等式
231
x
a x x ≤++恒成立，
即对于任意的x ＞0，不等式
1
13a
x x
≤++
恒成立，
根据基本不等式：10,335x x x >++
≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以
1
13x x
++的最大值为1
5
， 所以15
a ≥. 故选：A
【点睛】
此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.
9．B
解析：B 【分析】
由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】
对于A ，若2
2
ac bc >，则0c ≠，22
22ac bc c c
>，即a b >，故正确；
对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，
则22a b >，故题中结论错误；
对于C ，若0a b >>，则a b ab ab
>，即11a b <，故正确；
对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确.
故选B. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.
10．B
解析：B 【分析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则
1
a 与1b
的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．B
解析：B 【分析】
由两直线垂直求出23a b +=，再利用基本不等式求出ab 的最大值． 【详解】
解：由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直 所以22(23)0b a +-= 即23a b +=
又a 、b 为正实数，所以2a b +≥即2
29224
a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a 34=，b 32=时取“＝”；
所以ab 的最大值为9
8
． 故选：B 【点睛】
本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令
24a c y a c +=
-+，+a c t =，2
4t y t =-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6
B π
=
且1ABC S =△，得
1sin 126
ac π
=，解得4ac =， 所以2
+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪
⎝⎭
，即
+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以
224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则2
4t y t
=-（4t ≥）， 而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以2421
4442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c
+-+的最
小值为
12
. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中 解析：()2,3-
【分析】
运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.
【详解】
不等式()21212x x
m m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x x m m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令12
x t =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[
)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，
所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<.
故答案为：()2,3-
【点睛】
方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.
14．【分析】因为函数的定义域为即不等式恒成立需按二次项系数：为零与不为零分类讨论当系数不为零时只需让系数大于零且根的判别式小于零解此不等式组即可求出的取值范围【详解】∵函数的定义域为∴对于任意恒有①若则 解析：2(,)[2,)3
-∞⋃+∞ 【分析】
因为函数的定义域为R ，即不等式22
(32)(2)10m m x m x -++-+>恒成立，需按二次项系数：232m m -+为零与不为零，分类讨论，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零，解此不等式组，即可求出m 的取值范围.
【详解】
∵ 函数()f x 的定义域为R ，
∴ 对于任意x ∈R ，恒有22(32)(2)10m m x m x -++-+>，
① 若2320m m -+=，
则2m =或1，
当1m =时，
不等式即为101x x -+>⇒<，
不符合题意，
当2m =时，
不等式即为10>，符合题意，
∴ 2m =符合题意；
② 若2320m m -+≠，由题意得
()22232024(32)0m m m m m ⎧-+>⎪⎨∆=---+<⎪⎩，
解得：2m >或23
m <； 综上可得，m 的取值范围是2m ≥或23
m <． 故答案为：2(,)[2,)3
-∞⋃+∞.
【点睛】
关键点睛：本题主要考查二次不等式的恒成立问题．讨论二次项系数为零与不为零，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零是解决本题的关键. 15．【分析】由代入化简为利用基本不等式即可求解【详解】因为且所以当且仅当即或时等号成立则的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题其中解答中熟记基本不等式的使用条件一
解析：
【分析】
由1x y ⋅=，代入
11422x y x y +++化简为+y 42x x y ++，利用基本不等式，即可求解. 【详解】
因为0,0x y >>，且1x y ⋅=，
所以1144222x y x y x y x y
+++=+≥++
当且仅当42x y x y
+=+，即1,1x y ==或1,1y x ==时等号成立，
则11422x y x y
+++的最小值为，
故答案为：【点睛】
方法点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，以及合理应用“1”的代换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
16．(－13)【解析】由题意得
解析：(－1,3)
【解析】
由题意得222min (23)2122113x x a a a a a -+>--∴>--⇒-<<
17．【分析】由题得ab ＝a ＋b ＋3≥2＋3解不等式即得解【详解】∵ab 是正数∴ab ＝a ＋b ＋3≥2＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)所以所以所以或所以ab≥9故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式的
解析：[)9,+∞
由题得ab ＝a ＋b ＋3，解不等式30ab -≥即得解.
【详解】
∵a ，b 是正数，
∴ab ＝a ＋b ＋
＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)，
所以30ab -≥，
所以0≥，
3≥1≤-，
所以ab ≥9.
故答案为：[9,)+∞
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．【分析】函数求导由切线方程可得再利用基本不等式求得最值【详解】的导数为由切线的方程可得切线的斜率为1可得切点的横坐标为切点为代入得为正实数则当且仅当即时取得最小值故答案为：【点睛】本题考查导数的运算
解析：5+【分析】
函数求导，由切线方程y x a =-可得1a b +=，再利用基本不等式求得最值.
【详解】
ln()y x b =+的导数为1y x b
'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为(1,0)b -，
代入y x a =-，得1a b +=，
,a b 为正实数，
则2323233()()2355b a a a b a b a b a b b
+=++=+++≥+=+
当且仅当a =，即2,3a b ==5+.
故答案为：5+
【点睛】 本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.
19．【分析】先根据三角形面积关系列等量关系再根据基本不等式求最值【详解】因为所以因此当且仅当即时取等号即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式利用基本不等式求最值考查综合分析求解能力属中档题 解析：16
先根据三角形面积关系列,a c 等量关系，再根据基本不等式求最值.
【详解】
因为ABC ABD BDC S
S S =+, 所以11111sin1201sin 601sin 601222ac a c a c
=⨯⨯+⨯⨯∴+=
因此1199(9)()101016c a a c a c a c a c +=++=+
+≥+= 当且仅当911,1c a a c a c =+=即44,3
a c ==时取等号 即9a c +的最小值为16
故答案为：16
【点睛】 本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 20．4【分析】根据1的变形运用均值不等式即可求解【详解】且当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】本题主要考查了基本不等式的灵活运用属于中档题 解析：4.
【分析】
根据“1”的变形，运用均值不等式即可求解.
【详解】
0a >，0b >，且22a b +=,
1(2)12
a b ∴+= ()211211422222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1442b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1442⎛≥+= ⎝ 当且仅当
4b a a b
=，即21a b ==时，等号成立． 故答案为：4
【点睛】 本题主要考查了基本不等式的灵活运用，属于中档题.
三、解答题
21．无
22．无23．无24．无25．无26．无。