参数方程答案

1、已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y t ⎧=⎪⎨
=⎪
⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求l 的极坐标方程；
（2）过点
13(,)
4M -任作一直线交曲线C 于,A B 两点，求||AB 的最小值. 【答案】（1）sin +
24πρθ⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
;（2）7||min =AB . 试题分析：（1）将曲线C 化为直角坐标方程,再求其在点()1,1处的切线方程.根据公式cos ,sin x y ρθρθ==可得其极坐标方程.（2）
试题解析：（1）
sin 24πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭；曲线C 的普通方程为
22
2x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即
sin 24πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭.
（2）曲线C 的方程222x y +=可知曲线C 为圆心在原点半径为2的圆.
设圆心()0,0到直线AB 的距离为d ,则可得2
222AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
,2
22AB d ∴=-.
由分析可知1
2
d OM ≤=,
2
min
12272AB ⎛⎫
∴=-= ⎪⎝⎭
.
考点：1极坐标与直角坐标间的互化;2弦长问题. 【解析】
2、己知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是（t 是
参数）．
(I)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)若直线，与曲线c 相交于A 、B 两点，且14a 的值．
【答案】（Ⅰ）4)2(2
2=+-y x ；(Ⅱ)4
π
α=
或
4
3π
． 试题分析：（Ⅰ）利用普通方程和极坐标方程的转化公式进行求解；(Ⅱ)将直线的参数坐标代入圆的方程，得到关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义进行求解．
试题解析：（I ）由θρcos 4=得：4)2(22=+-y x （II ）将⎩⎨
⎧=+=α
α
sin cos 1t y t x 代入圆的方程得
4)sin ()1cos 22=+-ααt t （， 化简得03cos 22=--αt t
设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则⎩⎨
⎧-==+3
cos 22121t t t t α
,
()1412cos 4422
122121=+=-+=
-=∴αt t t t t t AB ,
∴2cos 42=α,故22cos ±
=α,即4πα=或4
3π 考点：1.参数方程、极坐标方程和普通方程的互化；2.直线和圆的位置关系．
【解析】
3、在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求圆C 的参数方程；
（2）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．
【答案】（1
）22x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）；（2）点P 的直角坐标为(3,3)时，x y
+取到最大值为6；
试题分析：试题解析：（1）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以
22446x y x y +=+-，
所以224460x y x y +--+=，即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．
所以所求的圆C
的参数方程为22x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）
（2）由（
1）得4cos )42sin()4
x y π
θθθ+=++=++，
当4
π
θ=
时，即点P 的直角坐标为(3,3)时，x y +取到最大值为6
【解析】
4、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=α
α
sin cos 2y x （α为参数），在以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
22)4
sin(=+π
θρ.
（Ⅰ）求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点)1,1(-P ，求||||AB PB +的最小值.
【答案】（I ）1)2(22=+-y x ，4=+y x ；（II
1.
试题分析：（I ）利用22sin cos 1αα+=消去参数，可得曲线C 的普通方程，根据
cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，即可的直线l 在该直角坐标系下的普通方程；（II ）利用||||||||||1PA AB QA AB QC +=+≥-，仅当C A B Q ,,,四点共线时，且A 在C B ,之
间时等号成立，可求得最小值. 试题解析：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧=+=α
α
sin cos 2y x 可得1)2(22=+-y x ；
由直线l 是极坐标方程为22)4
sin(=+
π
θρ，可得4)cos (sin =+θθρ，即
4=+y x .
（Ⅱ）法1：设P 关于直线的对称点为),(b a Q ，故⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=++-531)1)(11(42
1
21b a a b b a ，∴
)5,3(Q ，
由（Ⅰ）知曲线C 为圆，圆心)0,2(C ，半径1=r ，
1261||||||||||-=-≥+=+QC AB QA AB PA .
仅当C A B Q ,,,四点共线时，且A 在C B ,之间时等号成立，故
126|)||(|min -=+AB PA
法2：设C 关于直线的对称点为),(n m D ，同上解得⎩
⎨
⎧==24
n m ， 由（Ⅰ）知曲线C 为圆，圆心)0,2(C ，半径1=r ，
1261||||||||||-=-≥+=+QC AB QA AB PA .
当且仅当C A B Q ,,,四点共线时，且A 在C B ,之间时等号成立， 故126|)||(|min -=+AB PA .
法3：如图（数形结合）要写清楚，注意到倾斜角ο135，)2,4(D
考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化；圆的性质的应用. 【解析】
5、在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =+⎧⎨
=-+⎩（t 为参数），2C ：6cos ,
2sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.
（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为2
t π
=-
，Q 为2C 上的动点，求线段PQ 的中点
M 到直3:cos 3sin 823C ρθρθ=+.
【答案】（I ）1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆；（II ）33.
试题分析：（I ）由22cos sin 1θθ+=，能求出曲线12,C C 的普通方程，并能说明它们分别表示什么曲线；（II ）当2
t π
=-
，(4,4)P -，设设(6cos ,2sin )Q θθ，则
(23cos ,2sin )M θθ+-+，之间3C 的直角方程为3(83)0x -+=，由此能
求出线段PQ 的中点M 到3C 的距离的最小值．
试题解析：（Ⅰ）2
2
1:(4)(3)1,C x y -++=22
2:
1364
x y C += 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆
2C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆.
（Ⅱ）当2
t π
=
时，(4,4)P -，
设(6cos ,2sin )Q θθ则(23cos ,2sin )M θθ+-+，
3C 为直线3(823)0x -+=，
M 到3C
的距离d =
=
=3)6πθ=+
从而当cos()1,6
π
θ+
=时，d
取得最小值3
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化为普通方程．
【解析】
6、在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
C:2sin 2cos a ρθθ=（0a >），过点()2,4P --的直线l 的参数方程
为
242
x y t ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（t
为参数）
，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． （1）写出曲线C 的平面直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若PM ，MN ，PN 成等比数列，求实数a 的值．
【答案】(1)C 的直角坐标方程为22y ax =（0a >）,直线l 的普通方程为
20x y --=;(2)1a =.
试题分析：(1)在2sin 2cos a ρθθ=两边同乘以ρ可得22sin 2cos a ρθρθ=，由极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C 的直角坐标方程,利用代入消元法可求出直线的普通方程；(2)将直线l 的参数方程与曲线C
的直角坐标方程联立，得
)()24840t a t a -+++=，设点M ，N 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的
根，则1t PM =，2t PN =，12t t MN =-,由PM ，MN ，PN 成等比数列列出等式，由韦达定理代入即可求出a 的值.
试题解析：（1）在2sin 2cos a ρθθ=两边同乘以ρ可得22sin 2cos a ρθρθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程为22y ax =（0a >）；
由22x =-+
得2)t x =+
，代入42
y t =-+可得 直线l 的普通方程为20x y --=．
（2）将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，得
)()24840t a t a -+++=．
（*）
()840a a ∆=+>．
设点M ，N 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根， 则1t PM =，2t PN =，12t t MN =-． 由题设得()2
1212t t t t -=，
∴()2
1212124t t t t t t +-=．
由（*
）得)124t t a +=+，()12840t t a =+>， 则有()()2
4540a a +-+=，∴1a =，或4a =-，
Q 0a >，∴1a =．
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.参数方程与普通方程的互化；3.直线参数方程的应用. 【解析】
7、选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线1C ：为参数）t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=α
α，圆2
C ：为参数）θθθ
(sin cos ⎩⎨⎧==y x . （Ⅰ）当α=
3
π
时，求1C 与2C 的交点坐标： （Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.
【答案】（Ⅰ）()1,0
，1(,2；（Ⅱ）2211()416x y -+=，P 点轨迹是圆心为1(,0)4，
半径为1
4的圆.
试题分析：（Ⅰ）先消去参数将曲线1C 与2C 的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可；（Ⅱ）设(),P x y 利用中点坐标公式得P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线. 试题解析：（Ⅰ）当3
π
α=
时，1C
的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为
221x y +=.
联立方程组解得1C 与2C 的交点为()1,0
，1
(,2. （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y α
αα--=.
A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为
21sin 2
1sin cos 2
x a y a a ==-⎧⎨⎩（a 为参数）P 点轨迹的普通方程为2
211
()
416
x y -+=
， 故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为
1
4
的圆. 考点：1、参数方程化成普通方程；2、圆的标准方程. 【解析】
8、在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ=
+
，点4R π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极
坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标.
【答案】（1）2213x y +=，()2,2R ；（2）矩形的最小周长为4，点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 试题分析：（1）根据同角三角函数的基本关系式把极坐标方程22
3
12sin ρθ
=
+中分母上的1用22sin cos θθ+代换，再分别把cos ,sin x y ρθρθ==代入即可曲线C 的普通方程；（2）设出,P Q 两点的参数式坐标，由三角函数求出两邻边和
42sin 3PQ QR πθ⎛
⎫+=-+ ⎪⎝
⎭的最小值，即得周长的最小值.
试题解析：（1）由于cos ,sin x y ρθρθ==则曲线C 的方程为223
12sin ρθ
=
+，
转化成2
213
x y += 点R 的极坐标转化成直角坐标为：()2,2R ； （1
）设)
,sin P
θθ
根据题意，得到()2,sin Q θ。

则
：2,2sin PQ QR θθ==-，所以
42sin 3PQ QR πθ⎛
⎫+=-+ ⎪⎝
⎭
当6
π
θ=
，()
min
2PQ QR
+=，矩形的最小周长为4，点31,22P ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
考点：曲线的极坐标方程与普通方程的互化及参数方程的应用. 【解析】
9、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为)0,(sin 1cos 2παα
α
<<⎩⎨⎧+=+=为参数t t y t x ，曲线C 的
极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点P 的直角坐标为)1,2(P ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且
3
28
=
⋅PB PA ，求αtan 的值． 【答案】（1）x y 42=；（2）3tan =α或3tan -=α． 试题分析：（1）由22y x +=
ρ，2
2
sin y
x y +=
θ，2
2
cos y
x x +=
θ或
cos ,sin ,ρθx ρθy ==
222ρx y =+可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）题中直线l 的参数方程是过点
P 的标准参数方程，参数t 具有几何意义，即PA t =，其中t 是A 对应的参数，由
此可得解法，把直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得t 的一元二次方程，由韦达定理得12t t ，于是有12PA PB t t =，由此可得sin α值． 试题解析：（1）当0>ρ时，将22y x +=
ρ，2
2sin y x y +=
θ，2
2cos y x x +=
θ代入θθρcos 4sin 2=，得x y 42=．经检验，极点的直角坐标)0,0(也满足此式． 所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=．
将⎩⎨⎧+=+=α
αsin 1cos 2t y t x 代入x y 42=，得07)cos 4sin 2(sin 22=--+⋅t t ααα， 所以328
sin 7221=
=
αt t ， 所以43sin 2=α，3
23π
πα或=，即3tan =α或3tan -=α
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．
【解析】
10、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ为参数），曲
线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕ
ϕ=⎧⎨
=⎩
（0,a b ϕ>>为参数），在以O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=，与1C ，2C 各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2
π
α=
，这两个交点重合．
（1）分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值； （2）设当4
π
α=
时，l 与1C ，2C 的交点分别为11,A B ，当4
π
α=-
，l 与1C ，2C 的
交点分别为22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）
2
5
试题分析：（1）有曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），曲线2C 的参数方
程为cos sin x a y b ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩
（0a b ϕ>>，为参数），消去参数的1C 是圆，2C 是椭圆，并利用．当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2
απ
=
时，这两个交点重合，求出a 及b ．（2）利用
12C C ，的普通方程，当4
απ
=
时，l 与12C C ，的交点分别为11A B ，，当4
απ
=-
时，
l 与12C C ，的交点为22A B ，，利用面积公式求出面积．
试题解析：（1）1C 是圆，2C 是椭圆．
当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()1,0,,0a 因为这两点间的距离为2，所以3a = 当2π
α=
，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()0,1,0,b 因为这两点重合，
所以1b =；
（2）1C ，2C 的普通方程为22
2
2
1,19
x x y y +=+=
当4
π
α=
时，射线l 与1C 交点1A 的横纵表是2
x =
，与2C 交点1B 的横坐标是
'x =
当4
π
α=-
时，射线l 与1C ，2C 的两个交点22,A B 分别与交点11,A B 关于x 轴对称，
因此四边形1
2
2
1
A A
B B 为梯形，故四边形1
2
2
1
A A
B B 的面积为()()'
'
22225
x x x x +-=．
考点：1.参数方程化成普通方程；2.圆与圆锥曲线的综合．
【解析】。