微积分教学中符号化思想的分析

第9卷第2期
2010年4月
淮阴师范学院学报(自然科学)J OURNAL OF HUAI Y I N TEAC H ERS COLLEGE (Nat u ral S ci ence) V o l 9N o 2A pr .2010
微积分教学中符号化思想的分析
赵东金
(南京晓庄学院教育科学学院,江苏南京 211171)
摘 要:符号是数学思维的载体,符号化思想是重要的数学思想方法.研究微积分教学中的符号化思想,揭示其内在规律性,是微积分教学研究的需要,也有方法论意义.研究发现,要剖析微积分教学中的符号化思想,应该从其语义、结构和辩证法等三个方面展开.
关键词:符号化思想;语义分析;结构分析;辩证分析
中图分类号:O172.4 文献标识码:A 文章编号:1671-6876(2010)02-0138-04
收稿日期:2010-02-28
作者简介:赵东金(1967-),男,江苏南京人,讲师,硕士,主要从事数学教育研究.
0 引言
大家熟知,微积分大体上是由牛顿和莱布尼茨完成的,他们各自创设了一套微积分符号,现今人们看到的微积分符号大多数是莱布尼茨创设的,而牛顿的符号早已淘汰,只能在一些力学书中能见到踪迹.莱布尼茨总是随着他思想的发展而改革他所用的符号,乃至有人提出: 莱布尼茨究竟是发明了微积分,还是发明了一个特别巧妙的微积分符号体系? [1]应当说,他发明了两者.这问题暗示且凸现了符号分析对于阐明微积分思想的重要性,正如苏联教育家斯托尼亚尔所说,从某种意义说,数学教学也就是数学语言的教学.
数学因其抽象性而弄得声名狼藉.其实这个坏名声只有一半是该当的. [2]还有一半是因为 公众的舆论 有时并不 公正 ,有些教师讲课不得法,没有讲清数学的真谛,无意之中歪曲了数学的形象,这种情况值得重视.的确,数学符号是抽象的,但它充满生机,并不是枯燥的,有其丰富的数学思想.我们在数学教学中要对符号化思想作认真的分析.下面谈谈个人对微积分教学中符号化思想的认识与实践.1 语义分析
在微积分中概念与符号是紧密联系的.有些概念的构成是先用自然语言表达,随后赋予符号表示;有些抽象层次较高的概念的形成,必须借助于符号给出定义;还有一些概念则纯粹是用符号来定义的.因此,数学符号化思想的教学是微积分概念教学的重要组成部分.
符号只是代表概念的物质外壳,如果学生不了解符号的含义,那就什么也不知道.因此,在概念教学中,必须重视对符号语义的分析,自始至终给表示概念的符号赋予具体内容.
斯托尼亚尔曾说过,如果学生不理解数学语言表达式的意义,就不能把非数学问题化成数学问题.他们的知识将是形式主义的、无益的.对于一个数学符号,如果学生只是一知半解的使用它,那就无法掌握,不可能灵活操作.
例如,有些学生对于 x a f(x )d x 改写为 x
a f (t)d t 不甚了解,其实,只要真正理解定积分符号的涵义,就能直接洞察到该公式语义的正确性.
斯托尼亚尔还指出,传统教学中学生知识表面化的根源往往是,数学语言的学习中形式和内容的脱节,其实质就是数学语言的符号、公式与它们所表示的东西脱节.这是教师在教学中对数学语言的语义分析不到位的结果.
大家熟知,通过操作数学符号,能使某些数学操作过程达到机械化、自动化,并能约简思维过程,但是这种操作毕竟不同于机械操作,这种操作在 自动 工作的同时,操作者应该对符号的概念属性了解透彻,不允许有丝毫含糊和混淆.有些数学表达式之间,在形式结构上似乎没有多大差别,但其语义内容却完全不一样.例如, n 1a
n 与 1a n 似乎相差无几,都是 和 ,但两者却代表完全不同的数学概念.前者
代表代数和,是有限运算;后者已经不是代数和,它被定义为 部分和 的极限.
在符号属性方面的模糊,必将导致符号操作过程中的错误.例如
li m n
1+2+ +n n 2=li m n 1n 2+2n 2+ +n n
2=0, li m x 0x 1-cos x =li m x 0x 2sin x 2=2.造成上述错误的原因是对 n 、 x 0 及 的含义理解不准确.
有些课本在刚建立导数定义时,就引用d y d x
作为求导的记号,即d y d x =li m x 0d y d x .后来,有学生则提出用约分的办法来证明复合函数求导法则(y x =y u u x ),即y u u x =
d y d u d u d x =d y d x =y x .这种显然是不行的,因为在这里
d y d u ,d u d x 及d y d x 等纯粹是记号,毫无相除的意思.等到后来,学过 微分形式的不变性 d y =f (x )d x 后,
d y d x 才真正成为d y 与d x 的商.2 结构分析
关于微积分符号,除了其抽象性外,符号结构本身也是造成学生学习困难的原因之一.有些微积分概念是用构造法引进的,且构造过程繁琐.导数与定积分就是很典型的例子,两者都是用构造法引进的.所谓导数,就是指
li m x 0f(x 0+ x )-f (x 0) x ,所谓定积分,就是指
li m x 0 n
=1f( i ) x i .这两个结构都是特殊类型的极限,结构复杂,层次多.初次接触这些符号的人,往往感到抽象难懂,甚至感到 古怪、离奇 .因此,在微积分概念教学中,必须注意剖析符号的结构.
2.1 要结合历史剖析结构形成的文化背景.
微积分中的一切符号结构式,都有其产生的文化背景,教师应尽可能的追本溯源,剖析其来源.以定积分为例,它起源于求图形的面积和一些其它量的求和问题.古希腊数学家阿基米德早就用分割的方法计算过抛物弓形的面积、球和球冠的面积和螺线下面积等.到了16世纪以后,人们普遍把一块任意形状的图形面积近似地看成很多细窄的矩形面积的总和.要求不规则图形的面积,只要求下列形式的极限:
li m x i 0 n
i=1f ( i ) x i .还有很多问题,如求变速直线运动的路程、变力所作的功、液体的压力等都归结到求这种类型的和的极限.因此,人们就必须对这种结构式进行深入研究,从而得到定积分的概念.可见,定积分的概念中的符号结构式完全是由于科学与实践的需要,从实际问题的解决过程中总结出来的.结合历史讲清文化背景,学生就不感到抽象、枯燥,有利于培养学生的学习情感.
2.2 要剖析结构的层次.微积分中的很多符号结构是具有层次的,为了使学生彻底掌握其结构,教师必须认真剖析结构式中139
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的有关层次.例如,导数与定积分概念的构造过程中都有三个层次.
导数概念中的三个层次:
1)由自变量的改变量 x,求函数的改变量
y =f(x 0+ x )-f (x 0);
2)求两个改变量的比:
y x =f(x 0+ x )-f (x 0) x
;3)令 x 0,求极限:
li m x 0f (x 0+ x )-f(x 0) x .定积分概念中的三个层次:
1)分割积分区间,作乘积f ( i ) x i ;
2)作和式 n i=1f ( i ) x i
;3)令 x i 0,求极限 li m x 0 n
=1f( i ) x i .符号结构的层次,反映了数学概念的形成过程,因此,剖析结构的层次,理该是概念教学的重要内容.另外,教师还必须结合实例讲清各个层次的含义.例如,让学生按定义中的三个层次求一些简单函数的导数和定积分.这是引导学生理解符号结构的重要环节.
2.3 要结合几何解释对结构进行方法论剖析.
希尔伯特高度重视几何解释的作用,他指出几何图形能帮助记忆,能 令人想到曾经是形成新概念的缘由的那种现象 .对于很多微积分概念的符号结构式,可以赋予几何意义,教学中教师可以利用几何直观揭示各层次的意义及相互关系,进而阐明建立概念的思想方法.例如,导数与定积分概念中各层次就有鲜明的几何意义.在定积分概念中:
f ( i ) x i 代表小矩形的面积,它是细窄的曲边梯形面积的近似值;
n i=1f ( i
) x i 代表诸小矩形面积的和,它是曲边梯形面积的近似值;li m x 0 n
=1f ( i ) x i 代表曲边梯形的面积.
这里包含着 化整为零 、 以不变代变 、 积零为整 与 求极限 等过程,体现了微积分的基本思想.其间,取极限起着关键作用:使量变转化为质变,使近似转化为准确.
教学中教师如果能运用多媒体来显示从小矩形面积的和转化到曲边梯形面积的变化、运动过程,那就更加形象化,有利于学生领悟微积分的思想方法.
3 辩证分析
微积分 本质上不外是辩证法在数学方面的运用 .微积分研究问题的方法,不是孤立地看一个数、一个图形,而是看一系列数、一系列图象的总体;不是静止地看某一个数和一个图像,而要看这些数、这些图象的发展变化.这一点与初等数学是完全不同的.
学生在中学阶段长期接触常量和不变的图形,习惯于孤立地、静止地考察问题.初学微积分不大适应.例如,学生看惯了 n +1>n ,对于 li m n A n+1=li m n
A n 表示疑惑.原因是缺乏 发展的 、 变化的 的观点.再如,对于 开区间(0,1)中没有最大的数和最小的数 这句话也提出种种疑问.认为 (0,1)中最小(大)的数,客观上是存在的,仅仅写不出来. (0,1)中的点总是从左到右一点一点排过来的,那么第一个不就是最小的数吗? 他把有限集的性质搬到无限集上来.事实上,(0,1)中的点是不可排的,更谈140淮阴师范学院学报(自然科学)第9卷
不上 从左向右排 .
然而,从常量到变量,从有限到无限,正是初等数学过渡到高等数学的关键.为了引导学生尽快地适应这种 过渡 ,我们必须重视微积分中符号语言的辩证分析.例如,关于数列极限li m n
a n =A 的< -N >定义.学生会提出一系列疑问:在< -N >定义中怎样理解 是 任意的 又是 指定的 正数? 与N 的先后、因果关系如何?描述性定义简单明白,数学家为什么要搞个< -N >定义?为什么说描述性定义不严格,而< -N >定义才是严格的?产生这些问题不仅因为是术语深奥,符号抽象,还因为< -N >定义中体现了一些辩证关系,如有限与无限,常量与变量等.
有限与无限是对立的统一,且有本质的不同.无限集可以与自身的某些子集建立一一映射关系,而有限集则不然;有限个数中必有最大与最小者,无限个数则不一定;有限运算(如代数运算)与无限运算(如极限运算)也有本质不同,决不能把有限运算的运算律不经证明就搬到无限运算上.另一方面,无限又是有限的发展与综合,人们可以借助有限认识无限.数列极限的< -N >定义,就是借助有限数 、N 来定量地给出两个无限过程之间的联系.
变量与常量也是对立的统一,两者有质的区别.前者是可变的,取值范围是多元素集,而后者是不变的,取值范围是单元素集.两者又有联系,常量可以看作是变量所取的一个特殊值,变量可借助常量去掌握.例如导数与导函数的关系.导数是对某一给定点来说的,是一个常量;而导函数是对某个区间来说,是一个函数,是变量.另一方面函数在某点的导数是导函数在该点的函数值,如果已知导函数,就可由它来计算区间内任一点的导数.学生往往从形式上看问题,见到f (x )就说导函数,见到f (x 0)就说导数.其实,必须联系x 和x 0的取值范围才能看清实质.如果把x 看成特殊的定值,那么f (x )就表示在x 这一点的导数值;如果把x 看成变量,那么f (x )就表示一个函数.不过,为了便于区分起见,人们往往把特定点记为x 0,从而f (x 0)就表示x =x 0处的导数值.可见,关键是看x 究竟是定的还是变的,习惯了,不改成x 0还是明确的.
微积分中一系列重要概念都是建立在极限基础上的,诸如li m x 0 y x 、li m x 0 n
=1
f( i ) x i 等,都是借助极限由已知认识未知.其间,蕴含着丰富的辩证法思想,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域里的应用.对符号进行辩证法分析既是发展学生辨证思维能力的需要,又是教好微积分的重要手段.
总之,在微积分教学中,怎样把符号讲活,使 枯燥无味 的符号变成生机勃勃、有血有肉的工具,这是值得探索的课题,拙作只是一得之见,旨在抛砖引玉.
参考文献:
[1] 爱德华C H.微积分发展史[M ].北京:北京出版社,1987.
[2] 刘云章.数学教学哲学断想[M ].合肥:内蒙古文化出版社,2001.An Analysis on t he Ssy m bolize d Ideas of the Teachi ng of Calcul us
Z HAO Dong -ji n
(Schoo l ofC on ti nued Educati on ,Nan ji ng X i aoz hu ang C ollege ,N an ji ng J i angsu 211171,Ch i na)
Abst ract : Sy m ble are the carriers o fm aths ideas ,sy mb lized thinking is t h e i m portant m athe m atics ideo log -ica lm ethod .S tudy i n g t h e sy m bo lized i d eas of the teaching o f ca lcul u s and its inner regu lar ity is the necessity of calcu l u s teach i n g and thereo f contains the m e t h odo log icalm eanings .B ased on study ,it is necessary to dis -close t h e sy m bo lized i d eas o f the teach i n g of calcu l u s fr o m its se m antic ,structura l and d ialectic angles .K ey w ords : sy mbolized i d eas ;se m an tic analysi s ;struct u ra l ana l y sis ;d ialectic analysis
[责任编辑:李春红]141第2期赵东金:微积分教学中符号化思想的分析。