3-1能控能观

所以系统状态不完全能控。
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定理3-2： 设线性定常连续系统(A，B)具有 两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件， 是系统经线性变换后的对角线矩阵 1 2 ~ ~(t ) ~(t ) Bu(t ) x x n 中,
~ B 不包含元素全为零的行。
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3.2.2 线性定常系统的状态能控性 定理3-1 线性定常连续系统(A，B)其状态完 全能控的充要条件是其能控性矩阵 Qc = [ B AB A2B … An 1B ] 的秩为n，即 rankQc = n 证明 已知状态方程的解为
x(t f ) e
A( t f t0 )
x(t0 ) e
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定理3-3 若线性连续系统(A，B)有相重的特征值 时，即A为约当形时，则系统能控的充要条件是： （1）输入矩阵B中对应于互异的特征值的各行，没 有一行的元素全为零； （2）输入矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的 各行，没有一行的元素全为零。 上述结论的证明与具有两两相异特征值的证明类同， 故省略。



P 1 APP 1 B AB
P 1 APP 1 APP 1 B

A2 B An1 B
P是非奇异阵
∴
~ rankQc rankQc
其次证明不包含元素为零的行是系统(A，B) 状态完全能控的充要条件。
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将对角标准形的每一行写成如下展开形式 ~ ~ ~ ~ ~ (b u b u b u ) xi i xi i1 1 i2 2 ir r 显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，
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y (t1 ) 0 (t1 ) I m 1 (t1 ) I m n 1 (t1 ) I m C y (t ） (t ) I 1 (t2 ) I m n 1 (t2 ) I m CA 2 0 2 m x (0) n 1 y (t f ) 0 (t f ) I m 1 (t f ) I m n 1 (t f ) I m CA
最后指出一点，当系统矩阵A为对角标准形，但在 含有相同的对角元素情况下，定理3-2不成立；或系统矩 阵A为约当标准形，但有两个或两个以上的约当块的特 征值相同时，定理3-3不成立。
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3.2.3 线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被 控制量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此 有必要研究系统的输出是否能控的问题。
中，Ĉ不包含全为零的列。
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定理3-7 设线性定常连续系统(A，C)具有重特 征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统经 线性非奇异变换后的约当标准形
3.1 线性系统能控性和能观测性的概述
系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个 很重要的基础性概念，是由卡尔曼（Kalman）在六 十年代初提出的。现代控制理论是建立在用状态空间 描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t) 的变化过程；输出方程则描述了由状态x(t)变化引起 的输出y(t)的变化。 能控性，指的是控制作用对被控系统状态进行控 制的可能性； 能观测性，则反映由系统输出的量测值确定系统 状态的可能性。 对状态的控制能力和测辨能力两个方面，揭示了 控制系统构成中的两个基本问题。
t0
tf
A( t f )
Bu( )d
在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为 零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf ) = 0。则有
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x(0) e A Bu( )d
0
tf
利用凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理
eA = 0() I + 1() A + … + n1() A n1 k ( ) A k
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Qo =
C CA CA2 … CAn1
满秩，即 rankQo = n 证明 不失一般性，假设t0 = 0， 则齐次状态方程 的解为 x(t) = eAt x(0) y(t) = CeAt x(0)
e At k (t ) A k
k 0
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n 1
y (t ) C k (t ) Ak x (0)
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例3-6 设某一系统，其方块图如下图所示，试 分析系统输出能控性和状态能控性。 x1(t) x1(t)
u(t)
∫
x2(t)
∫
+ +
x2(t)
y(t)
解：描述系统的状态空间表达式为
0 0 1 x (t ) x (t ) 1u (t ) 0 0 y (t ) 1 1x (t )
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rankQc = rank[ B AB] = 1 0 1 0 ∴ 状态是不完全能控的。 rankc = rank[ CB CAB D ] =[ 2 0 0 ] ∴ 输出是完全能控的。 系统的状态能控性与输出能控性是不等价的，也 就是两者之间没有必然的联系。
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3.3 线性系统的能观测性
3.3.1 状态能观测性 定义 对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf >t0 ，能够根据输出量y(t)在[t0 ，tf]内的测量值，唯一 地确定系统在时刻t0 的初始状态x(t0)，则称此系统的 状态是完全能观测的，或简称系统能观测的。 值得注意的是，在讨论系统的能观测性时，只需 考虑系统的自由运动即可。 3.3.2 线性定常连续系统的能观测性 定理3-5 线性定常系统(A，C)状态完全能观测 的充要条件是能观测性矩阵


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例3-1 设系统的状态方程为
1 1 3 2 2 x (t ) 0 2 0 x (t ) 1 1 u(t ) 0 1 3 1 1
判断其状态能控性。 解：系统的能控性矩阵为 2 1 3 2 Qc = [ B AB A2B ] = 1 1 2 2 1 1 2 2 rankQc= 2 n 5 4 4 4 4 4
752157tutt?????????????????????????xx?11902157tutt?????????????????????????xx?2213570410157tttuxx??????????????????????????33定理33定理33若线性连续系统?ab有相重的特征值时即a为约当形时则系统能控的充要条件是
首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。 ~ ~ B )之间做线性 由前章可知，系统(A，B)和( A ， 非奇异变换时有：
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~ ~ Qc B
P 1 B P 1 B P 1Qc


x P~ x ~ A P 1 AP ~ B P 1 B ~ ~ ~2 ~ ~ n1 ~ AB A B A B
上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的量测值y(t1)， y(t2)，…，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地确定下来的充 要条件是能观测性矩阵Qo满秩。
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例3-7 考察系统 2 1 1 x (t ) x (t ) 1 u(t ) 1 3 y (t ) 1 0 x (t ) 1 0 的能观测性。 1 0 1 0 C Qo = = CA 2 1 2 1
~ ( i = 1，2，…，n)能控的充要条件是下列元素 xi ~ ~ ~ bi1 , bi 2 , , bir 不同时为零。
例3-3 考察下列系统的状态能控性。
7 2 x (t ) 5u (t ) (t ) 5 (1) x 7 1
现代控制理论
主讲：杨西侠
山东大学网络教育学院
第3章
控制系统的状态空间分析
3.1 线性系统能控性和能观测性的概述 3.2 线性连续系统的能控性 3.3 线性连续系统的能观测性 3.4 线性离散系统的能控性和能观测性 3.5 对偶性原理 3.6 系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关 系 3.7 系统的能控标准形和能观测标准形 系统的状态能控性。
1 0 4 0 x (t ) 0 4 0 x (t ) 4u (t ) （1） 0 3 0 2
1 0 4 4 2 x (t ) 0 0 u(t ) (t ) 0 4 0 （2） x 0 3 0 0 2
若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则 此系统称为不能控系统。
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说明： （1）根据定义，如果系统在（t0，t1）时间间 隔内完全能控，那么对于t2 > t1，该系统在（t0，t2） 时间间隔内也一定完全能控。 （2）如果在系统的状态方程右边迭加一项不 依赖于控制u(t)的扰动f(t)，那么，只要f(t)是绝对 可积函数，就不会影响系统的能控性。
x (0) A B k ( )u( )d
k tf k 0 0 n 1 k 0
n 1
因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令

tf
0
k ( )u( )d k
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x (0) Ak B k
k 0
n1
0 B AB A2 B An1 B 1 n1 若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态 x(0)都应从上述方程中解出 0，1，…，n 1来。这就 要求系统能控性矩阵的秩为n，即 rank[ B AB A2B … An 1B ] = n
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3.2 线性连续系统的能控性
3.2.1 状态能控性 定义：若系统(A(t)，B(t))对初始时刻t0，存在 另一时刻tf（tf > t0），对t0时刻的初始状态x(t0) = x0， 可以找到一个允许控制u(t)，能在有限时间tf − t0内把 系统从初态x(t0)转移至任意指定的终态x(tf )，那么就 称系统在t0时刻的状态x(t0)是能控的。若系统在状态 空间中的每一个状态都能控，那么就称系统在（t0， tf）时间间隔内是状态完全能控的，简称状态能控的 或能控系统。
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7 2 x (t ) 0u (t ) x (t ) 5 (2) 9 1 7 0 1 x (t ) 4 0 u(t ) (t ) 5 (3) x 7 5 1
rankQo = 2 = n 所以系统是能观测的。
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定理3-6 设线性定常连续系统(A，C)具有互不相 同的特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统 经线性非奇异变换后的对角标准形
1 2 x (t ) x (t ) ˆ ˆ n ˆˆ y (t ) Cx (t )
k 0
n 1
0 (t ) I m 1 (t ) I m
C CA x (0) n 1 (t ) I m n 1 CA
因为一般m < n，此时，方程无唯一解。要使方程 有 唯 一 解 ， 可 以 在 不 同 时 刻 进 行 观 测 ， 得 到 y(t1) ， y(t2)，…，y(tf )，此时把方程个数扩展到n个，即
定义 对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无 约束的控制矢量u(t)，在有限时间间隔[t0，tf]内，能将 任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出 y(tf )，那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的， 或简称输出是能控的。
定理3-4 线性定常系统(A，B，C，D)，其输出 完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即 rankQ =rank[ CB CAB … CAn -1B D] = m