安徽省芜湖市陵县第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

安徽省芜湖市陵县第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若，则实数m 得取值范围是
A ．
B. C. D.
参考答案： C
2. 设复数z 满足，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A
3. 在等差数列中，已知，则其前9项和的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案： D 4.
展开后不同的项数为（ ）
A. 9
B. 12
C. 18
D. 24
参考答案：
解析：注意到三个因式分别为关于x ，y ，z 的多项式，故这一多项式展开后不会产生同类项。

因此，这一多项式展开后的不同项数为
，应选D 。

5. 设函数
为 （ ）
A ．周期函数，最小正周期为
B ．周期函数，最小正周期为
C ．周期函数，数小正周期为
D ．非周期函数
参考答案：
答案：B
6. 等差数列{a n }中，已知S 15=90，那么a 8=（ ）
A ．12
B ．4
C ．3
D ．6
参考答案：
D
【考点】等差数列的性质．
【分析】由题意可得：S 15=（a 1+a 15）=90，由等差数列的性质可得a 1+a 15=2a 8，代入可得答案．
【解答】解：因为数列{a n }是等差数列，
所以，a 1+a 15=2a 8，
则S 15=
（a 1+a 15）=15a 8，
又S 15=90，所以，15a 8=90，则a 8=6．
故选：D ．
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
7. 若函数f （x ）=sin 2
x+asinx+b （a ，b∈R）在[﹣，0]上存在零点，且0≤b﹣2a≤1，则b 的取值
范围是（ ）
A ．[﹣，0]
B ．[﹣3，﹣2]
C ．[﹣2，0]
D ．[﹣3，0]
参考答案：
D
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】讨论零点个数，列出不等式组，作出平面区域，得出b的取值范围．
【解答】解：设sinx=t，则t∈[﹣1，0]，
∴关于t的方程t2+at+b=0在[﹣1，0]上有解，
令g（t）=t2+at+b，
（1）若g（t）在[﹣1，0]上存在两个零点，则，无对应的平面区域，（2）若g（t）在[﹣1，0]上存在1个零点，则g（﹣1）g（0）≤0，
∴，
作出平面区域如图所示：
解方程组得A（﹣2，﹣3）．
∴b的范围是[﹣3，0]．
故选D．
8. 条件甲：“”是条件乙：“”的（）
A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件参考答案：
D
9. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1
其中推断正确的序号是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
参考答案：
A
【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】由FG∥BC1，BC1∥AD1，得FG∥AD1，从而FG∥平面BC1D1，FG∥平面AA1D1D；由EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，从而EF与平面BC1D1相交，进而平面EFG与平面BC1D1相交．
【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；
∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故③正确；
∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．
故选：A．
10. 函数y=的图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x ＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可． 【解答】解析：函数有意义，需使e x ﹣e ﹣x ≠0， 其定义域为{x|x≠0}，排除C ，D ，
又因为
，
所以当x ＞0时函数为减函数，故选A 答案：A ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某同学为研究函数
的性质，构造了如图所示的两
个边长为1的正方形
和，点是边
上的一个动点，设，则
. 请你参考这些信息，推知函数的极值点是 ；函数
的值域是 .
参考答案：
；
12. 函数f （x ）=cos （x+2θ）+2sinθsin（x+θ）的最小值为 ．
参考答案：
﹣1
【考点】三角函数的最值．
【分析】利用两角和与差的余弦公式，对f （x ）化简，再根据余弦函数的图象与性质得出函数f （x ）的最小值．
【解答】解：f （x ）=cos （x+2θ）+2sinθsin（x+θ）
=cos （x+θ）cosθ﹣sin （x+θ）sinθ+2sinθsin（x+θ） =cos （x+θ）cosθ+sin（x+θ）sinθ =cos （x+θ﹣θ） =cosx ，
根据余弦函数的图象与性质得函数f （x ）的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了两角和与差的余弦公式以及余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
13. 已知整数对排列如下
，则第60
个整数对是_______________. 参考答案：
14. 双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则实数
的值
是 ．
参考答案：
答案:
15. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.
参考答案：
1和3
由题意得：丙不拿（2，3），
若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，
若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，
故甲（1，3），
16. 已知log a2+log a3=2，则实数a= ．
参考答案：
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵log a2+log a3=2，
∴log a6=2，
∴a2=6，a＞0，且a≠1，
解得a=．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．
17. 将函数的图像向右平移个单位后得到函数______的图像。

参考答案：
y=3sin3x
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．
（Ⅰ）设与平面所成的角为，二面角的大小为，求证：；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点（与两点不重合），使得
∥平面? 若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解法一：(1)证明：又
1分
又平面，,面 2分
∴ 3分
, 5分
6分
(2) 取的中点，连交于,由与相似得，, 7分
在上取点,使,
则
, 8分在上取点使,由于平行且等于
,
故有平行且等于
，
9分
四边形为平行四边形，所以
, 10分
而, 故有∥平面
, 11分
所以在线段上存在一点使得∥平面，的长为. 12分解法二：（1）同解法一；
（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系，则
,为的中点,则 7分
假设存在符合条件的点，则共面，
故存在实数，使得 9分即，故有即 11分
即存在符合条件的点，的长为. 12分
19. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足
（I）求角B的大小；
（II）求函数的最大值及取得最大值时的A值.参考答案：
略
20. 已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，﹣1）．
（1）若⊥，求的值；
（2）若|﹣|=2，，求的值．
参考答案：
考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）由⊥，可得=2cosθ﹣sinθ=0，求得tanθ=2，从而求得
=的值．
（2）把已知等式平方求得=1，即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣
4sinθcosθ+sin2θ=1，求得tanθ=．再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ 和sinθ 的值，从而求得=sinθ+cosθ的值．
解答：解：（1）若⊥，
则=2cosθ﹣sinθ=0，tanθ==2，
∴===．
（2）∵||=1，||=，
若|﹣|=2，，
则有﹣2+=4，即 1﹣2+5=4，解得=1，
即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，化简可得 3cos2θ﹣4sinθcosθ=0，
即tanθ=．
再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1，
求得cosθ=，sinθ=，
∴=sinθ+cosθ=．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于中档题．
21. 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备，的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初
的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第年初的价值的表达式；
（Ⅱ）设，若大于80万元，则继续使用，否则须在第年初对更新，证明：须在第9年初对更新．
参考答案：
解：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．
当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以
因此，第年初，M的价值的表达式为
(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得
当时，
当时，由于S6=570.故
因为是递减数列，所以是递减数列，又
所以须在第9年初对M更新．
22. 坐标系与参数方程．
从极点O作直线与另一直线相交于点M，在OM上取一点P，使得OM·OP=12.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设R为上的任意一点，试求RP的最小值。

参考答案：
略。